函數(shù)概念教學的幾點思考

【摘 要】函數(shù)的概念及相關(guān)內(nèi)容是高中和職業(yè)類教材中非常重要的部分，許多學生認為這些內(nèi)容比較抽象、難懂、圖像多，方法靈活多樣。以致部分學生對函數(shù)知識產(chǎn)生恐懼感。就教學過程中學生的反應和自己的反思，淺淡幾點自己的看法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；對應；映射；數(shù)形結(jié)合

一、要把握函數(shù)的實質(zhì)

17世紀初期，笛卡爾在引入變量概念之后，就有了函數(shù)的思想，把函數(shù)一詞用作數(shù)學術(shù)語的是萊布尼茲，關(guān)于函數(shù)概念有“變量說”、“對應說”、“集合說”等。變量說的定義是：設x、y是兩個變量，如果當變量x在實數(shù)的某一范圍內(nèi)變化時，變量y按一定規(guī)律隨x的變化而變化。我們稱x為自變量，變量y叫變量x的函數(shù)，記作y=f（x）。初中教材中的定義為：如果在某個變化過程中有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值與之對應，那么y就是x的函數(shù)，x叫自變量，x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，和x的值對應的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域。它的優(yōu)點是自然、形象和直觀、通俗地描述了變化，它致命的弊端就是對函數(shù)的實質(zhì)——對應缺少充分地刻畫，以致不能明確函數(shù)是x、y雙方變化的總體，卻把y定義成x的函數(shù)，這與函數(shù)是反映變量間的關(guān)系相悖，究竟函數(shù)是指f ，還是f（x），還是y=f（x）？使學生不易區(qū)別三者的關(guān)系。

迪里赫萊注意到了“對應關(guān)系”，于1837年提出：對于在某一區(qū)間上的每一確定的x值，y都有一個或多個確定的值與之對應，那么y叫x的一個函數(shù)。19世紀70年代集合論問世后，明確把集合到集合的單值對應稱為映射，并把：“一切非空集合到數(shù)集的映射稱為函數(shù)”，函數(shù)是映射概念的推廣。對應說的優(yōu)點有：①它抓住了函數(shù)的實質(zhì)——對應，是一種對應法則。②它以集合為基礎，更具普遍性。③它將抽象的知識以模型并賦予生活化，比如：某班每一位同學與身高（實數(shù)）的對應；某班同學在某次測試的成績的對應；全校學生與某天早上吃的饅頭數(shù)的對應等都是函數(shù)。函數(shù)由定義域、值域、對應法則共同刻劃，它們相互獨立，缺一不可。這樣很明確的指出了函數(shù)的實質(zhì)。

對于集合說是考慮到集合是數(shù)學中一個最原始的概念，而函數(shù)的定義里的“對應”卻是一個外加的形式，似乎不是集合語言。1914年豪斯道夫采用了純集合論形式的定義：如果集合 f С{（x，y）|x∈A，y∈B}且滿足條件，對于每一個x∈A，若（x，y1） ∈f，（x，y2） ∈f，則y1=y2，這時就稱集合f為A到B的一個函數(shù)。這里f為直積A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}的一個特殊子集，而序偶（x，y）又是用集合定義的：（x，y）={{x}，{x，y}}.定義過于形式化，它舍棄了函數(shù)關(guān)系生動的直觀，既看不出對應法則的形式，更沒有解析式，不但不易為中學生理解，而且在推導中也不便使用，如此完全化的數(shù)學語言只能在計算機中應用。

二、加強數(shù)形結(jié)合

數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。在7—12年級所研究的函數(shù)主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，對每一類函數(shù)都是利用其圖像來研究其性質(zhì)的，作圖在教學中顯得無比重要。我認為這一部分的教學要做到學生心中有形，函數(shù)圖像就相當于佛教教徒心中各種各樣的佛像，只要心中有形，函數(shù)性質(zhì)就比較直觀，處理問題時就會得心應手。函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合在數(shù)列及平面幾何中也有廣泛的應用。

三、將映射概念下放

就前面三種函數(shù)概念而言，能提示函數(shù)實質(zhì)的只有“對應說”，如果在初中階段把“變量說”的定義替換成“對應說”的定義，可有以下優(yōu)點：①體現(xiàn)數(shù)學知識的系統(tǒng)性，也顯示出時代信息，為學生今后的學習作準備。②凸顯數(shù)學內(nèi)容的生活化和現(xiàn)實性，函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學模型。③變抽象內(nèi)容形象化，替換后學生會感到函數(shù)概念不再那么抽象難懂，好像伸手會觸摸到一樣，身邊到處都有函數(shù)。學生就會感到函數(shù)不再那么可怕，它無非是一種映射。只需將集合論的初步知識下放一些即可，學生完全能夠接受，因為從小學第一學段就已接觸到集合的表示方法，第二學段已接觸到集合的運算，沒有必要作過多擔心。以前有人提出將概率知識下放的觀點，當時不也有人得出反對意見嗎？可現(xiàn)在不也下放到了小學嗎？如果能下放到初中，就使得知識體系更完備，銜接更自然，學生易于接受，學生就不會提出“到底什么是函數(shù)？”這樣的問題。

四、區(qū)分函數(shù)與方程

盡管函數(shù)和方程都是反映量與量之間的關(guān)系，可函數(shù)反映的是變量和變量之間的關(guān)系，強調(diào)的是一個變量隨另一個變量的變化情況，從函數(shù)的角度來看，考慮的是x和y在各自取值范圍內(nèi)，彼此間怎樣相互變化。而方程反映的是未知量和已知量之間的關(guān)系，等式F（x，y）=0是一個方程，只有在一定條件下才能確定為一個函數(shù)，從方程的角度來看，考慮的是x和y選取哪些數(shù)值時才能使等式成立，另一方面，如果變量x和y的函數(shù)關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=f（x）表示，那就得到一個方程y-f（x）=0，它們是可以互相轉(zhuǎn)化的，有時用方程知識去研究函數(shù)，也常用函數(shù)知識去研究方程。