基于培養(yǎng)創(chuàng)造心智的幾何例題“穿越”教學(xué)設(shè)計(jì)
——以圓的基本性質(zhì)單元為例

陳巧薇

(建蘭中學(xué)，浙江 杭州 310001)

1 培養(yǎng)創(chuàng)造心智的重要性和必要性

所謂心智是指人們對(duì)已知事物的沉淀和儲(chǔ)存，通過(guò)生物反應(yīng)而實(shí)現(xiàn)動(dòng)因的一種能力總和.它涵蓋了“哲學(xué)”對(duì)已知事物的積累和儲(chǔ)存，結(jié)合了“生物學(xué)”的大腦信息處理，即“生物反應(yīng)”，運(yùn)用了為實(shí)現(xiàn)某種欲需(動(dòng)因)而從事的“心理”活動(dòng)，從而達(dá)到為實(shí)現(xiàn)動(dòng)因結(jié)果而必須產(chǎn)生的智能力和“潛能”力.

在《21世紀(jì)學(xué)習(xí)的愿景》一書中，哈佛大學(xué)教授加德納提出未來(lái)社會(huì)我們要具備的5種心智——學(xué)科心智、整合心智、創(chuàng)造心智、尊重心智和倫理心智.這5種心智并非未來(lái)專屬，然而，有針對(duì)性地和整體地培養(yǎng)這些心智在當(dāng)今時(shí)代顯得尤為迫切.幾乎每一代人都要經(jīng)歷不同的時(shí)代，在這個(gè)日新月異的新時(shí)代，具有良好創(chuàng)造心智的人往往可以跳出保守的思考，開拓出新的天地，成為時(shí)代的弄潮兒.不管在工作場(chǎng)所還是在實(shí)驗(yàn)室里，在政治舞臺(tái)或是戲劇舞臺(tái)上，每個(gè)人都面臨著超越傳統(tǒng)智慧或習(xí)慣性做法的壓力，單純的創(chuàng)新比有效的創(chuàng)新要容易得多[1].

創(chuàng)造心智不僅要具備創(chuàng)造力，更要綜合人格與性情，在擁有知識(shí)和技藝后，竭盡全力地抓住機(jī)會(huì)，進(jìn)入未知的領(lǐng)域去探索，即使失敗也能夠微笑和振作，即使成功也能燃起新的動(dòng)力去再次突破.加德納曾說(shuō)：“我更樂(lè)于看到一門課程和一種教學(xué)方法改革指向于培養(yǎng)人的創(chuàng)造心智，發(fā)現(xiàn)并探索創(chuàng)造性的觀念.”毫無(wú)疑問(wèn)，未來(lái)社會(huì)需要更多的“大咖”創(chuàng)造者.

2 幾何教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造心智的良好載體

初中數(shù)學(xué)中的幾何教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造心智的良好載體和突出機(jī)會(huì).基于比格斯教授提出的SOLO(StructureoftheObservedLearningOutcome，可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu))評(píng)價(jià)理論框架，即對(duì)學(xué)生某一具體問(wèn)題反應(yīng)的分析，根據(jù)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)所達(dá)到的思維水平由低到高可劃分為5個(gè)等級(jí)：前結(jié)構(gòu)水平、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和拓展抽象結(jié)構(gòu)水平[2].其中關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和拓展抽象都和創(chuàng)造心智息息相關(guān).幾何學(xué)習(xí)和代數(shù)學(xué)習(xí)最大的不同在于創(chuàng)新，代數(shù)重在記憶和模仿，幾何重在理解和創(chuàng)新.幾何的直觀性、建構(gòu)性、整合性、靈活性等特點(diǎn)，決定了幾何學(xué)習(xí)的思維難度和高度，不可能用死記硬背和照本宣科找到所有題目的幾何證明方法和思路.幾何題目千變?nèi)f化，同時(shí)還有一題多解、同類拓展、一題多變，每一個(gè)細(xì)小的語(yǔ)句或者圖形的變化都會(huì)導(dǎo)致題目的與眾不同和推陳出新，因此幾何教學(xué)是培養(yǎng)創(chuàng)造心智的良好載體.

義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第三單元圓的基本性質(zhì)教材分析：這個(gè)單元是幾何學(xué)習(xí)的一部分，與前面的三角形和四邊形略有不同，從直線走向曲線，從多邊形到圓，這是第一層直觀認(rèn)知的創(chuàng)新突破.這個(gè)單元的題目更是靈活多變，思維要求較高，從圓的概念形成、圓本身的性質(zhì)、圓中的量之間的關(guān)系和圓中有關(guān)量的計(jì)算等方面加強(qiáng)對(duì)圓的認(rèn)識(shí)．圓是一種特殊的幾何圖形，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、形成數(shù)學(xué)的思想方法具有重要的價(jià)值．由于圓既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，學(xué)生可以通過(guò)多種方式來(lái)認(rèn)識(shí)它[3]，這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.同時(shí)圓的有關(guān)性質(zhì)的探索是通過(guò)多種方法進(jìn)行的，每一次新的定理和性質(zhì)都帶來(lái)創(chuàng)新和突破，這是第二層能力的創(chuàng)新突破.這個(gè)單元的內(nèi)容在培養(yǎng)創(chuàng)造心智方面具有非常典型的價(jià)值.

下面以圓的基本性質(zhì)單元為例，嘗試一個(gè)例題穿越不同的新課，每次的“似曾相識(shí)”和每次的“與眾不同”形成沖擊，每次的“同題異思”和每次的“創(chuàng)新挑戰(zhàn)”產(chǎn)生火花，推陳出新，引導(dǎo)學(xué)生承上啟下，理解新知，學(xué)以致用，融會(huì)貫通.這個(gè)通用的例題是筆者在設(shè)計(jì)本單元教學(xué)中精心挑選的一個(gè)“托”，出現(xiàn)在在不同新課的例題或者習(xí)題中，雖然是一樣的題目，但是通過(guò)不斷的探究式學(xué)習(xí)和創(chuàng)新式思考，每次都能找到新的解題方法.在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師給予學(xué)生充分的思考空間，激發(fā)學(xué)生足夠的創(chuàng)新熱情，培養(yǎng)學(xué)生“勝不驕、敗不餒”的性情，體會(huì)到知識(shí)越多，方法越多，能力越強(qiáng)，解題越有晉級(jí)感.在分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—重新認(rèn)知—探究創(chuàng)新中提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)創(chuàng)造心智，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 例題穿越教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

3.1 經(jīng)典例題初相識(shí)

經(jīng)典例題初相識(shí)在本單元的第3.2節(jié)“圖形的旋轉(zhuǎn)”，本節(jié)課的重點(diǎn)是圖形的旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì).此例題是經(jīng)過(guò)筆者思考挑選的具有“特別價(jià)值”的可以穿越的經(jīng)典例題，在新課作為其中一個(gè)例題出現(xiàn).

圖1

例1如圖1，在⊙O中，AB=CD，AB，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

1)聯(lián)結(jié)OA,OB,OC,OD和AC，是否存在旋轉(zhuǎn)全等的三角形？請(qǐng)找一找.

2)求證：PA=PC.

圖2

評(píng)注這節(jié)課學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)，圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能和本身重合，于是稱圓為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形.當(dāng)聯(lián)結(jié)OA,OB,OC,OD時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)后可以重合的部分，于是引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系以前學(xué)習(xí)的三角形知識(shí),通過(guò)三角形的全等證明PA=PC.

學(xué)生比較自然地給出了不同的證明思路，筆者整理了部分典型思路如下：

思路1如圖2，先用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性說(shuō)明△OAB≌△OCD，從而

∠OAB=∠OCD.

又因?yàn)镺A=OC，得

∠OAC=∠OCA,

進(jìn)而

∠PAC=∠PCA,

所以

PA=PC.

思路2如圖3，聯(lián)結(jié)BD.根據(jù)△OBD是等腰三角形和△OAB≌△OCD，得∠OBA=∠ODC,從而

∠PBD=∠PDB，

于是

PB=PD，

進(jìn)而

AB+PB=CD+PD，

故

PA=PC.

圖3 圖4

思路3如圖4，作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F.利用等腰三角形三線合一性質(zhì)可知，點(diǎn)E,F平分弦AB，CD，從而

AE=BE=CF=DF.

根據(jù)△OEB≌△OFD(HL)或△OAB≌△OCD(SSS)，得

OE=OF.

再利用△OEP≌△OFP(HL)，得

PE=PF，

故

PA=PC.

分析學(xué)生們對(duì)這個(gè)例題有很多想法，以上3種思路基本都是基于三角形全等的已有知識(shí)，僅僅用了圓的半徑相等這個(gè)簡(jiǎn)單的條件，通過(guò)線段和差、等角對(duì)等邊的性質(zhì)得到線段相等的結(jié)論.此題出現(xiàn)在這一節(jié)，最重要的是為后面的教學(xué)做鋪墊，學(xué)生們認(rèn)為自己已經(jīng)很成功了，有這么多解法，并且已經(jīng)有較為簡(jiǎn)單的證明思路了.在這種已經(jīng)學(xué)得很好的前提下，后面再出現(xiàn)這個(gè)題目，讓學(xué)生們打破常規(guī)思路，從而達(dá)到更好的對(duì)比和刺激效果.

3.2 常規(guī)例題再創(chuàng)造

本單元第三節(jié)課“垂徑定理”和第四節(jié)課“圓心角定理”主要學(xué)習(xí)了：在同圓或者等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等.教師在課堂中又給出了例1.

學(xué)生們馬上反應(yīng)：“這個(gè)題目我們上節(jié)課做過(guò)了！”教師接著問(wèn)：“今天結(jié)合新學(xué)的圓心角定理，大家有什么新的思路嗎？不妨來(lái)挑戰(zhàn)一下！”這一問(wèn)果然激發(fā)了學(xué)生們的熱情，他們開始動(dòng)腦筋思考了.經(jīng)過(guò)探究合作，教師收集了部分學(xué)生的解答如下：

思路4如圖5，聯(lián)結(jié)OP，作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F.根據(jù)垂徑定理可知

AE=BE, CF=DF.

根據(jù)圓心角定理得弦心距OE=OF,利用

△OEP≌△OFP(HL)，

可得

PE=PF，

從而

PA=PC.

圖5 圖6

思路5如圖6，作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF.根據(jù)圓心角定理直接可得

OE=OF，

從而

∠OEF=∠OFE.

因?yàn)镺E⊥AB，OF⊥CD,所以

∠PEF=∠PFE, PE=PF.

再由垂徑定理及條件AB=CD,得

AE=BE=DF=CF,

故

PA=PC.

分析學(xué)生們感受到同樣的例題有了更多新的解法，這兩種思路與之前的相比確實(shí)簡(jiǎn)化了很多.之前只能通過(guò)全等去證明線段相等，現(xiàn)在有了更直接的方法：因?yàn)锳B，CD是弦，根據(jù)弦相等可以直接得到弦心距相等，弦相等也可以直接轉(zhuǎn)化為圓心角相等，所以有了線線轉(zhuǎn)化和線角轉(zhuǎn)化的新思路.實(shí)際上，學(xué)生們的解題思路還有更多，但是教師刻意去突出垂徑定理和圓心角定理的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生們體會(huì)到“新式武器”帶來(lái)的便利和好處.當(dāng)然在課堂中依然有墨守成規(guī)的學(xué)生，在不同的思路對(duì)比中，教師鼓勵(lì)學(xué)生打破固有的思維，哪怕已經(jīng)有成果，我們依然尋找不同的機(jī)會(huì)去突破，創(chuàng)新永不止步，這正是創(chuàng)造心智的必然要求.

3.3 熟悉例題再突破

這個(gè)熟悉的例題第3次出現(xiàn)在第3.4節(jié)“圓周角定理”中，這節(jié)課的主要內(nèi)容是圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半.教師問(wèn)：“大家來(lái)看看這個(gè)習(xí)題，今天我們新學(xué)了圓周角定理，想一想這個(gè)題目會(huì)有新的解題思路嗎？同學(xué)們都踴躍嘗試一下吧，比一比誰(shuí)的方法更新、更優(yōu)！”

于是激動(dòng)人心的“再創(chuàng)造”“再突破”開始了，不論前面失敗或者成功的學(xué)生，都有“激情”“熱情”再去動(dòng)腦筋，他們已經(jīng)接受了暗示，在尋找真理的路上.大家思考的積極性很高，于是又有學(xué)生給出了新的解法，并且激動(dòng)的心情和驕傲的神情溢于言表.具體思路如下：

∠BAD=∠BCD.

∠CAD=∠ACB，

因此

∠PAC=∠PCA，

故

PA=PC.

圖7 圖8

∠PAC=∠PCA，

故

PA=PC.

到這里，教師可以給出思路1～思路7的過(guò)程對(duì)比，讓學(xué)生們總結(jié)發(fā)言.

學(xué)生們發(fā)出“年年歲歲花相似，歲歲年年人不同”的驚嘆——最后利用圓周角定理，思路變得如此簡(jiǎn)單明了！在幾次解題中教師也在反思：學(xué)生們會(huì)有什么經(jīng)驗(yàn)總結(jié)和收獲呢？除了從知識(shí)層面、技能層面進(jìn)行總結(jié)，對(duì)于同樣的一個(gè)“例題的穿越”，每次都帶來(lái)不同的反響和震撼，所學(xué)皆有用，所思皆有益，以后我們?cè)诜治鰡?wèn)題的時(shí)候，就要聯(lián)系多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，訓(xùn)練自己的創(chuàng)造性思維，尋找到最優(yōu)解法.

在這里，顯性的收獲是在總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.更多隱形的收獲融合在整個(gè)3次例題穿越教學(xué)過(guò)程中，每一節(jié)課情感上的沖擊和收獲都不一樣.在“思考探究—再創(chuàng)造—再突破—總結(jié)反思”的過(guò)程中，師生一次次打破原有的解法，一步步創(chuàng)新思考，不論成功或者失敗，每一次都有全新的視角，擁有創(chuàng)造的動(dòng)力和熱情，探究出更多、更新、更優(yōu)的方法，整個(gè)經(jīng)歷激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新熱情，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造心智，體驗(yàn)了探究創(chuàng)新的神奇.

4 基于培養(yǎng)創(chuàng)造心智的教學(xué)設(shè)計(jì)收獲和反思

創(chuàng)新是引領(lǐng)世界發(fā)展的重要?jiǎng)恿?，今天的中?guó)比以往任何時(shí)候都更加需要?jiǎng)?chuàng)新驅(qū)動(dòng)、創(chuàng)新發(fā)展.就初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們要抓住一切可以利用的機(jī)會(huì)激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造心智，這種創(chuàng)造心智來(lái)源于對(duì)新知的好奇、對(duì)應(yīng)用的思考、對(duì)困難的挑戰(zhàn)以及對(duì)真理的堅(jiān)持.

筆者以幾何教學(xué)為載體，用藕斷絲連的“穿越”例題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受創(chuàng)新的平易近人——每節(jié)課都可以帶著創(chuàng)新思考和學(xué)習(xí)，又讓學(xué)生感受創(chuàng)新的高深莫測(cè)——每一次創(chuàng)新都不是終點(diǎn)，“新”無(wú)止境.這樣的設(shè)計(jì)或許有些刻意，但是確實(shí)起到了培養(yǎng)創(chuàng)造心智的作用.筆者認(rèn)為不僅是圓的基本性質(zhì)這個(gè)單元，其他幾何課程也可以有類似的效果.在平行四邊形到特殊四邊形的教學(xué)中，在三角形到三角函數(shù)的教學(xué)中，我們都可以去研究如何設(shè)計(jì)出“穿越”例題，把創(chuàng)新在平常教學(xué)中潛移默化.

認(rèn)知理論認(rèn)為：理解是新信息與原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相互作用的過(guò)程，要使新、舊知識(shí)能夠發(fā)生作用、建立聯(lián)系.創(chuàng)新是打破學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，推陳出新，是從無(wú)到有的過(guò)程.創(chuàng)新能力是技術(shù)和各種實(shí)踐活動(dòng)中不斷提供具有經(jīng)濟(jì)價(jià)值、社會(huì)價(jià)值、生態(tài)價(jià)值的新思想、新理論、新方法、新發(fā)明的能力.創(chuàng)造心智除了創(chuàng)新能力，還包括人格和性情，以延伸為特性.

在幾何教學(xué)中，我們基于培養(yǎng)創(chuàng)造心智而設(shè)計(jì)教學(xué)，在分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—重新認(rèn)知—探究創(chuàng)新中培養(yǎng)創(chuàng)造心智，力求讓學(xué)生經(jīng)歷探究式學(xué)習(xí)和創(chuàng)新式思考后達(dá)到知識(shí)、能力、素養(yǎng)的共同提升.一個(gè)例題的穿越帶來(lái)的是關(guān)于創(chuàng)新的無(wú)止境的追求，帶來(lái)的是對(duì)于創(chuàng)新的無(wú)條件的熱愛(ài).愛(ài)默生曾說(shuō)：“品格比智力更為重要.”因此，在教學(xué)中培養(yǎng)創(chuàng)造心智非常有必要.