無窮小量的階數(shù)及其應(yīng)用

摘 要:我們可以用提取公因式法、導(dǎo)數(shù)法、馬克勞林法確定無窮小量的階數(shù)，還可用無窮小量的主要部分計算復(fù)雜未定式。

關(guān)鍵詞:無窮小量階數(shù) 無窮小量的主要部分 復(fù)雜未定式的計算

中圖分類號:O172.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1674-098X(2012)04(a)-0218-02

Infinitesimal order and its application

Duan Wen Xi

(Beijing Normal University Zhu Hai Campus)

Abstract:We can use the method of extracting common factor， derivative method，Mark McLaughlin method to determine the order of infinitesimal，We can also make use of infinitesimal main part to calculation complexity of the indeterminate form.

Key word:Order of the Infinitesimal Main part of the Infinitesimal calculation complexity of the

1 無窮小量階的概念及其運(yùn)算

定義1如果，就稱是時關(guān)于的階無窮小量。

對于無窮小量的運(yùn)算，我們有以下結(jié)論

(1)如果與都是時關(guān)于的階無窮小量，則是關(guān)于的階無窮小量，其中;

(2)如果，，則是階無窮小，其中;

(3)如果，則也是關(guān)于的階無窮小量;

(4)如果，則;

(5)如果，，則

;

(6)時，如果，，則

是關(guān)于的階無窮小。

例1時，是的高階無窮小，.是的高階無窮小量，則

是的高階無窮小，也是的高階無窮小量。

2 無窮小量階數(shù)的判斷

方法一、(提取公因數(shù)判斷法)

如果是有限項無窮小量的代數(shù)和，且

，則當(dāng)時，是時關(guān)于的階無窮小量。

例1 問當(dāng)時，無窮小量

是關(guān)于的幾階無窮小量？

解，

，所以，時

是關(guān)于的階無窮小量。

方法二(導(dǎo)數(shù)判斷法)

如果在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，且()但，則當(dāng)時，是關(guān)于的階無窮小量。

證明 由羅必大法則

所以，當(dāng)時，是關(guān)于的階無窮小量。

例2 確定當(dāng)時是關(guān)于的幾階無窮?。?/p>

解記，則;

，;，;

，，所以是關(guān)于的階無窮小量。

方法三、(馬克勞林公式法)

如果是有限個同階無窮小量的代數(shù)和，則將的每個無窮小量用馬克勞林公式展開，展到合并同類項后首次出現(xiàn)系數(shù)不為零的項為止，按這種要求，如果其中某一項需要展到項，則在這項的后面，要加上這項的高階無窮?。@種方法還經(jīng)常要利用、、、、的皮亞諾形式的馬克勞林公式。

例3

，

所以是關(guān)于的階無窮小量。

如果用馬克勞林展開并合并同類項后仍然含有同階無窮小量的和差，那么，每個無窮小量應(yīng)多展一項。

例4 判斷是關(guān)于的幾階無窮??？

錯誤的做法

。

因為最后的計算結(jié)果含有兩個同階無窮小量的差，所以，還是無法判斷原無窮小量的階數(shù)。

正確做法如下:

。

所以是關(guān)于的二階無窮小量。

3 無窮小量階數(shù)的應(yīng)用

如果未定式的分子和分母是有限個無窮小量的代數(shù)和，則用羅必大法則計算這類極限時，求導(dǎo)數(shù)的過程必定很復(fù)雜，以下介紹應(yīng)用無窮小量階數(shù)計算這類復(fù)雜未定式的方法。

定義2 在某一變化過程中，是個不同階數(shù)的無窮小量，如果是其余各無窮小量的低階無窮小量，則稱為無窮小量的主要部分，簡稱為的主部。

例5 當(dāng)時，的主要部分是．

例6 當(dāng)時，因是關(guān)于的三階無窮小量，所以

的主要部分是。

如果一個分式的分之與分母分別是有限個無窮小量的代數(shù)和，則該分式的極限等于分子與分母主要部分比值的極限。

例7。

解 因時，，，所以，

，

例8

解，因是關(guān)于的一階無窮小量，所以，

．

例5

．

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué):上冊．5版．2011:56—59．北京:高等教育出版社．

[2]段文喜編著．考研數(shù)學(xué):上冊．2011:12—19．廣東:暨南大學(xué)出版社.