試析高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)理解

摘 要 對高等數(shù)學(xué)而言，結(jié)構(gòu)無處不在，結(jié)構(gòu)是由許多節(jié)點和聯(lián)線繪成的穩(wěn)定系統(tǒng)。數(shù)學(xué)中最基本的就是概念結(jié)構(gòu)，它們之間的聯(lián)系組成了知識網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，剖析高等數(shù)學(xué)的知識機構(gòu)，有助于加深對高等數(shù)學(xué)的理解。

關(guān)鍵詞 高等數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)理解

對數(shù)學(xué)來說，結(jié)構(gòu)無處不在，結(jié)構(gòu)是由許多節(jié)點和聯(lián)線繪成的穩(wěn)定系統(tǒng)。數(shù)學(xué)中最基本的就是概念結(jié)構(gòu)，它們之間的聯(lián)系組成了知識網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，剖析高等數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，有助于加深對高等數(shù)學(xué)的理解。由于理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)生可以通過對數(shù)學(xué)知識、技能、概念與原理的理解和掌握來發(fā)展他們的數(shù)學(xué)能力。從認(rèn)知結(jié)構(gòu)，特別是結(jié)構(gòu)的建構(gòu)觀點來看，學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)概念、原理、法則，如果在心理上能夠組織起適當(dāng)?shù)?、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使其成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么這才是理解。而其中所需要做的具體工作，就是需要尋找并建立恰當(dāng)?shù)男?、舊知識之間的聯(lián)系，使概念的心理表象建構(gòu)得比較準(zhǔn)確，與其它概念表象的聯(lián)系比較合理，比較豐富和緊密。在學(xué)習(xí)一個新概念之前，頭腦里一定要具備與之相關(guān)的儲備知識，它們是支撐新概念形成的依托，并且這些有關(guān)概念的結(jié)構(gòu)，是能夠被調(diào)動起來的，使之與新概念建立聯(lián)系，否則就不會產(chǎn)生理解。所以要使新舊知識能夠互相發(fā)生作用，建立聯(lián)系，有必要建立一個相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以加強對基礎(chǔ)知識的理解。在微積分的學(xué)習(xí)中，通過對其結(jié)構(gòu)的剖析，使學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)處于不斷形成和發(fā)展之中，并將其發(fā)展的結(jié)構(gòu)與已形成的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，以達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的真正理解。

一、高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點

高等數(shù)學(xué)以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級數(shù)在內(nèi)，它們都是從量的方面研究事物運動變化的數(shù)學(xué)方法，本質(zhì)上是幾種不同性質(zhì)的極限問題。連續(xù)性質(zhì)是自變量增量趨于零時，函數(shù)對應(yīng)增量的極限；導(dǎo)數(shù)是自變量增量趨于零時，函數(shù)的增量（偏增量）與自變量增量之比（差商）的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級數(shù)則是密切聯(lián)系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數(shù)的有關(guān)局部性質(zhì)，積分則從宏觀上揭示函數(shù)的有關(guān)整體性質(zhì)，它們之間通過微積分基本定理聯(lián)系起來；廣義積分把無窮級數(shù)與積分的內(nèi)部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數(shù)、微分、積分有機地聯(lián)系起來，展示了它們之間的內(nèi)在的依賴轉(zhuǎn)化關(guān)系。

二、如何利用結(jié)構(gòu)加強理解

（1）注重整體結(jié)構(gòu)理解當(dāng)代著名的認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“知識是主體與環(huán)境或思維與客體相互交換而導(dǎo)致的知覺建構(gòu)，雖然現(xiàn)今的教材基本上按一定框架編寫，但其中相關(guān)的知識點要在學(xué)生的頭腦中形成一個網(wǎng)絡(luò)，并達(dá)到真正理解，還需要一個很長的過程，在這個過程中需要師生的共同努力。在教學(xué)中教師應(yīng)將數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)與心理結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來，把學(xué)生看成是學(xué)習(xí)活動的主體，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己頭腦中已有的知識結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗主動建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)。理解知識的前提是理解它如何在頭腦中表征的，這個過程主要表現(xiàn)為學(xué)生對概念的理解和掌握，在此基礎(chǔ)上再加以運用，達(dá)到更深意義上的掌握。由于高等數(shù)學(xué)具有清晰的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因而其相關(guān)知識學(xué)習(xí)中也充滿了知識的同化過程。在高等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中，微積分建立在極限的基礎(chǔ)之上。因此在高等數(shù)學(xué)中，新知識獲得要依賴于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，同時新舊知識還必須要有相互作用，即新舊意義的同化，才能形成高度分化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如微分是差商的極限，積分為微分的逆運算，而定積分則為和的極限，只有將這些新舊概念在頭腦中不斷同化作用，才能形成新的高級知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，才能加強對相應(yīng)數(shù)學(xué)知識的真正理解。這個過程實際上是一個內(nèi)部認(rèn)知過程，它要求學(xué)習(xí)者要有積極主動的精神，即有意義學(xué)習(xí)傾向；同時還要在學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到適當(dāng)?shù)耐c。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是從所接受的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化而來的，因此教學(xué)是一個動態(tài)的過程。

（2）注重結(jié)構(gòu)中的概念理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是有許多個結(jié)構(gòu)所組成的，而個別的概念一定要融人其它概念，合成的概念結(jié)構(gòu)才有用。數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，它們之間存在著一定的聯(lián)系，理清概念之間的聯(lián)系，既有助于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建立，有助于新的概念地自然引入，從而有助于對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握。在微積分這部分內(nèi)容中，多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)這組概念之間的聯(lián)系，與一元函數(shù)中的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、微分概念之間的聯(lián)系，這兩者之間既有相同之處，又有不同之處，而且每個相對的概念之間又存在一定的聯(lián)系與區(qū)別，多元函數(shù)中許多微分概念是在一元函數(shù)基礎(chǔ)上的推廣與發(fā)展，它們是密不可分。積分學(xué)中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分之間也存在著類似的關(guān)系。通過聯(lián)想，可以從二維空間進(jìn)入到三維空間，直至到更多維的空間，從有形進(jìn)入無形，從現(xiàn)實世界進(jìn)入虛擬世界，這樣步步滲入，步步構(gòu)建，不斷引入新概念，不斷更新組建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不斷更新，不斷完善，從而達(dá)到對知識的真正理解與掌握。

（3）在教學(xué)中利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加強學(xué)生的數(shù)學(xué)理解教師對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理解對學(xué)生建立起自身的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)起著不可缺少的作用才能理解數(shù)學(xué)。首先，在數(shù)學(xué)中利用高等數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的縱向與橫向聯(lián)系，有意識地幫助學(xué)生建立自己的知識結(jié)構(gòu)，如在利用求曲邊梯形的面積來引入定積分的概念時，其基本思維方法是：分割、近似代替，求和、取極限，最后得出定積分的概念。而這一方法同樣可解決求曲頂柱體的體積、空間物體的質(zhì)量、曲線段的質(zhì)量等問題，區(qū)別僅在于取極限時趨向于零的元素不同而已。在具體每一章的講解中，要著重介紹此章知識的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的內(nèi)在聯(lián)系及其本章的關(guān)鍵與核心的處理方法，使學(xué)生能夠抓住本質(zhì)，真正做到變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，主動建構(gòu)自己本章的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并能用框圖展現(xiàn)出知識間的內(nèi)在聯(lián)系，只有這樣才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，增加對高等數(shù)學(xué)知識的理解，提高高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。幫助學(xué)生建立自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、歸納能力、分析問題、解決問題的能力，還能促進(jìn)其自學(xué)，調(diào)動和增強學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的信心和自覺程度。

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