基于Copula函數(shù)的滬深300股指期貨相依風險研究

摘 要：本文對滬深300股指和股指期貨仿真交易收益率極端風險和相依關(guān)系進行了研究，用DCC-GARCH模型描述了股指期貨和現(xiàn)貨之間動態(tài)的條件相關(guān)系數(shù)，并以極值分布為邊際分布對四種常用的Copula函數(shù)進行了擬合，發(fā)現(xiàn)Frank Copula的擬合效果最好，其次為Clayton Copula。在此基礎(chǔ)之上，對不同組合的VaR和CVaR進行測度，發(fā)現(xiàn)投資組合比例與風險之間呈現(xiàn)“U”型特征，這也為股指期貨套期保值提供了一種新的研究方式。

關(guān)鍵詞：極值分布；Copula函數(shù)；套期保值

Abstract：This paper study extreme risk and the relationship between the China 300 stock index and stock trading simulation yield. DCC-GARCH model used to describe the dynamic conditions of the correlation coefficient between the stock index futures and spot goods，and extreme value distribution for the marginal distribution of the four commonly used Copula function fitting.We found Frank Copula is the best fit，followed by Clayton Copula. On this basis，with different combinations of VaR and CVaR for measure，we find“U”-type features between the proportion of portfolio and risk，which provides a new approach for hedge research.

Key Words：extreme value distribution，Copula function，hedge

中圖分類號：F830 文獻標識碼：A 文章編號：1674-2265（2012）12-0003-09

一、引言

金融資產(chǎn)的相關(guān)性塑造了這樣一種風險機制：它為風險的傳播提供了便捷的渠道，使之在與其相關(guān)聯(lián)的金融產(chǎn)品間蔓延，不斷地積累能量并觸發(fā)新的風險以致于金融風波，如美國的次貸危機所引發(fā)的全球經(jīng)濟動蕩。因此，如何度量金融資產(chǎn)的相關(guān)性歷來為學者所關(guān)注。

股指期貨不僅可以作為風險管理工具，有效分散和轉(zhuǎn)移企業(yè)的金融風險，而且還可以發(fā)揮套期保值的作用，為投資者規(guī)避風險。但股指現(xiàn)貨和期貨之間特殊的關(guān)聯(lián)性使得杠桿值進一步增加，這又成為金融市場上新的風險來源。本文考察我國股指期貨正式推出之前期貨和現(xiàn)貨的動態(tài)相關(guān)關(guān)系，分析其風險特征并進行套期保值的研究。

目前，對金融資產(chǎn)收益時間序列的風險研究眾多，估計方法主要包括歷史模擬法、參數(shù)方法和非參數(shù)方法。歷史模擬是利用收益序列的經(jīng)驗分布來近似真實分布，該方法雖然簡單，但不能對過去觀察不到的數(shù)據(jù)進行外推，在運用中受到限制。參數(shù)方法假定資產(chǎn)收益服從某一特定過程，基于某一特定分布，得出的風險值多是對金融資產(chǎn)收益的總體風險的度量，并未很好地考慮到極端風險。由于金融市場上的收益率存在尖峰厚尾的特征，極端事件的發(fā)生雖然稀少，損失卻很巨大，人們最為關(guān)注的風險就是這種極端風險。極值分布作為一種非參數(shù)方法，不需設(shè)定模型，而是讓數(shù)據(jù)去選擇，相對于一般的橢圓分布，它更能捕捉到市場的極端風險；而極端風險間的相關(guān)是一種非線性相關(guān)，由于金融收益率具有的“波動叢集性”的特征，使得一般的線性相關(guān)無法準確描述金融資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。Copula作為一種數(shù)學函數(shù)可以用來度量金融市場上的非線性相關(guān)，正確設(shè)定研究對象的邊緣分布是構(gòu)造Copula函數(shù)的關(guān)鍵。Copula這一概念最早由斯克拉（SKlar，1959）提出，最近幾年才發(fā)現(xiàn)它能應用在金融風險管理中，對這一方法比較系統(tǒng)的理論介紹可以參見喬（Joe，1997）、內(nèi)爾森（Nelsen，1999）和恩布雷希茨等（Embrechts等，1999）的研究。隆吉（Longi，2000）應用Copula方法對信用風險及信用衍生產(chǎn)品定價進行研究。弗雷和麥克尼爾（Frey和McNeil，2003）使用Copula方法來分析尾部相關(guān)性，采用比較一般化的相關(guān)系數(shù)進行定義。近年來使用Copula方法對組合風險進行度量的研究還有波耶、戈塞爾和薩蒙（Bouye、Gaussel和Salmon，2002），隆吉和索林克（Longi和Solink，2001），格拉澤曼等（Glasserman等，2002），恩布雷希茨等（2003），羅森堡和舒曼（Rosenberg和Schuermann，2005）等。恩布雷希茨等（2003）和凱路比尼等（Cherubini等，2004）對Copula在金融中的相關(guān)應用給出了比較全面的綜述。

本文在綜合現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，以極值分布作為構(gòu)造Copula函數(shù)的邊緣分布，分析滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率的極端風險，找出能夠精確度量極端風險的相依結(jié)構(gòu)，并對相依關(guān)系做出合理解釋。

二、模型介紹

（一）VaR及CVaR模型

1. VaR模型。VaR也稱在險價值，是一定時期內(nèi)，在一定的置信度下，投資組合可能出現(xiàn)的最大損失，是國際上新近發(fā)展起來的一種卓有成效的風險量化技術(shù)。假設(shè) 代表某一金融資產(chǎn)的損失，其密度函數(shù)為 ，則VaR可以表示為：

（1）

當密度函數(shù) 為連續(xù)函數(shù)時，也可以表示為： ，其中 為損失分布 的反函數(shù)。

2. CVaR的計算模型。CVaR是指損失超過VaR 的條件均值，也稱為期望短缺 CVaR（Expected Shortfall VaR）或尾部VaR（Tail VaR），其數(shù)學表達式為： ，X 表示損失（即負的收益）。CVaR彌補了 VaR 的缺陷。對于一個連續(xù)性的隨機變量，CVaR是超過VaR的損失的期望值。此時有：

（2）

因為VaR往往會低估風險，大多數(shù)金融情景下的風險衡量，會帶來災難性的后果。而這個問題可以被CVaR所解決。CVaR 滿足平移不變性、正齊次性、次可加性和單調(diào)性，因而是一致性的風險度量。CVaR 代表了超額損失的平均水平，反映了損失超過 VaR 閾值時可能遭受的平均潛在損失的大小，較之 VaR 更能體現(xiàn)潛在的風險價值。

（二）DCC-GARCH模型

DCC-GARCH模型由恩格爾（Engle，2002）提出，是在波勒斯勒夫（Bollerslev，1990）提出的常相關(guān)模型的基礎(chǔ)上發(fā)展出來的。設(shè) 為具有零均值的收益序列，則DCC-GARCH的具體模型為：

（3）

其中 是一個對角矩陣，對角線的元素即為各變量的條件方差， 為標準化殘差 的條件協(xié)方差矩陣，S為標準化殘差 的無條件協(xié)方差矩陣， 為條件相關(guān)系數(shù)矩陣，符號“ ”代表Hadamard乘積，即兩矩陣對應元素相乘， ， 為所要估計的參數(shù)。

收益服從多元正態(tài)分布是使用極大似然估計的前提，若此前提假設(shè)不成立，只能使用擬極大似然估計（Quasi-Maximum Likelihood）。估計過程分為兩階段：（1）使用一元GARCH模型對各變量進行估計。（2）使用前一步驟所得的標準化殘差來估計條件相關(guān)系數(shù)（條件協(xié)方差）。

（三）POT模型及極端風險測度

極值理論作為度量極端風險的一種方法，具有超越樣本數(shù)據(jù)的估計能力，并可以準確地描述分布尾部的分位數(shù)。它主要包括兩類模型：BMM模型和POT模型。其中BMM模型是一種傳統(tǒng)的極值分析方法，主要用于處理具有明顯季節(jié)性數(shù)據(jù)的極值問題，POT模型是一種新型的模型，對數(shù)據(jù)要求的數(shù)量比較少，是目前經(jīng)常使用的一類極值模型。本文將采用POT模型進行估計。

1. POT模型的理論基礎(chǔ)。假設(shè)序列 的分布函數(shù)為 ，定義 為隨機變量 超過閾值 的條件分布函數(shù)，它可以表示為：

（4）

根據(jù)條件概率公式我們可以得到：

（5）

定理（皮金斯，1975）：對于一大類分布 （幾乎包括所有的常用分布），存在一個 ， 使得條件超限分布函數(shù) ：

（6）

當 時， ；當 時， 。函數(shù) 為廣義帕累托分布。

2. POT模型的建立和求解。本文采用最大概似估計法（Maximum Likelihood CVaRtimation）估計參數(shù) 與 ，求極值分布的方法如下：

第一步， 找出GPD概率密度函數(shù)：

（7）

第二步，求其對數(shù)似然函數(shù)：

（8）

第三步，確定閾值 ：

迪普伊（Dupuis，1998）給出了對閾值 的估計方法，一般有兩種：根據(jù)Hill圖或根據(jù)樣本的超限期望圖。本文采用樣本的超限期望圖確定閾值 ，令 ，樣本的超限期望函數(shù)定義為：

（9）

超限期望圖為點 構(gòu)成的曲線，選取充分大的 作為閾值，使得當 時， 為近似線性函數(shù)：

（10）

第四步，估計結(jié)果：

當 確定以后，利用 的值，根據(jù)公式（6）進行最大似然估計得到 和 。同時，我們得到 的值中比閾值 大的個數(shù)，記為 ，根據(jù)公式（4），用頻率代替 的值，可以得到 的表達式：

（11）

3. 基于極值分布的VaR估計。由上式取反函數(shù)，可以得出VaR的估計式，對于給定某個置信水平 ，可以由 的分布函數(shù)公式（8）得到：

（12）

根據(jù)GPD的條件分布函數(shù)公式（5）可以得到：

（13）

（四）Copula函數(shù)及相依風險測度

1. 四種常用的Copula函數(shù)。尤里（Juri，2002）提出的Copula函數(shù)包含了變量尾部相關(guān)的全部信息，可以使分析者更加全面地了解變量之間的尾部相關(guān)關(guān)系。為了對變量之間的尾部相依關(guān)系進行刻劃，我們在對滬深300股指現(xiàn)貨和期貨相依關(guān)系的研究中使用了四種Copula函數(shù)，分別是Gumbel、Guass、Clayton和Frank函數(shù)。

（1）Gauss Copula函數(shù)。

（14）

為一元標準正態(tài)分布， 。 事實上是邊際分布為標準正態(tài)分布的函數(shù)。諸多研究表明，在數(shù)據(jù)的中間部分，模擬 與實際數(shù)據(jù)吻合較好，但在尾部差別相當明顯，當要度量尾部風險相依性時，Gauss Copula是無能為力的。

（2）Gumbel Copula函數(shù)。Gumbel Copula 函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

（15）

（16）

其中 。當 時， ，即隨機變量 、 獨立；當 時，隨機變量 、 趨向于完全相關(guān)，且 ，即當 時，Gumbel Copula函數(shù)趨向于Fréchet上界 。

Gumbel Copula的密度函數(shù)具有非對稱性，上尾高下尾低，其密度分布呈“J”字型。Gumbel Copula 函數(shù)上尾的相關(guān)性較強，可用于描述在上尾處具有較強相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象。收益率呈左偏分布時，多用Gumbel Copula去描述相關(guān)關(guān)系。

（3）Clayton Copula函數(shù)。Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為：

（17）

（18）

其中 。當 時， ，即隨機變量 、 趨向于獨立；當 時，隨機變量 、 趨向于完全相關(guān)，且 ，即當 時，Clayton Copula函數(shù)趨向于Fréchet上界 。

Clayton Copula的密度函數(shù)同樣具有非對稱性，上尾低下尾高，其密度分布呈“L”型。Clayton Copula 函數(shù)下尾的相關(guān)性較強，可用于描述在下尾處具有較強相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象。收益率呈右偏分布時，多用Clayton Copula去描述相關(guān)關(guān)系。

（4）Frank Copula函數(shù)。Frank Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：

（19）

（20）

其中 。 時，隨機變量 、 正相關(guān)， 時隨機變量 、 趨向于獨立， 時隨機變量 、 負相關(guān)。Frank Copula的密度函數(shù)具有對稱性，其密度分布呈“U”型。

2. Copula模型的估計。Copula模型的參數(shù)估計采用兩階段的極大似然估計方法。極大似然方程為：

（21）

為聯(lián)合密度函數(shù)， 是邊際分布 的參數(shù)， 是Copula分布密度函數(shù)的參數(shù)，所有的參數(shù)集為：

（22）

第一步，估計邊緣分布函數(shù)參數(shù)：

第二步，在已知第一步參數(shù)的情況下，對 進行估計：

（23）

以上方法又稱邊際推斷函數(shù)法（IFM），參數(shù)的估計稱為邊際推斷估計（IFME），IFME和MLE的效率是非常接近的，具有一致性和漸近正態(tài)性。

3. 基于Copula的VaR算法。結(jié)合前面的極值分布，測定VaR的算法主要步驟如下：

第一步，估計滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率的極值分布參數(shù)。

第二步，以GPD為邊際分布，估計四種Copula函數(shù)的參數(shù)。

第三步，根據(jù)一定準則選取擬合最優(yōu)的Copula函數(shù)。

第四步，使用恰當?shù)倪\算法則從最優(yōu)的Copula函數(shù)產(chǎn)生pseudo隨機數(shù)。

第五步，用蒙特卡羅模擬，產(chǎn)生10000組模擬的資產(chǎn)組合估計VaR。

三、實證分析

（一）樣本選取及說明

滬深300指數(shù)期貨合約于2006年10月30日開始在中國金融期貨交易所進行仿真交易，從2007年起進行考察。本文選取2007年1月4日到2008年9月26日間期現(xiàn)指數(shù)收盤價作為分析對象。數(shù)據(jù)來源于中國金融期貨交易所（www.cffex.com.cn）。滬深300指數(shù)期貨推出的是當月、下月和隨后兩個季月的合約，每個期貨合約都有到期日，為了克服期貨價格的不連續(xù)性，我們把每一天離到期日最近的合約品種的收盤價格連接起來。收益率定義為： ， 表示第t日指數(shù)收盤價，為了凸顯研究對象的數(shù)字特征，通過單調(diào)變換把收益率定義為 。滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率分別用s和f表示。

（二）樣本描述統(tǒng)計

首先對滬深股指300現(xiàn)貨和期貨收益率進行了描述統(tǒng)計，結(jié)果表明，滬深股指300現(xiàn)貨收益率的標準差為2.7080，明顯低于仿真股指期貨收益率的標準差，期貨收益率的峰度為7.5163，現(xiàn)貨收益率的峰度為3.9259，這說明期貨收益率的整體波動要大一些。從J-B正態(tài)檢驗來看，無論是期貨還是現(xiàn)貨的收益率都顯著拒絕原正態(tài)分布的假設(shè)。雖然現(xiàn)貨收益率的均值和中位數(shù)都大于期貨收益率，但現(xiàn)貨收益率的偏度為-0.3590，期貨的為1.1641。

采用DCC-GARCH模型對滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率序列進行擬合，圖1顯示兩個收益率序列動態(tài)相關(guān)的特征示例，其中縱坐標為動態(tài)時變相關(guān)系數(shù)。兩指數(shù)收益序列動態(tài)相關(guān)性非常強，相關(guān)系數(shù)最小為0.0293，最高為0.8909，平均為0.7077，標準差為0.0751。

（三）極值分布建模及極端風險測度

1. 極值分布的閾值選取?；跇O值理論中的POT模型，我們需要確定恰當?shù)拈撝?對超限分布進行GPD擬合。迪穆謝爾（DuMouchel，1983）的研究表明，在 允許的情況下選取10%左右的數(shù)據(jù)作為極值數(shù)據(jù)組是比較合適的，否則可能會出現(xiàn)樣本內(nèi)過度擬合，樣本外不適用。圖2和圖3分別描繪了滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率下尾和上尾以及各自的閾值變動范圍。圖2為超限期望圖及下尾閾值范圍，左上為現(xiàn)貨收益率下尾，右上為期貨收益率下尾，左下為現(xiàn)貨收益率下尾閾值范圍，右下為期貨收益率下尾閾值范圍。圖3為滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率上尾閾值范圍，左上為現(xiàn)貨收益率上尾，右上為期貨收益率上尾，左下為現(xiàn)貨收益率上尾閾值范圍，右下為期貨收益率上尾閾值范圍。以現(xiàn)貨收益率下尾分布為例：樣本的平均超限函數(shù)圖在-3.3附近近似直線，具有明顯的帕累托分布特征，并且我們結(jié)合閾值平緩變動的范圍，經(jīng)過多次試驗，最終確定當 、 時能夠較好地刻劃下尾特征。

2. GPD參數(shù)估計結(jié)果。根據(jù)選取的閾值，進行極大似然估計，通過尾部的擬合得到參數(shù)估計結(jié)果（見表1）。由圖4、圖5可以看出，下尾尾部的大部分點基本都落在圖中的曲線上。由于數(shù)據(jù)分布的原因，上尾擬合不可避免地存在一些偏差，總體來看GPD的擬合效果是比較理想的。

3. 基于極值分布的VaR和CVaR估計結(jié)果。為了凸顯極值分布對極端風險的刻劃能力，表2同時給出了基于正態(tài)分布和極值分布的VaR和CVaR估計值，由表2不難看出：期貨收益率的風險要明顯大于現(xiàn)貨收益率的風險，極值分布下的期貨風險值大概是現(xiàn)貨的兩倍；在0.975和0.99的置信水平下，基于極值分布的風險估計值要大于正態(tài)分布下的風險值，說明越是在高分位數(shù)，極值分布越能捕捉到尾部風險。

（四）Copula函數(shù)建模和相依風險測度

1. 經(jīng)驗Copula函數(shù)。經(jīng)驗Copula函數(shù)是基于非參數(shù)建模的方法對金融時間序列的真實分布做出較為精確的擬合，這種估計能夠比其他方法更接近數(shù)據(jù)的實際分布，因此，在將滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率的邊際分布（極值分布）轉(zhuǎn)化為均勻分布進行不同的Copula函數(shù)估計之前，有必要考察經(jīng)驗Copula函數(shù)的一些性狀。

由于Gumbel Copula在上尾有著較高的相關(guān)性，即主要反映市場交易活躍時的相關(guān)，不妨稱之為“牛式相關(guān)”；Clayton Copula在下尾有著較高的相關(guān)性，即主要反映市場交易不活躍時的相關(guān)，稱之為“熊式相關(guān)”；Frank Copula是對稱分布，屬于“對稱相關(guān)”。由經(jīng)驗Copula概率密度的等高線可以看出，該分布兩端概率的密集程度大體相當，或下尾比上尾處的概率稍微密集了些，因此有理由猜想利用對稱分布的Frank Copula或Clayton Copula可以較為真實地反映這一相關(guān)結(jié)構(gòu)。

圖6：經(jīng)驗Copula密度函數(shù)和概率密度的等高線

由表3可以看出，F(xiàn)rank Copula的極大似然值最大，并且AIC和BIC是最小的，因此選取Frank Copula是比較恰當?shù)摹８鶕?jù)以上估計結(jié)果對函數(shù)進行擬合，圖7給出經(jīng)驗Copula和四種Copula的擬合圖的等高線，左上為Gumbel Copula，右上為Gauss Copula，左下為Frank Copula，右下為Clayton Copula。不難看出，F(xiàn)rank Copula的擬合效果最好，其次為Clayton Copula。為了進一步驗證這一結(jié)論的可靠性，利用Frank Copula函數(shù)對滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率序列進行模擬，對照真實收益率，可以推知基于Frank Copula對收益率分布的擬合非常理想（見圖8）。

3. 基于Frank Copula的VaR和CVaR估計結(jié)果。

現(xiàn)在考慮極端事件的相依風險的測度問題，s和f分別表示滬深300股指現(xiàn)貨和期貨的收益率，設(shè) 和 分別為股指現(xiàn)貨和期貨的投資比例，這兩種資產(chǎn)的組合投資的對數(shù)收益率可以表示為：

選取極值分布作為邊際分布，F(xiàn)rank Copula為連接函數(shù)，模擬出聯(lián)合分布F的隨機數(shù)，對于給定的組合投資收益率R，在給定的置信水平q下，用蒙特卡羅模擬，產(chǎn)生10000組模擬的資產(chǎn)組合估計VaR。

以上給出了五種組合下的VaR和CVaR值，不難發(fā)現(xiàn)，隨著現(xiàn)貨投資比例的增加，風險值不斷降低，然后又隨之增加，大致呈現(xiàn)“U”型特征。以上面數(shù)據(jù)為例，在0.975和0.99的置信水平下，現(xiàn)貨的投資比例為0.7、期貨的投資比例為0.3時，風險值最低，不斷地縮短步長，總可以找到風險最低的投資組合，該思路可以運用到套利上面去，從而為研究股指期貨的最優(yōu)套期保值提供了新的范式，這也是本文下一步的研究重點。

四、結(jié)論

第一，通過DCC-GARCH模型對股指仿真期貨和現(xiàn)貨收益率的條件相關(guān)的動態(tài)描述可以看出，滬深300股指期貨和現(xiàn)貨收益率的變動趨勢大致相同，具有較強的動態(tài)相關(guān)關(guān)系，投資者可以利用現(xiàn)貨和期貨收益波動的相關(guān)性進行有效的套期保值，規(guī)避系統(tǒng)性風險；而監(jiān)管者需要更加密切地關(guān)注證券市場的動態(tài)變化，防止股指期貨推出后市場的惡意操縱。

第二，以極值分布為邊際分布構(gòu)造的Copula函數(shù)極大限度地捕捉到了極端風險的相依關(guān)系。進一步的實證表明：期貨風險要明顯大于現(xiàn)貨風險，極值分布下的期貨風險值大概是現(xiàn)貨的兩倍。滬深300股指現(xiàn)貨和期貨收益率的尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)可以用Frank函數(shù)進行描述，即無論市場瘋狂上漲還是急劇下跌過程中，股指現(xiàn)貨和期貨收益率之間存在著同時相互影響、相互加強的雙邊風險關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時，尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)也可以用Clayton函數(shù)進行刻劃，這一結(jié)果意味著當資本市場出現(xiàn)持續(xù)下跌、劇烈波動等極端風險事件時，股指期貨的風險關(guān)聯(lián)性相互加強。因此，應設(shè)定恰當?shù)姆€(wěn)定機制，盡可能不干擾市場正常波動和交易情況，特別是對于預防股災等極端股市危機是極其必要的。

第三，在利用Frank Copula進行極端風險測度的同時，我們發(fā)現(xiàn)，在投資組合比例的步長為0.2時，隨著現(xiàn)貨投資比例的增加，風險值先是不斷降低后又逐漸增加，組合投資風險大致呈“U”型分布，縮短步長，可以得到風險最低時的投資組合，至少可以得到對應風險局部最小值的投資組合，其實這是一種風險對沖的思想，從而為最優(yōu)套期保值比率的研究提供了一種新的思路。

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（特約編輯 齊稚平；校對 GX）