例析初中代數(shù)解題方法

　　摘 要： 代數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，學(xué)好代數(shù)對于中學(xué)生至關(guān)重要.文章介紹了初中代數(shù)解題的6種方法，包括常用的基礎(chǔ)解題法和技巧解題法.
　　關(guān)鍵詞： 初中代數(shù) 基礎(chǔ)解題法 技巧解題法
　　
　　數(shù)學(xué)離不開思維.很多學(xué)生天天做練習(xí)，但成績就是不理想.主要原因是沒有吃透教材的基本原理，沒有掌握解題的科學(xué)方法.只有掌握方法，才能觸類旁通，舉一反三.不管遇到什么難題，都能得心應(yīng)手，迎刃而解.那么在初中代數(shù)中有哪些基礎(chǔ)解題法和技巧解題法呢？
　　一、待定系數(shù)法
　　用一個或多個字母來表示與解答有關(guān)的未知數(shù)，這些字母就叫待定系數(shù)法.待定系數(shù)法是一種最基本的數(shù)學(xué)方法，這個方法多用于多項式運算、方程和函數(shù).
　　例1：根據(jù)二次函數(shù)的圖像上（-1，0）、（3，0）、（1，-4）三點的坐標，寫出函數(shù)的解析式.
　　解：由題設(shè)知，當(dāng)x=-1和x=3時，函數(shù)y的值都等于0.故設(shè)二次函數(shù)：y=a（x+1）（x-3）（兩點式）.把（1，-4）代入上式，得a=1.故所求的解析式為y=（x+1）（x-3）=x-2x-3.
　　注意：用待定系數(shù)法確定函數(shù)式時要講究一些解題技巧.此題可設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax+bx+c，用待定系數(shù)法，把已知的三點代入，得到一個三元一次方程組，進而求出三個待定系數(shù)a，b，c，但這種解法運算量較大.而運用兩點式則大大減少了運算量，提高了解題效率與準確率.
　　例2：已知3x+7y+z=3.15，4x+10y+z=4.20，求x+y+z的值.
　　解：設(shè)x+y+z=a（3x+7y+z）+b（4x+10y+z）=（3a+4b）x+（7a+10b）y+（a+b）z
　　所以得到三個等式：3a+4b=1，7a+10b=1，a+b=1
　　聯(lián)立上面三個式子解得：a=3，b=-2，所以x+y+z=3×3.15-2×4.20=1.05.
　　這道例靈活運用待定系數(shù)法便可巧妙解出，它考查了學(xué)生的觀察能力與思維能力.
　　二、配方法
　　配方，一般是指在一個代數(shù)式中通過加減相同的項，把其中若干項變形為n次冪形式的項.這是恒等變形的重要方法之一.因為它有廣泛的遷移意義.
　　例3：分解因式x+64.
　　解：x+64=（x+16x+64）-16x=（x+8）-（4x）=（x+4x+8）（x-4x+8）
　　例4：（x-z）-4（x-y）（y-z）=0，求x+z-2y的值.
　　解：由已知條件得x-2xz+z-4xy+4y+4xz-4yz=0，即（x+z）-4（x+z）y+4y=0，則［（x+z）-2y］=0，所以x+z-2y=0.
　　三、換元法
　　把一個簡單的含變元的式子替換一個較為復(fù)雜的含變元的式子，可使問題得以簡化.這樣的方法就叫做換元法.換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，根據(jù)問題的特點進行巧妙換元，往往可以化繁為簡，化難為易，收到事半功倍的功效.
　　例5：計算：（2+3.15+5.87）×（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）×（3.15+5.87）
　　解：設(shè)a=3.15+5.87，b=3.15+5.87+7.32
　　所以，原式=（2+a）×b-（2+b）×a=2（b-a）=2×7.32=14.64.
　　例6：解方程組x-xy+y=363x-xy+3y=0
　　解：令x+y=uxy=v（1）
　　代入方程組中，得u-3v=363u-v=0，解得u=12v=36和u=-3v=-9，
　　代入（1）式中，得x+y=12xy=36，x+y=-3xy=-9，
　　分別解之，得x=6y=6，x=y=.
　　以上三種方法是我們初中階段較常見較重要的基礎(chǔ)解題方法，愿同學(xué)們能從中得到啟發(fā)，重視中學(xué)數(shù)學(xué)中的解題基本方法.下面介紹三種技巧解題方法，希望對同學(xué)們的觀察力和思維能力的提高有所幫助.
　　四、構(gòu)造法
　　構(gòu)造法是一種實用的解題技巧.解決一些問題時，應(yīng)用它常常會使問題迎刃而解，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.
　　例7：已知2m-5m+1=0，2n-5n+1=0，且m≠n，求+的值.
　　分析:若解出m，n的值，再把它們代入，+顯然計算很麻煩;但注意到已知的兩個等式形式相同，并且具有一元二次方程的形式，這啟示我們要構(gòu)造一元二次方程，利用韋達定理求原代數(shù)式的值.
　　解:由題設(shè)知m，n是方程2x-5x+1=0的兩根，
　　由韋達定理，得m+n=，mn=.
　　所以+====10.
　　五、猜測與歸納法
　　有些數(shù)學(xué)問題的一般結(jié)論難以根據(jù)題設(shè)條件“一眼看穿”，往往先分析某些簡單的、特殊的或現(xiàn)成的情況，使用經(jīng)驗歸納這一推理方法，從中猜測，并由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探得解題途徑.
　　例8：求出2是多少位數(shù)字?
　　解:因為2=（2）=1024＞1000=10，
　　所以2的位數(shù)不會少于31位.
　　又因為＜=＜??…?=＜0，所以2=1024＜10?10=10，即2的位數(shù)少于32.因此2的位數(shù)為31.
　　六、幾何解法
　　代數(shù)與幾何是初中數(shù)學(xué)兩個重要分支，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)一種重要方法.幾何將抽象的數(shù)量關(guān)系通過直觀的圖形形象地展示出來.
　　例9：設(shè)m，n，p均為正實數(shù)，且m+n-p=0，求的最小值.
　　分析：由m+n-p=0可想到構(gòu)造直角三角形；由可想到三角形對應(yīng)邊的比.
　　解：構(gòu)造Rt△ABC，AC=m，BC=n，AB=p，延長BC到D，使DC=AC=m，連接AD，則BD=m+n，AD=m，∠D=45°，交BD于E點，可證△BAE與△BDA相似，所以=，即==，又因為AC⊥BD，則AE≥AC，所以當(dāng)AE=AC=m時，值最小，即的最小值為.
　　
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