淺析不定積分的積分方法

　　摘 要： 在高職高專院校高等數(shù)學(xué)的不定積分章節(jié)的學(xué)習(xí)中，有三種積分方法，分別是第一類換元積分法，第二類換元積分法和分部積分法.部分學(xué)生在積分運(yùn)算中，對(duì)積分方法的選擇不知如何著手.針對(duì)這種現(xiàn)象，本文對(duì)三種積分方法加以總結(jié)，以便學(xué)生對(duì)積分方法能更好地掌握.
　　關(guān)鍵詞： 不定積分 換元積分法 分部積分法
　　
　　一、第一類換元積分法
　　定理1（第一類換元積分法）設(shè)f（u）具有原函數(shù)，u=φ（x）可導(dǎo)，則有換元積分公式
　　f［φ（x）］φ′（x）dx=［f（u）du］.
　　第一類換元積分公式實(shí)質(zhì)上就是：f［φ（x）］φ′（x）dx=f［φ（x）］d［φ（x）］.
　　第一類換元積分公式在運(yùn)用過程中，應(yīng)用的關(guān)鍵是確定新的積分變量φ（x），那么如何確定φ（x）？方法有如下兩種.
　　1.通過對(duì)所求不定積分中被積函數(shù)的觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)中既含有φ（x）又含有φ′（x），則我們就可以猜測(cè)出新的積分變量為φ（x）.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定積分的被積函數(shù)為，因?yàn)椋╨nx）′=，所以我們可以把看做lnx，則新的積分變量φ（x）=lnx.
　　解：dx=［lnx］dx=lnxd［lnx］=lnx+C
　　2.通過對(duì)所求不定積分的觀察，猜測(cè)出所要運(yùn)用的基本積分公式，基于這個(gè)公式確定新的積分變量φ（x）.
　　例如：求sin3xdx
　　分析：所求不定積分為sin3xdx，觀察后發(fā)現(xiàn)我們所用的基本積分公式為sinxdx=-cosx+C，但是所求積分的被積函數(shù)不是sinx而是sin3x，我們可以把3x看做一個(gè)整體，就是新的積分變量φ（x），即φ（x）=3x.
　　解：sin3xdx=［sin3x］3dx=［sin3x］d［3x］=［sin3x］d［3x］=-cos3x+C
　　二、第二類換元積分法
　　定理2（第二類換元積分法）設(shè)函數(shù)x=φ（t）單調(diào)，可導(dǎo)，且φ′（t）≠0，f［φ（t）］φ′（t）的原函數(shù)存在，則有換元積分公式
　　f（x）dx=［f［φ（t）］φ′（t）dt］，
　　其中t=ψ（x）是x=φ（t）的反函數(shù).
　　第二類換元積分公式在何時(shí)運(yùn)用？我認(rèn)為：重點(diǎn)是解決被積函數(shù)中含有“根號(hào)”的F7zViwaPmvMBWbLi4VgyBs24EkzsS2kwef3k98GsBKw=積分問題.那么在學(xué)習(xí)中遇到的常見的含有根號(hào)的情形有幾種呢？我總結(jié)了一下共有四種，分別是：；；；.
　　如何消除被積表達(dá)式中的根號(hào)？做適當(dāng)變量替換即可，針對(duì)以上四種情形具體替換如下：
　?、?對(duì)，設(shè)t=；
　?、?對(duì)，設(shè)x=asint；
　　③ 對(duì)，設(shè)x=atant;
　　④ 對(duì)，設(shè)x=asect.
　　原來關(guān)于x的不定積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不定積分，在求得關(guān)于t的不定積分后，必須代回原變量.在進(jìn)行三角函數(shù)換元時(shí)，可由三角函數(shù)邊與角的關(guān)系，作三角形，以便于回代.在使用第二類換元法的同時(shí)，應(yīng)注意根據(jù)需要，隨時(shí)與被積函數(shù)的恒等變形、不定積分性質(zhì)、第一類換元法等結(jié)合使用.
　　例如：求dx
　　分析：所求不定積分的被積函數(shù)中含有根號(hào)，符合上述情形中的第三種，由此我們做替換x=2tant即可.
　　解：dx=?2sectdt=sectdt=ln（sect+tant）+C=ln++C=ln（+x）+C
　　三、分部積分法
　　分部積分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx（其中u=u（x）與v=v（x）都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)）
　　分部積分法主要是解決被積函數(shù)是兩類不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題.這里我們所說的函數(shù)類型指的是反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)五種基本初等函數(shù).當(dāng)然在具體應(yīng)用時(shí)被積函數(shù)未必是這五種類型，有可能是相似的類型，我們?cè)趹?yīng)用公式前，只需要將所求的不定積分運(yùn)用其他的積分方法適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為這五種函數(shù)即可.
　　應(yīng)用分部積分公式的關(guān)鍵是確定公式中的u和v′，如何確定它們？可按照反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的順序（即“反、對(duì)、冪、三、指”的順序），把排在前面的那類函數(shù)選作u，而把排在后面的那類函數(shù)選作v′.
　　例如：求xsinxdx
　　分析：不定積分中的被積函數(shù)xsinx為兩類不同類型的函數(shù)乘積，所以我們就要應(yīng)用分部積分法，其中u為x，v′為sinx，則u′=1，v=-cosx把上述四項(xiàng)代入公式即可.
　　解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C
　　小結(jié)：我們學(xué)習(xí)以上三種積分方法的目的就是要把我們所計(jì)算的不定積分問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的基本積分公式來處理，當(dāng)然，這些積分方法在運(yùn)用時(shí)往往不是單獨(dú)使用，大多數(shù)情形下都是混合使用，甚至要多次使用.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］同濟(jì)大學(xué)，天津大學(xué)，浙江大學(xué)，重慶大學(xué)編.高等數(shù)學(xué).高等教育出版社，2004.6，第2版.
　?。?］周金玉.高等數(shù)學(xué).北京理工大學(xué)出版社，2009.8，第1版.
　　［3］陳傳樟等.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.