數(shù)學(xué)高考中合情推理的類型評(píng)析

　　合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果），以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，憑數(shù)學(xué)直覺，通過(guò)類比而產(chǎn)生聯(lián)想、歸納而提出猜想.歸納推理和類比推理是合情推理常用的思維方法.近年的高考明顯加大了這方面的考查力度.
　　歸納推理是?？碱愋停惐韧评碜鳛榭疾閷W(xué)生學(xué)習(xí)潛能的重要陣地，近年成為考試命題的熱點(diǎn)，往往被設(shè)計(jì)為填空題或者選擇題的壓軸題目，不僅有概念與性質(zhì)層面的類比，而且有過(guò)程與方法的類比.下面對(duì)合情推理在高考中的類型進(jìn)行歸納和評(píng)析.
　　一、 歸納推理由特殊到一般
　　例1.設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0），觀察:
　　f（x）=f（x）=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　f（x）=f（f（x））=，
　　……
　　根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：
　　當(dāng)n∈N且n≥2時(shí)，f（x）=f（f（x））= ?
　　答案：.
　　例2.觀察下列等式
　　1=1
　　2+3+4=9
　　3+4+5+6+7=25
　　4+5+6+7+8+9+10=49
　　……
　　照此規(guī)律，第n個(gè)等式為 ?
　　答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）.
　　評(píng)析：以上兩題的難度不大，此類問(wèn)題重在考查學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力.可利用歸納推理直接從已知的幾個(gè)特殊情況歸納出一般情況，達(dá)到解題的目的.這種歸納推理考查了學(xué)生的推理論證能力.
　　合情推理中的類比推理指的是依據(jù)兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的已知相似性，把其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去獲得后一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的一種方法，是特殊到特殊的推理.在數(shù)學(xué)中常用的類比形式有：“數(shù)”與“形”的類比；平面與空間的類比；高維與低維的類比；有限與無(wú)限的類比；解題方法的類比，等等.
　　二、類比聯(lián)想與合情推理
　　例3.在等差數(shù)列{a}中，若a=0，則有等式a+a+…+a=a+a+…+a（n<19，n∈N）成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)的，在等比數(shù)列中，若b=1，則有等式 成立.
　　解析：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.一種較本質(zhì)的認(rèn)識(shí)是：等差數(shù)列用減法定義，性質(zhì)用加法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a）；等比數(shù)列用除法定義，性質(zhì)用乘法表述（若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a?a=a?a）.
　　由此，猜測(cè)本題的答案為：bb…b=bb…b（n<17，n∈N）.事實(shí)上，該性質(zhì)可證.
　　評(píng)析：本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力和抽象概括能力，考查運(yùn)用類比的思想方法，由等差數(shù)列{a}而得到等比數(shù)列的新的一般性的結(jié)論.
　　例4.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB+AC=BC.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC，ACD，ADB兩兩相互垂直，則 ?”
　　解析：關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比：多面體與多邊形；面與邊；體積與面積；二面角與平面角；面積與線段長(zhǎng) ……由此，可類比推測(cè)本題的答案： S+SS=S.
　　評(píng)析：本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣，因此平時(shí)教學(xué)與復(fù)習(xí)中要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí)，更要注意研究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)中的適時(shí)切入.
　　三、方法類比提升推理層次
　　例5.在某些數(shù)列的求和中，可把其中一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差，使得某些項(xiàng)可以相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)求和.例如：已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)為a=，則a=-，故數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=（1-）+（-）+…+（-）=1-=.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的數(shù)列.在斐波那契數(shù)列{a}中，a=1，a=1，a=a+a（n∈N），若已知a=a，那么數(shù)列{a}的前2011項(xiàng)和是 ?
　　解析： S=a+a+a+…+a+a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）=a-a=a-1.
　　例6.已知數(shù)列{a}的通項(xiàng)為a=（2n-1）?2，求其前n項(xiàng)和為S時(shí)，我們用錯(cuò)位相減法，即由S=1?2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2得2S=1?2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2，兩式相減得-S=2+2?2+2?2+…+2?2-（2n-1）?2求出S=（2n-3）?2+6，類比推廣以上方法，若數(shù)列的通項(xiàng)為b=n?2，則其前n項(xiàng)和為T= ?
　　解析：
　　∵T=1?2+2?2+…+（n-1）?2+n?2
　　∴2T=1?2+2?2+…+（n-1）?2+n?2
　　∴-T=2+3?2+5?2+…+（2n-1）?2-n?2
　　=（2n-3）?2+6- n?2
　　故T=（n-2n+3）?2-6.
　　綜上所述，合情推理這類試題考查了學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，要求學(xué)生有一定的創(chuàng)新能力，能利用已學(xué)過(guò)的知識(shí)，在新的環(huán)境下獨(dú)立獲得新的知識(shí)結(jié)論.因此教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生的思維向深度、廣度拓展，掌握猜測(cè)歸納推理數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，養(yǎng)成“觀察—?dú)w納（類比）—猜想—論證”的思維習(xí)慣，從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).