初中數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)探索

摘 要： 數(shù)學(xué)知識(shí)的一切基礎(chǔ)都源于概念、定理、判定的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，學(xué)生的思考能力不是一兩天就能培養(yǎng)出來的，衡量學(xué)生是否掌握概念、定理，不是在于是否能說能背，而是看能否在具體的情景，問題中作出正確的判斷、解釋和應(yīng)用。初中數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)建立在遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律、情感態(tài)度與價(jià)值觀的基礎(chǔ)上，注意巧妙地設(shè)計(jì)一些基礎(chǔ)題，創(chuàng)造性地使用教材。

關(guān)鍵詞： 概念 定理 判定 初中數(shù)學(xué)教學(xué)

一、問題的提出

縱觀2010年全國各地的中考數(shù)學(xué)試卷，注重體現(xiàn)新課程的理念，對(duì)基本概念定理本質(zhì)的理解，以及考查對(duì)概念定理本質(zhì)的遷移能力。例如，2010年佛山市高中階段招生考試數(shù)學(xué)試卷第24題，題目如下：

新知識(shí)一般有兩類：第一類是一般不依賴其他知識(shí)的新知識(shí)，如“數(shù)”“字母表示數(shù)”這樣的初始性知識(shí)。第二類是在某些舊知識(shí)的基礎(chǔ)上以聯(lián)系、拓廣等方式產(chǎn)生的知識(shí)，大多數(shù)知識(shí)屬于這一類。

（1）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，是第幾類知識(shí)？

（2）在多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式之前，我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)知識(shí)？（寫出三條即可）

（3）請(qǐng)用你已有的有關(guān)知識(shí)，通過數(shù)和形兩個(gè)方面說明多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則如何獲得的？（用（a+b）（c+d）來說明）

該題目注重考查學(xué)生對(duì)概念公式法則本質(zhì)的理解和領(lǐng)悟能力，然而一部分考生卻無法領(lǐng)略其題目的命題意圖。該題看似繁難，全部是文字，其實(shí)只要教師在教學(xué)過程中，注意教學(xué)方法，注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的生成過程，學(xué)生就很容易領(lǐng)悟并正確解答出來。

二、注重?cái)?shù)學(xué)概念、定理、判定教學(xué)的重要性

什么是數(shù)學(xué)？《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。”“數(shù)學(xué)的概念和定理等雖然是一些語言和符號(hào)，但它們代表了確定的意義，這些意義是數(shù)學(xué)家們根據(jù)對(duì)客觀事物屬性的感知進(jìn)行思維的結(jié)果，也是一種表達(dá)形式?！保ā冬F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育學(xué)第110頁》）只有正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念、定理、判定，才能有效地進(jìn)行判斷、解釋，推理、運(yùn)算和解決實(shí)際問題。

1.數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要前提。

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生當(dāng)做數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。這要求學(xué)生要把理解和掌握數(shù)學(xué)概念定理與在實(shí)踐中運(yùn)用概念定理結(jié)合起來，在現(xiàn)實(shí)中理解和掌握概念，在實(shí)踐中運(yùn)用概念，在運(yùn)用中對(duì)概念加深理解。

2.數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生解決一切數(shù)學(xué)問題的先決條件。

學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的過程是一個(gè)認(rèn)識(shí)的過程，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)必須遵循認(rèn)識(shí)論的規(guī)律，理解是對(duì)象本質(zhì)和規(guī)律的認(rèn)識(shí)，是學(xué)生掌握知識(shí)的核心環(huán)節(jié)。我在教學(xué)過程中認(rèn)真閱讀《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，潛心鉆研教材，大膽嘗試教改，及時(shí)總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，關(guān)注概念的形成過程。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過程，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。理論聯(lián)系實(shí)際是辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的基本要求。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，通過學(xué)生日常生活中常見的實(shí)例、實(shí)物、模型等，讓學(xué)生辨別—觀察—思考—討論—?dú)w納，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上逐步建立易混淆的概念之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。

三、初中數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)建議和看法

1.遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，情感態(tài)度與價(jià)值觀，提供恰當(dāng)?shù)纳畈牧希寣W(xué)生感到數(shù)學(xué)源于自己周圍生活，從而感覺到非常親切，達(dá)到快樂學(xué)習(xí)，快樂接受的效果。

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。在教學(xué)的過程中應(yīng)使抽象的數(shù)學(xué)概念、定理、判定成為看得見、摸得著、想得來的東西。這樣既可以幫助學(xué)生理解掌握概念、定理、判定，又可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例如，《數(shù)軸》概念的教學(xué)。教師創(chuàng)設(shè)了這樣的問題情境：通過課件演示溫度計(jì)讀數(shù)，問題1：溫度計(jì)是我們?nèi)粘Ｉ钪杏脕頊y量溫度的重要工具，你會(huì)讀溫度計(jì)嗎？請(qǐng)你嘗試讀出圖中三個(gè)溫度計(jì)所表示的溫度？問題2：在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站，汽車站東3m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境。

問題的設(shè)計(jì)給學(xué)生提供了一個(gè)充分探索“數(shù)軸”概念的機(jī)會(huì)。數(shù)學(xué)概念、定理、判定的教學(xué)，要回歸教育的本源，貼近學(xué)生數(shù)學(xué)化發(fā)展需求，才能滿足全面實(shí)施數(shù)學(xué)素質(zhì)的要求。初中學(xué)生好奇心強(qiáng)，只有遵循學(xué)生的心理規(guī)律和認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，才能使得學(xué)生更加容易掌握新知識(shí)。

2.文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的最佳結(jié)合，達(dá)到直觀和抽象相結(jié)合的效果。

例如，教學(xué)《探索三角形全等的條件（一）》，教師提出問題后，學(xué)生采取各自解決問題的方案，通過畫圖、觀察、比較、推理、交流，在條件由少到多的過程中逐步探索出最后的結(jié)論：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。之后，很多教師就開始讓學(xué)生做練習(xí)了。其實(shí)，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步通過畫圖交流找出如何把這個(gè)判定用圖形語言和符號(hào)語言直觀地表達(dá)出來，情況如下：

在△ABC和△A′B′C′中

AB=A′B′BC=B′C′AC=A′C′

所以，ABC≌A′B′C′（SSS）

在這個(gè)判定的教學(xué)中既引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)了分類討論的思想，又引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想去研究幾何的學(xué)習(xí)。有了這個(gè)圖形語言、符號(hào)語言的結(jié)合，課本里的文字語言就顯得更直觀了，能讓學(xué)生更加深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)圖形及數(shù)學(xué)本學(xué)科的特有符號(hào)語言的應(yīng)用。一方面，能夠增加數(shù)學(xué)的趣味性，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。另一方面，結(jié)合圖形和符號(hào)理解相關(guān)概念、定理、判定，能夠把數(shù)學(xué)的邏輯性形象地展現(xiàn)出來，把邏輯思維和形象思維結(jié)合起來，能夠達(dá)到事半功倍的效果。

3.給學(xué)生充分的思考空間，類比其他概念、定理、判定的學(xué)習(xí)方法，認(rèn)識(shí)概念、定理、判定的系統(tǒng)性和層次性，達(dá)到靈活應(yīng)變，對(duì)概念有完善的認(rèn)識(shí)效果。

例如，《探索三角形的相似》，被安排在八年級(jí)下冊(cè)第4章（北師大版）。在學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)具備的知識(shí)基礎(chǔ)是，在七年級(jí)下冊(cè)第五章《三角形》里，已學(xué)習(xí)過三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，掌握了基本的概念，而且已經(jīng)掌握了探索判定三角形全等的方法；在本章前面幾節(jié)課中，又學(xué)習(xí)了線段的比，黃金分割，形狀相同的圖形，相似多邊形，相似三角形，并理解了它們的概念。因此，教師完全可以通過課本已經(jīng)提出的一些引導(dǎo)性的問題，加以適當(dāng)引導(dǎo)：

（1）對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊也相等的兩個(gè)三角形全等，你還記得三角形全等的其他判別條件嗎？當(dāng)時(shí)，你是怎樣探索出來的？

（2）你認(rèn)為判別兩個(gè)三角形相似至少需要哪些條件？

（3）如果兩個(gè)三角形有若干個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么至少有幾個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就能保證這兩個(gè)三角形相似？

通過以上問題，給充足的時(shí)間讓學(xué)生去思考，放手讓學(xué)生探索，這樣知識(shí)的系統(tǒng)性在學(xué)生的探索和歸納中不知不覺得以生成。教學(xué)是由一系列相互聯(lián)系而又漸次遞進(jìn)的課堂組成，因而具體的課堂教學(xué)也應(yīng)滿足于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，應(yīng)該與具體的課堂教學(xué)任務(wù)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。教師在教授概念、定理、判定時(shí)，一定要放慢教學(xué)節(jié)奏，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間加以思考和理解。讓學(xué)生真正領(lǐng)略數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，為概念、定理、判定的正確運(yùn)用打下良好的基礎(chǔ)。

4.巧妙設(shè)計(jì)一些基礎(chǔ)題，加深理解，鞏固。

對(duì)于教師而言，每天或許有兩、三個(gè)小時(shí)的時(shí)間研究數(shù)學(xué)作業(yè)；對(duì)于學(xué)生而言，每天可能只有一節(jié)課左右的時(shí)間思考數(shù)學(xué)作業(yè)。因此，精心選擇或設(shè)計(jì)作業(yè)就顯得非常重要。教材提供的實(shí)例是經(jīng)過精雕細(xì)琢的，特別強(qiáng)調(diào)了典型性和豐富性，但是，在教學(xué)過程中還是要注意創(chuàng)造性地使用教材，將前后知識(shí)聯(lián)系起來，最好能引起學(xué)生認(rèn)知的沖突。

例如，北師大版七年級(jí)上冊(cè)《絕對(duì)值》，學(xué)了“兩個(gè)絕對(duì)值比較大小，絕對(duì)值大的反而小”之后，如果只布置：比較大?。?）-0.5，-■；（2）-■，-■。類似這樣的題目，學(xué)生經(jīng)過模仿大都可以做出來。但是，摻入一些前面的知識(shí)練習(xí)，那就很容易看出學(xué)生是否真的理解和掌握了現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)。如，加上（3）-3，7；（4）0，-2，等等。有些學(xué)生因?yàn)樗季S上的定勢，會(huì)這樣解第三題：因?yàn)閨-3|=3，|7|=7，且3<7，所以-3>7，栽了一個(gè)大跟斗。通過這樣設(shè)計(jì)題目，教師可以及時(shí)地了解，哪些學(xué)生真的理解了自己所學(xué)的新知識(shí)。學(xué)生也意識(shí)到，每一個(gè)原理都是有其適用范圍的。這樣及時(shí)地激起學(xué)生的認(rèn)知沖突，加深了對(duì)知識(shí)的理解和鞏固。

學(xué)生要全面地了解一種新的知識(shí)，是需要從不同角度，不同層次去理解、觀察、分析、綜合的，所以設(shè)計(jì)題目時(shí)要注意新舊知識(shí)聯(lián)系起來，同時(shí)最好有多種解題方法的題目，或者是例題的變式設(shè)計(jì)，等等。

四、初中數(shù)學(xué)概念定理判定的教學(xué)過程中需要注意的問題

1.提供生活中的問題不能過于煩瑣。

既要簡化情景，開門見山，又要貼近學(xué)生的《最近發(fā)展區(qū)》。教學(xué)活動(dòng)應(yīng)適合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的興趣。

例如，在上八年級(jí)上冊(cè)《螞蟻怎樣走最近》這節(jié)課時(shí)，這樣設(shè)計(jì)引入新課，屏幕顯示一張校園的示意圖《我們的校園》：

師：從后門走到前門怎么走才最近（假如可以任意走）？

學(xué)生：直走最近。

師：為什么？

學(xué)生：兩點(diǎn)之間線段最短。

然后，教師板書課題。這種引入方式非常直觀，校園的示意圖，既是學(xué)生最熟悉的，怎樣走最近又是學(xué)生非常容易找到的，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)信心。在給學(xué)生復(fù)習(xí)了“兩點(diǎn)之間線段最短”的同時(shí)，也給學(xué)生暗示了新的知識(shí)可能與這個(gè)知識(shí)有關(guān)。同時(shí)將平面之間的兩點(diǎn)之間的距離和立體之間的兩點(diǎn)之間的距離有機(jī)地結(jié)合了起來。

2.文字語言，符號(hào)語言，圖形語言的結(jié)合可以放手去讓學(xué)生自己探索，自己去畫圖，教師不要一手包攬。

每一個(gè)概念定理判定都是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶，教師要在教學(xué)的過程中，營造創(chuàng)新氛圍，讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性思維進(jìn)程，指導(dǎo)學(xué)生自主地建構(gòu)新概念，提高學(xué)生的辨析能力，組織能力，表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.教師本身要抓住概念、定理、判定的本質(zhì)和實(shí)際意義，抓住思想主線。

數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”。數(shù)學(xué)中的概念、定理、判定，有些是互相聯(lián)系、互相影響的，要善于引導(dǎo)學(xué)生把有關(guān)概念串起來，注意引導(dǎo)學(xué)生歸類比較，分析它們的從屬關(guān)系，內(nèi)涵和外延、所反映的思想和方法、歷史背景和發(fā)展、聯(lián)系、地位作用和意義等。

4.鞏固練習(xí)注意分層性、梯度性，以在知識(shí)形成的基礎(chǔ)上促進(jìn)知識(shí)的同化。

下面以《三角形的中位線》的教學(xué)這一節(jié)課說明：

首先引進(jìn)了三角形的中位線的概念之后，我安排了兩道鞏固概念、加深印象的題目：如圖（1）

①如果D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，那么DE為△ABC的？搖？搖？搖 ？搖。

②如果DE為△ABC的中位線，那么D、E分別為AB、AC的？搖？搖 ？搖？搖。

在得出三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”之后，我安排了四道層層深入的題目：

（1）已知三角形三邊長分別為6，8，10，順次連接各邊中點(diǎn)所得的三角形周長是？搖？搖 ？搖？搖；如果△ABC的三邊的長分別為a、b、c呢？？搖？搖 ？搖？搖。

（2）你能將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形嗎？

（3）如圖（2）若△ABC周長為26，面積為34，線段DE為△ABC的中位線，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則△DEF的周長為？搖？搖？搖 ？搖，面積為？搖？搖 ？搖？搖。

（4）①如圖（3）：A、B兩地被池塘隔開，現(xiàn)要測量出AB兩地的距離，給你的工具只有皮尺，你能想辦法測量出來嗎？②小明是這樣做的：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測出AC，BC的中點(diǎn)M，N，再測出MN的長，由此他就知道了AB間的距離。你知道他是怎么算的嗎？你能設(shè)法驗(yàn)證嗎？

每一本教材，編者都有其意圖，教師應(yīng)讀懂編者的意圖，并創(chuàng)造性地利用教材。根據(jù)教學(xué)、學(xué)生的認(rèn)知情況設(shè)計(jì)題目，注意練習(xí)的分層性、梯度性，更加有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解。

五、結(jié)語

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)“能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)，計(jì)算，推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他學(xué)科提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想象力合創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用?！倍@一切的基礎(chǔ)都源于概念、定理、判定的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。總之，學(xué)生的思考能力不是一兩天就能培養(yǎng)出來的，衡量學(xué)生是否掌握概念、定理，不是在與是否能說能背，而是看能否在具體的情景、問題中作出正確的判斷、解釋和應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫杰遠(yuǎn).現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育學(xué).廣西師范大學(xué)出版社.

[2]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).北京師范大學(xué)出版社.

[3]邵光華，章建躍.數(shù)學(xué)概念的分類、特征及其教學(xué)探討.全國教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題（課題編號(hào)DHA060137）階段性成果.

[4]何萍.立足學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，開展數(shù)學(xué)概念教學(xué).初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011，9.