將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)落到實(shí)處

　　白志峰：北京市特級(jí)教師，曾被評(píng)為全國(guó)優(yōu)秀教師，現(xiàn)為首都師范大學(xué)全日制教育碩士特聘指導(dǎo)教師，通州區(qū)教師研修中心兼職教研員。白老師積極進(jìn)行教育教學(xué)研究，在《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等刊物先后發(fā)表論文五十余篇。
　　有這樣一句名言：“當(dāng)一個(gè)人把所學(xué)的知識(shí)都忘了以后，還能保留下來的正是教師要教給學(xué)生的?！北Ａ粝聛淼氖鞘裁茨?？是思維素質(zhì)，是能力。隨著時(shí)間的推移，知識(shí)會(huì)被遺忘，而科學(xué)的思維能力卻會(huì)長(zhǎng)久地留存下來。
　　數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，不僅要傳播知識(shí)與技能，而且要把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力落到實(shí)處。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的堅(jiān)強(qiáng)的意志品質(zhì)方面，也有其他學(xué)科不可替代的作用。所以，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題、分析問題、解決問題的科學(xué)方法，磨練鍥而不舍的堅(jiān)強(qiáng)意志，強(qiáng)化個(gè)性品質(zhì)的培養(yǎng)，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值，成為我二十多年課堂教學(xué)中孜孜不倦的追求。
　　課前功夫是基礎(chǔ)
　　一節(jié)課的目標(biāo)定位是什么？以什么為載體？要讓學(xué)生學(xué)會(huì)什么知識(shí)與技能？達(dá)到什么樣的思維高度？提煉或滲透哪些數(shù)學(xué)思想？如何發(fā)揮學(xué)生的主體地位和教師的主導(dǎo)作用？不同層次學(xué)生的需求是什么？都需在課前作充分思考。將這些問題考慮清楚了，才能有成功的基礎(chǔ)。
　　在“北京市高中新課程自主排課實(shí)驗(yàn)課例研討會(huì)”上，我有幸作了一次主題為“實(shí)際背景下的位置關(guān)系”的觀摩課。當(dāng)時(shí)正值高三立體幾何線面位置關(guān)系的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)之后，應(yīng)該進(jìn)行一些升華性的工作。于是我仔細(xì)研究了教材中的相關(guān)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)人教社A、B兩版教材中都有類似于“木工畫線”這樣的實(shí)際問題。解決這類問題既需要基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又需要注意實(shí)際問題的可行性。為此，我將教材中的一道習(xí)題經(jīng)過改編后形成如下題目：
　　在一塊四面體木料PABC中，M是面PAB內(nèi)一點(diǎn)，木工師傅要經(jīng)過M在平面PAB內(nèi)畫一條直線與PC垂直，該如何畫？說明理由。
　　因?yàn)閷?shí)際畫線時(shí)，只能沿表面進(jìn)行，所以看似簡(jiǎn)單的一道題目，解決起來絕非易事。經(jīng)過反復(fù)思考，我發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，而且所蘊(yùn)含的基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和數(shù)學(xué)思維十分廣闊，有極其豐富的教育價(jià)值——
　　以退為進(jìn)的思維切入點(diǎn)——退到特例：PC⊥平面PAB，由此向正確途徑邁出了第一步。
　　分層遞進(jìn)的問題解決方法——特例的解決對(duì)一般情況的解決提供了有效的啟發(fā)、幫助?？捎寐菪仙奈宸N情況進(jìn)行分層解決：∠APC和∠BPC都等于90°；∠APC和∠BPC有一個(gè)等于90°；∠APC和∠BPC都小于90°；∠APC和∠BPC都大于90°；∠APC和∠BPC一個(gè)小于90°，一個(gè)大于90°。
　　如何創(chuàng)新地解決一個(gè)陌生問題，需多問幾個(gè)為什么：能否解決問題的一部分？特例是怎么解決的？對(duì)其他情形有參考價(jià)值嗎？有的話，如何構(gòu)建一個(gè)特例那樣的模型？前一情況的解決，能為后一情況的解決提供參考嗎？這正是科學(xué)研究的有效方法。
　　直覺思維與理性思維的融合——可以讓學(xué)生體驗(yàn)“數(shù)學(xué)地”處理問題的思維方式。
　　分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、特殊到一般等重要的數(shù)學(xué)思想。
　　知難而進(jìn)的數(shù)學(xué)精神——通過探究、否定、調(diào)整、類比、轉(zhuǎn)化等手段，突破障礙，走出困境，找到正確的思路，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，知難而進(jìn)，鍥而不舍的意志品質(zhì)。
　　課前的充分思考，使得我對(duì)教學(xué)目標(biāo)有了合理定位，對(duì)教學(xué)方法有了整體把握。在實(shí)際教學(xué)中，我將自己的思考軌跡融入教學(xué)過程，學(xué)生興趣盎然，積極主動(dòng)，取得了顯著的效果，受到與會(huì)者的一致好評(píng)。
　　課堂教學(xué)是關(guān)鍵
　　1. 讓問題在課堂中閃光
　　著名數(shù)學(xué)教育家波利亞有一句話：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！惫耪Z有：“學(xué)起于思，思起于源。”學(xué)生探究知識(shí)的欲望往往從問題開始，一個(gè)耐人尋味的問題往往能激發(fā)學(xué)生思維的火花。有了問題，思維才有方向、才有動(dòng)力。
　　在“直線的傾斜角與斜率”一節(jié)課中，我設(shè)置了如下的問題：
　　問題1.確定直線的幾何要素有哪些？（兩點(diǎn)）
　　問題2.如果只經(jīng)過一點(diǎn)能確定一條直線嗎？若不能，還需補(bǔ)充什么條件？（引入傾斜角）
　　問題3.用數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時(shí)，講究準(zhǔn)確與簡(jiǎn)潔，如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述傾斜角？（給傾斜角下定義）
　　問題4.傾斜角從“形”的角度刻畫了直線的傾斜程度。那么，可否從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度？（引入斜率）
　　問題5.如果你是編書者，你怎么給直線的斜率下定義？
　　問題6.從幾何角度看，兩點(diǎn)確定一條直線，也就確定了直線的傾斜程度，即斜率。因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)，所以從代數(shù)角度看，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，如何求直線的斜率？（探究直線的斜率公式）
　　我采取通過問題驅(qū)動(dòng)的方式，引領(lǐng)學(xué)生從現(xiàn)有知識(shí)出發(fā)，進(jìn)行思考、歸納、發(fā)現(xiàn)、抽象、總結(jié)，避免學(xué)生被動(dòng)接受，思維始終處于活躍狀態(tài)。通過“問題串”，引發(fā)了學(xué)生“看個(gè)究竟”的沖動(dòng)，把握了“我們?cè)诟墒裁础钡闹骶€，突破了“怎么會(huì)想到它”的教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生參與歸納抽象得出概念，分析推導(dǎo)得出公式的整個(gè)教學(xué)過程，培養(yǎng)了學(xué)生思考問題的方式和解決問題的方法，突出了學(xué)生的主體地位。層層深入，步步為營(yíng)，最后順利地達(dá)成了教學(xué)目標(biāo)，也較好地體現(xiàn)了課堂教學(xué)的實(shí)效性。我相信這對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)和思維能力的提高是大有裨益的。
　　2. 讓思維在課堂中碰撞
　　課堂教學(xué)中應(yīng)盡可能避免單純由教師到學(xué)生的信息傳播。要特別重視學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)與影響，充分發(fā)揮他們之間的思維互補(bǔ)性。學(xué)生在研討探究、補(bǔ)充交流、評(píng)價(jià)完善的環(huán)境中所獲取到的知識(shí)和思維方法，是教師不能代替的。這就需要教師敢于放手發(fā)動(dòng)學(xué)生，善于給學(xué)生留足適當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間。
　　在一次“等差數(shù)列”的復(fù)習(xí)課中，我設(shè)計(jì)了如下一道題目，讓學(xué)生獨(dú)立思考后，相互補(bǔ)充交流，最后由學(xué)生代表板演和講解。
　　題目：已知an是等差數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)的和，S5=28，S10=36，求S15。
　　生1：列方程組求出首項(xiàng)和公差——基本量法。這是基本方法和基本技能。
　　生2：因?yàn)槭莕的二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求解。這是函數(shù)觀點(diǎn)，反映了學(xué)生認(rèn)識(shí)上的跨越。
　　生3：利用等差數(shù)列性質(zhì)——S5，S10-S5，S15-S10也成等差數(shù)列。
　　生4：轉(zhuǎn)化構(gòu)造，得到■也成等差數(shù)列。
　　生5：受生4的啟發(fā)，可知5，■、10，■、15，■三點(diǎn)共線。
　　（生5溝通了數(shù)列與解析幾何的聯(lián)系。生4、生5在等差數(shù)列基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，加以聯(lián)系、擴(kuò)展，體現(xiàn)了更高層次的認(rèn)知水平。）
　　表面看起來十分簡(jiǎn)單的一道題，經(jīng)過學(xué)生的集體智慧，把隱藏的基本思路和基本規(guī)律，把知識(shí)的橫向、縱向聯(lián)系都挖掘了出來。學(xué)生的思維過程經(jīng)過交流與展示得以相互學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)理解和思維素質(zhì)。而我的點(diǎn)評(píng)只有一句話：“理解越深刻，解法越簡(jiǎn)單?！辈谎宰悦鳌?br/>　　3.讓思維定勢(shì)在課堂中突破
　　新知識(shí)的學(xué)習(xí)必然受到原有認(rèn)識(shí)的制約，所以突破思維定勢(shì)就顯得至關(guān)重要。這時(shí)教師的主導(dǎo)作用就體現(xiàn)出來了。
　　如學(xué)生對(duì)曲線切線概念的理解有偏差：一是“在一點(diǎn)處的切線”與“過某一點(diǎn)的切線”不加區(qū)別；二是當(dāng)直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，便認(rèn)為二者相切。
　　于是，在“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)課里，我出示了這樣一個(gè)問題：
　　已知函數(shù)f（x）=■x3+■，求⑴過點(diǎn)的切線方程；⑵過點(diǎn)A2，■的切線方程。
　　對(duì)于⑴，學(xué)生將點(diǎn)A作為切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)的方法，很快得出結(jié)論。殊不知，點(diǎn)A也可以不是切點(diǎn)，作為另一條切線上的已知點(diǎn)，用設(shè)切點(diǎn)的方法，可求出另一條切線。學(xué)生栽了跟頭，便有了刻骨銘心的記憶。
　　對(duì)于⑵，學(xué)生也能很快得出結(jié)果，其中一條直線為y=■，通過畫圖，看出該直線將原曲線攔腰截成兩段，便有疑問：這是切線嗎？肯定不是！因?yàn)橐酝那芯€都是與曲線“擦邊”而過。在學(xué)生沾沾自喜地將其舍去時(shí)，我再追問：舍去的理由是什么？請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅位貞浨芯€的定義。原來問題出在對(duì)“切線是割線的極限位置”這一基本概念的理解上，而理解有誤是因?yàn)槌踔袑W(xué)過：當(dāng)直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該直線與圓相切，形成了思維定勢(shì)?，F(xiàn)在擴(kuò)展到一般曲線了，就要對(duì)概念有更加全面準(zhǔn)確的理解。這樣通過誘導(dǎo)學(xué)生暴露其原有的思維框架，有效地突破了思維定勢(shì)。
　　課后反思是臺(tái)階
　　教學(xué)永遠(yuǎn)是一門遺憾的藝術(shù)。善于進(jìn)行教學(xué)反思，才可以更上一個(gè)臺(tái)階。螺旋上升，方可逐步形成自己的教學(xué)特色。反思什么？反思成功之處，反思不足之處，反思情景設(shè)計(jì)、教學(xué)策略、教學(xué)環(huán)節(jié)、目標(biāo)達(dá)成、評(píng)價(jià)方法、教學(xué)效果、課堂靈感、再教設(shè)想，甚至反思教材不足……
　　總而言之，反思需積累，反思需堅(jiān)持，反思是臺(tái)階，反思才有進(jìn)步，反思才有創(chuàng)新。
　　記得剛參加工作不久，我代立體幾何課。那時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的問題是：課上學(xué)生的反應(yīng)很好，但作業(yè)很差，證明問題邏輯關(guān)系不明，起初我簡(jiǎn)單地歸罪為學(xué)生，后來發(fā)現(xiàn)還是課堂教學(xué)不到位，我只注重了學(xué)生的口頭表達(dá)。
　　于是我做了如下反思，至今記憶猶新——
　　對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，想出來，可能一閃而過，可以有思維的跨越；說出來，需要表述清楚，要有邏輯性，可以有口頭語；但寫出來，就需要更加嚴(yán)密，需要用數(shù)學(xué)語言，有理有據(jù)。這是由低到高的三個(gè)不同的層次。好多情況下，你問學(xué)生會(huì)不會(huì)，他說會(huì)。但讓他說出來，他便會(huì)發(fā)現(xiàn)“想”存在的問題，再要求他寫出來，他又會(huì)發(fā)現(xiàn)“說”存在的問題。寫出來，就是一種學(xué)術(shù)的形態(tài)，更高的層次。
　　我將這段話凝練為“想出來，說出來，寫出來”，并且一直伴隨我到現(xiàn)在。我常常在教學(xué)中用這九個(gè)字來要求學(xué)生，言傳身教，樂此不疲。
　　□編輯 王宇華
　　教學(xué)是一門藝術(shù)，而數(shù)學(xué)教學(xué)是追求思維價(jià)值的藝術(shù)。如果數(shù)學(xué)課只是傳授知識(shí)與技能，那就失去了數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)。高中數(shù)學(xué)應(yīng)該提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”處理問題的思維方式，為學(xué)生的終身發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價(jià)值。
　　——白志峰
　　通過白志峰老師的課，我們看到了一位教師在教材和教學(xué)內(nèi)容方面的深刻功力：把教材看穿、吃透、挖掘出精髓后的“入木三分”、“一針見血”，因深刻而發(fā)人深??；獨(dú)到：對(duì)教材真知灼見的“于平凡中間出新奇”、“發(fā)人之所未發(fā)，見人之所未見”，因獨(dú)到而令人難忘。
　　——祁京生（北京市潞河中學(xué)副校長(zhǎng)，數(shù)學(xué)特級(jí)教師）
　　白志峰老師課的顯著特點(diǎn)是思維含量高。他善于挖掘教材并能提出真知灼見；善于從基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能出發(fā)，擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)；善于挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，充分發(fā)揮例題的教學(xué)功能；善于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性并且給予哲理性的點(diǎn)評(píng)。足見其對(duì)于數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)理解和教學(xué)操作的智慧與積淀。
　　——王學(xué)一（北京市通州區(qū)教師研修中心數(shù)學(xué)教研