反演法設(shè)計(jì)磁共振射頻陣列線圈的研究

張戰(zhàn)勝 辛學(xué)剛

（南方醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，廣州 5 10515）

引言

磁共振成像（magnetic resonance imaging，MRI）是當(dāng)今醫(yī)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展最快、最具潛力的一種成像技術(shù)。MRI具有較高的信噪比與空間分辨率，且對受檢病人無電離輻射危害，已經(jīng)成為臨床醫(yī)學(xué)影像檢查最重要的手段之一。MRI系統(tǒng)主要由磁體系統(tǒng)、梯度系統(tǒng)、射頻線圈、譜儀和計(jì)算機(jī)系統(tǒng)組成，其中射頻線圈的主要功能是發(fā)射射頻脈沖，使磁化的質(zhì)子吸收能量產(chǎn)生共振，并接收質(zhì)子在弛豫過程中釋放的能量，從而產(chǎn)生MR信號。射頻線圈是MRI系統(tǒng)拾取信號的核心部件，其優(yōu)劣將決定MRI的成像質(zhì)量，所以射頻線圈的設(shè)計(jì)是MRI領(lǐng)域研究的重點(diǎn)［1］。

在MRI系統(tǒng)中，射頻線圈按照用途可以分為射頻發(fā)射線圈和射頻接收線圈兩種。射頻發(fā)射線圈要求在ROI（region of interest）內(nèi)產(chǎn)生均勻的電磁場，確保ROI內(nèi)產(chǎn)生相同強(qiáng)度的MR信號，同時要求ROI內(nèi)磁場強(qiáng)度滿足目標(biāo)磁場強(qiáng)度的要求，射頻發(fā)射效率高；射頻接收線圈要求線圈以相同的增益接收ROI內(nèi)不同位置產(chǎn)生的MR信號，同時線圈接收信號的信噪比（signal-to-noise，SNR）高低也是衡量射頻接收線圈性能優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)。在臨床應(yīng)用中，一般采用兩種射頻線圈：容積線圈作為發(fā)射線圈在ROI內(nèi)產(chǎn)生均勻的電磁場，同時用表面線圈接收ROI內(nèi)的MR信號，而陣列線圈能同時滿足發(fā)射線圈的磁場均勻性和接收線圈的高信噪比要求。因此，隨著陣列線圈技術(shù)的出現(xiàn)，射頻線圈的研究設(shè)計(jì)得到了很大的發(fā)展。

Roemer結(jié)合容積線圈和表面線圈的優(yōu)點(diǎn)設(shè)計(jì)出陣列線圈，它由兩個或兩個以上小線圈或線圈單元組成線圈陣列［2］。每個小線圈可以同時接收各個區(qū)域的信號并有機(jī)地結(jié)合起來，每個小線圈中的噪聲僅來源于對應(yīng)的小區(qū)域，所以陣列線圈獲得的磁共振信號是各個小線圈獲得信號的加權(quán)和，但噪聲僅來源于各個小線圈所對應(yīng)的小區(qū)域，所成圖像的信噪比較高。因此，射頻陣列線圈的研究成為MRI技術(shù)領(lǐng)域的一個重要方向［3－5］。

目前的射頻陣列線圈都是面向軀干的通用線圈，臨床應(yīng)用中陣列線圈產(chǎn)生的射頻場B1均勻、獲得圖像的信噪比高，同時也能夠獲得較大的視野（field of view，F(xiàn)OV），但是無法強(qiáng)化局部ROI內(nèi)射頻場B1的均勻性及強(qiáng)度，弱化其他區(qū)域。近年來，術(shù)中MRI是新的發(fā)展方向，需要面向器官的射頻線圈，強(qiáng)化特定ROI內(nèi)的磁場分布，弱化其他區(qū)域的磁場強(qiáng)度。顯然，常規(guī)的射頻線圈設(shè)計(jì)方法只能滿足術(shù)中磁共振的部分需求，需要面向ROI設(shè)計(jì)的射頻線圈才能滿足臨床診斷的特殊要求［6－7］。反演法從需求的目標(biāo)電磁場出發(fā)，結(jié)合目標(biāo)器官的位置和目標(biāo)磁場分布，倒推出射頻線圈的結(jié)構(gòu)，因此對于設(shè)計(jì)有特定應(yīng)用目的的射頻線圈非常有實(shí)用價值［8］。

反演法設(shè)計(jì)射頻陣列線圈首先給定ROI內(nèi)的磁場分布，然后求解能夠產(chǎn)生該分布的射頻電流分布。Turner提出目標(biāo)場法（target field method）［9］，根據(jù)ROI內(nèi)的磁場分布，利用傅里葉變換和貝塞爾函數(shù)建立方程組，得到相應(yīng)的電流密度表達(dá)式。然而，該方法有一定的局限性，需要先假設(shè)電流分布在無限長的導(dǎo)線上，才能進(jìn)行相應(yīng)的傅里葉逆變換。Forbes et al利用積分函數(shù)求解得到電流密度表達(dá)式，解決了射頻電流源無限長約束的問題［10］。Lawrence et al提出用全波時域法（full-wave timeharmonic approach）設(shè)計(jì)射頻線圈輪廓的方法［11］，用傅里葉級數(shù)和時域格林函數(shù)求解，得到能夠在ROI內(nèi)產(chǎn)生目標(biāo)磁場的電流分布，然而在求解過程中會出現(xiàn)積分高病態(tài)問題，需要應(yīng)用正則化技術(shù)優(yōu)化才能得到滿足理論要求的射頻線圈輪廓［12－13］。

以往用反演法設(shè)計(jì)射頻線圈，ROI都設(shè)定在中心位置，無法滿足臨床診斷的不同需求。本研究以反演法為基礎(chǔ)，結(jié)合傅里葉逆變換、時域格林函數(shù)，設(shè)計(jì)ROI在任意位置的磁共振射頻陣列發(fā)射線圈；針對求解電流密度過程中出現(xiàn)的積分函數(shù)高病態(tài)問題，采用最小功率正則化技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，應(yīng)用流函數(shù)技術(shù)成功獲得了射頻陣列發(fā)射線圈的輪廓圖；通過對陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場分布與目標(biāo)磁場比較，驗(yàn)證了反演法設(shè)計(jì)任意位置ROI磁共振射頻陣列發(fā)射線圈的適用性和實(shí)用性。

1 理論與方法

1.1 理論模型

首先，假設(shè)陣列線圈電流分布在半徑為b、長2L的圓柱形結(jié)構(gòu)表面如圖1所示，圓柱以z軸為方向軸，以z=0為中心，圓柱表面的電流密度為J。ROI為圓心（ra，θa，za），半徑r的球形區(qū)域，ROI內(nèi)的目標(biāo)磁場為HT（target H-field）。圓柱表面的電流分布決定ROI內(nèi)的磁場分布，本研究的主要目的是應(yīng)用反演法去設(shè)計(jì)能夠在ROI內(nèi)產(chǎn)生目標(biāo)磁場強(qiáng)度的陣列線圈。

變化的電場和磁場相互聯(lián)系、相互激發(fā)，形成統(tǒng)一的電磁場，由麥克斯韋方程組和格林函數(shù)得到ROI內(nèi)時變電磁場表達(dá)式［14］為

由式 (1)～式(3)，可以得到在 ROI表面任意點(diǎn) (r，θ，z)沿 x軸、y軸方向的磁場強(qiáng)度，即

1.2 求解與正則化

式中

為了求解能夠在ROI內(nèi)產(chǎn)生目標(biāo)磁場的電流分布，ROI內(nèi)的磁場與目標(biāo)磁場必須滿足

式中，HTy和HTx分別表示ROI內(nèi)zox平面和zoy平面上的目標(biāo)磁場強(qiáng)度，該積分公式的作用區(qū)間為ROI表面。

結(jié)合式（10）～（11）及（14）的求解，就可以得1到任意子區(qū)域（k，q）的電流密度未知系數(shù)（m=：M，n=1：N，k=1：K，q=1：Q），如要求解系數(shù)（u=1：M，v=1：N，f=1：K，g=1：Q），式（14）必須滿足

在反演法設(shè)計(jì)磁共振梯度線圈或射頻線圈的過程中，為了優(yōu)化求解中出現(xiàn)的高病態(tài)問題，主要采用的補(bǔ)償函數(shù)有最小電感、最小儲能和最小功率［18－20］。在設(shè)計(jì)陣列線圈過程中，采用最小功率正則化技術(shù)，優(yōu)化求解中的高病態(tài)問題，最小功率補(bǔ)償函數(shù)為

式中，ψ*（θ'，z'）是ψ（θ'，z'）的復(fù)共軛函數(shù)，ψS（θ'，z'）的等勢線就是陣列線圈的輪廓圖。

通過式（10）～式（11），檢驗(yàn)該陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場是否滿足目標(biāo)磁場的要求。

圖2 球形ROI表面均勻分布的采樣點(diǎn)Fig.2 The sample points distributed on the surface of the ROI

2 結(jié)果與討論

根據(jù)上面的論述，設(shè)定陣列線圈模型的中心點(diǎn)位于柱坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x、y和z軸方向如圖1所示，陣列線圈的圓柱模型長度2L=25 cm，半徑b=10 cm。在臨床應(yīng)用中，ROI內(nèi)的磁場強(qiáng)度量級為50 μΤ［21］，設(shè)計(jì)的陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場強(qiáng)度與目標(biāo)磁場強(qiáng)度的誤差在5％以內(nèi)（數(shù)量級小于10－6T）就滿足目標(biāo)磁場的要求［22］。設(shè)定ROI內(nèi)的目標(biāo)磁場為均勻的線性極化場（HTx（r，θ，z）=1 A/m，HTy（r，θ，z）=1 A/m），磁共振頻率為128 MHz（3 T）。為了設(shè)計(jì)滿足理論要求的陣列線圈，需通過反復(fù)的迭代計(jì)算確定正則化參數(shù)λ，式（8）～式（9）中的傅里葉級數(shù)M=N=9。在求解過程中，利用Matlab工具編程實(shí)現(xiàn)積分計(jì)算，建立矩陣和求解，標(biāo)繪陣列線圈的輪廓圖，以及計(jì)算射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布。

首先設(shè)計(jì)線圈陣列（K×Q）=（2×1）、ROI中心（ra，θa，za）=（0，0，0）、半徑a=5 cm的陣列線圈，在ROI表面取360個均勻分布的采樣點(diǎn)，如圖2所示。通過仿真計(jì)算，可知矩陣A的條件數(shù)為1021，是高病態(tài)的，需要用正則化技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化。綜合考慮ROI內(nèi)的磁場強(qiáng)度和目標(biāo)磁場強(qiáng)度的誤差及最小功率需求，可知正則化參數(shù)λ必須通過反復(fù)迭代計(jì)算得到最優(yōu)解。在引入正則化參數(shù)λ=10－11優(yōu)化后，矩陣A的條件數(shù)為1011，高病態(tài)問題得到了很好的解決。為更好地比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果，設(shè)計(jì)了（K×Q）=（4×3）的陣列線圈，優(yōu)化前矩陣的條件數(shù)為1023，通過迭代計(jì)算正則化參數(shù)λ=10－13，優(yōu)化后矩陣的條件數(shù)為1013。求解得到射頻線圈輪廓圖，并觀察比較兩種陣列的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布是否滿足目標(biāo)磁場的要求。

圖3 ROI中心對稱的陣列線圈輪廓，虛線表示反向電流。（a）（2×1）陣列；（b）（4×3）陣列Fig.3 Contour plots of the phased array coil with a symmetrically located ROI，the dashed lines mean inverse current.（a）（2×1）array；（b）（4×3）array

利用Matlab工具得到射頻線圈繞組輪廓，如圖3所示。圖3（a）和（b）分別表示（2×1）陣列和（4×3）陣列線圈繞組的輪廓，紅色虛線表示反向電流。在臨床應(yīng)用中，為了獲得較好的MR信號，要求射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布均勻，磁場強(qiáng)度滿足目標(biāo)磁場的要求，因此射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場均勻性以及磁場強(qiáng)度大小是判斷射頻線圈優(yōu)劣的主要依據(jù)。為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，計(jì)算射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布，如圖4所示。觀察比較圖4可知，（2×1）陣列和（4×3）陣列的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布都比較均勻，ROI磁場強(qiáng)度在0.98 A/m以上，滿足目標(biāo)磁場強(qiáng)度的要求。在ROI邊界（4×3）陣列射頻線圈的均勻性優(yōu)于（2×1）陣列射頻線圈，說明隨著線圈陣列的增多，陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場分布均勻性較好，磁場強(qiáng)度滿足目標(biāo)磁場強(qiáng)度的要求。

圖4 射頻線圈（見圖3）在ROI內(nèi)zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布。（a）（2×1）陣列；（b）（4×3）陣列Fig.4 The induced magnetic field Hx（r，θ，z）along zoy plane within the ROI of Fig.3，the dashed line means ROI.（a）（2×1）array，（b）（4×3）array

通過以上分析，運(yùn)用反演法設(shè)計(jì)ROI對稱的陣列線圈，能很好地滿足目標(biāo)磁場的要求，但是針對不同的臨床需要，ROI的位置是不同的，所以進(jìn)一步考慮了ROI不是軸對稱的情況，設(shè)計(jì)了ROI中心（ra，θa，za）=（0，0，5）、半徑a=5 cm、子區(qū)域分別為（2×1）陣列和（4×3）陣列的兩種射頻線圈。針對高病態(tài)問題，正則化參數(shù)分別為λ=10－12和λ=10－14，陣列線圈繞組輪廓分布如圖5所示。與圖4比較發(fā)現(xiàn)，隨著ROI中心向z軸移動，線圈輪廓的分布也隨之移動，整體分布情況大體相似。

圖5 ROI軸不對稱的陣列線圈輪廓，虛線表示反向電流。（a）（2×1）陣列；（b）（4×3）陣列Fig.5 Contour plots of the phased array coil with an axially asymmetrically located ROI，the dashed lines mean inverse current.（a）（2×1）array；（b）（4×3）array

計(jì)算該射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布情況，如圖6所示。比較發(fā)現(xiàn)，（2×1）陣列和（4×3）陣列的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布基本均勻，但是在ROI邊緣的磁場均勻性下降，強(qiáng)度也不再滿足目標(biāo)磁場的要求。顯然，如果減小ROI的半徑，可以很好地解決這方面的問題。計(jì)算ROI位置相同半徑a=2.5 cm、陣列為（4×3）的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布，如圖7所示。與圖6（c）和（d）相比，隨著半徑的減小，ROI內(nèi)的磁場均勻性及強(qiáng)度都有很大的提高，能很好地滿足目標(biāo)磁場的要求。

在臨床檢查中，ROI的位置除了中心對稱和軸不對稱外，還存在其他很多復(fù)雜的情況，譬如在心臟、脊柱以及肝臟的MRI檢查中，ROI遠(yuǎn)離中心軸位置。為更好地驗(yàn)證反演法在陣列線圈設(shè)計(jì)中的適用性，考慮了ROI中心遠(yuǎn)離z軸的情況，（ra，θa，za）=（5，π/2，0），半徑a=2.5 cm。為了便于結(jié)果比較，同時設(shè)計(jì)子區(qū)域分別為（2×1）和（4×3）的兩種射頻陣列發(fā)射線圈，優(yōu)化參數(shù)分別為λ=10－14和λ=10－16，兩種子區(qū)域陣列線圈的輪廓如圖8所示，計(jì)算射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布情況如圖9所示。比較發(fā)現(xiàn)，ROI中心為（ra，θa，za）=（5，3/2，0）時，（2×1）和（4×3）陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場分布均勻性都比較好，磁場強(qiáng)度也滿足目標(biāo)磁場的強(qiáng)度要求。

本研究分別設(shè)計(jì)了ROI位置不同和線圈陣列不同的射頻發(fā)射線圈，通過比較分析各個線圈在ROI內(nèi)的磁場分布情況，發(fā)現(xiàn)對于相同的ROI，不同陣列的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布隨著線圈陣列的增多性能越好，當(dāng)ROI中心偏向z軸或偏離對稱軸時，ROI的半徑越小，陣列線圈在ROI內(nèi)的磁場分布越好，磁場強(qiáng)度也越符合目標(biāo)磁場的要求。因此，在應(yīng)用反演法設(shè)計(jì)射頻陣列發(fā)射線圈的過程中，要綜合考慮ROI的位置、半徑大小以及線圈陣列數(shù)的要求，有針對性地設(shè)計(jì)滿足不同臨床需求的MR射頻陣列發(fā)射線圈。

3 結(jié)論

本研究探討了反演法在磁共振射頻陣列發(fā)射線圈設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，將柱形線圈模型劃分成多個子區(qū)域，用傅里葉級數(shù)表達(dá)出每個子區(qū)域內(nèi)的電流密度，針對求解過程中出現(xiàn)的高病態(tài)問題，采用最小功率正則化技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，然后應(yīng)用流函數(shù)技術(shù)求解出符合要求的陣列線圈輪廓。為了滿足不同的臨床診斷需求，比較了ROI位置不同的幾種陣列發(fā)射線圈。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，以反演法為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的射頻陣列發(fā)射線圈，在ROI內(nèi)的磁場分布均勻，磁場強(qiáng)度符合理論設(shè)計(jì)要求；證明了反演法在射頻陣列發(fā)射線圈設(shè)計(jì)中的適用性和實(shí)用性，為MR射頻線圈的設(shè)計(jì)提供了一種新方法和理論依據(jù)。

圖6 射頻線圈（見圖5）在ROI內(nèi)的磁場分布。（a）（2×1）陣列線圈在zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布；（b）（2×1）陣列線圈在zox平面上的Hy（r，θ，z）分布；（c）（4×3）陣列線圈在zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布；（d）（4×3）陣列線圈在zox平面上的Hy（r，θ，z）分布Fig.6 The induced magnetic field within the ROI of Fig.5，the dashed line means ROI.（a）the induced Hx（r，θ，z）along zoy plane of（2×1）array；（b）the induced Hy（r，θ，z）along zox plane of（2×1）array；（c）the induced Hx（r，θ，z）along zoy plane of（4×3）array；（d）the induced Hy（r，θ，z）along zox plane of（4×3）array

圖7 ROI中心（ra，θa，za）=（5，π/2，0）、半徑a=2.5 cm、子區(qū)域?yàn)椋?×3）陣列的射頻線圈在ROI內(nèi)的磁場分布。（a）zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布；（b）zox平面上的Hy（r，θ，z）分布Fig.7 The induced field of the（4×3）array RF coil within the ROI of radius a=2.5 cm.（a）the induced Hx（r，θ，z）along zoy plane；（b）the induced Hy（r，θ，z）along zox plane

圖8 ROI半徑不對稱的陣列線圈輪廓，虛線表示反向電流。（a）（2×1）陣列；（b）（2×1）陣列Fig.8 Contour plots of the phased array coil with a radially asymmetrically located ROI，the dashed lines mean inverse current.（a）（2×1）array；（b）（2×1）array

圖9 射頻線圈（見圖8）在ROI內(nèi)的磁場分布。（a）（2×1）陣列線圈在zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布；（b）（2×1）陣列線圈在zox平面上的Hy（r，θ，z）分布；（c）（4×3）陣列線圈在zoy平面上的Hx（r，θ，z）分布；（d）（4×3）陣列線圈在zox平面上的 Hy（r，θ，z）分布Fig.9 The induced magnetic field within the ROI of Fig.8，the dashed line means ROI.（a）the induced Hx（r，θ，z）along zoy plane of（2×1）array；（b）the induced Hy（r，θ，z）along zox plane of（2×1）array；（c）the induced Hx（r，θ，z）along zoy plane of（4×3）array；（d）the induced Hy（r，θ，z）along zox plane of（4×3）array

在研究過程中，忽略了陣列線圈之間的相互耦合作用以及線圈和負(fù)載之間的相互影響，因此本課題組正在開展這方面的相關(guān)研究工作。

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