股指期貨與現(xiàn)貨指數(shù)收益率序列相關(guān)性研究

關(guān)鍵詞： 滬深300指數(shù)；股指期貨；收益率；相關(guān)關(guān)系；Copula函數(shù)

摘 要： 滬深300股指期貨推出后，其與滬深300指數(shù)的關(guān)系就引起投資者和研究者的關(guān)注。以滬深300指數(shù)和滬深300股指期貨的日收益率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運用Copula函數(shù)建立CopulaGARCH(1，1)GED模型對兩者進行相關(guān)性分析，結(jié)果表明：滬深300指數(shù)與股指期貨收益率序列之間相關(guān)程度非常高，而通過比較秩相關(guān)系數(shù)的擬合情況，二元正態(tài)Copula函數(shù)更接近實際情況；在平方歐式距離的標(biāo)準(zhǔn)下，二元tCopula模型能夠更好地描述滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨日收益率序列的相關(guān)結(jié)構(gòu)；兩序列的尾部相關(guān)程度非常高，表明當(dāng)股票市場大幅度波動時，滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的相關(guān)程度顯著提高。

中圖分類號： F830.9

文獻標(biāo)志碼： A 文章編號： 1009－4474(2012)05－0014－06

一、 前言 2010年4月16日，我國正式推出以滬深300指數(shù)為標(biāo)的的滬深300股指期貨，這標(biāo)志著我國在金融創(chuàng)新方面又邁出了堅實的一步，給證券市場帶來了新的活力。而股指期貨與滬深300指數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系，很快就成為投資者和研究者關(guān)注的重點和熱點。相關(guān)性分析是多變量分析中的一個重要課題。根據(jù)相關(guān)理論，多個金融序列之間的相關(guān)關(guān)系是多變且非常復(fù)雜的，高維情況下的相關(guān)性分析更是如此。因而，對于多個變量之間的相關(guān)研究很難做出全面的分析，早期的多變量相關(guān)關(guān)系的研究就都存在著一定的局限性且都不完整〔1〕。而Copula函數(shù)的提出，為多變量相關(guān)關(guān)系研究提供了一種新的、更加穩(wěn)健的、靈活的分析方法，因為Copula函數(shù)能夠?qū)⒍鄠€變量各自單獨的邊緣分布函數(shù)與它們共同的聯(lián)合分布函數(shù)有機地聯(lián)系在一起。

國內(nèi)已有一些學(xué)者運用Copula函數(shù)進行多變量的相關(guān)性研究。如史道濟、姚慶祝運用Copula函數(shù)對變量之間的Kendall秩相關(guān)系數(shù)、Spearman秩相關(guān)系數(shù)和尾部相關(guān)系數(shù)這三個主要相關(guān)關(guān)系指標(biāo)進行了推導(dǎo)〔2〕。韋艷華、張世英在對上海股票市場中各個板塊指數(shù)的收益率序列的不同邊緣分布模型比較的基礎(chǔ)上，建立了CopulaGARCHt模型，并對不同板塊之間的條件相關(guān)關(guān)系進行實證研究，實證結(jié)果表明，不同板塊指數(shù)的收益率序列應(yīng)建立不同的邊緣分布模型，且結(jié)合Copula函數(shù)，各板塊之間有較強的正向相關(guān)關(guān)系〔3～4〕。李秀敏、史道濟構(gòu)造CopulaGARCHGPD模型研究了深圳、上海兩股票市場的相關(guān)模式，實證結(jié)果顯示ClaytonGARCHGPD模型能夠更好反映兩市場的相關(guān)模式，在較高置信水平下，Copula模型得到的結(jié)果更為安全〔5〕。魏平、劉海生在AR(4)GARCH(1，1)T邊緣分布模型的基礎(chǔ)上結(jié)合Copula函數(shù)，發(fā)現(xiàn)tCopula能夠更好地刻畫滬深股市的相關(guān)性〔6〕。劉瓊芳、張宗益、運用地產(chǎn)與金融行業(yè)的股票收益率數(shù)據(jù)，引入Copula方法定量研究了兩個行業(yè)股票之間的相關(guān)關(guān)系〔7〕。

以上研究文獻說明，Copula函數(shù)能較好地用于描述多個金融序列之間的相關(guān)關(guān)系。鑒于國內(nèi)外還沒有文獻對股指期貨與現(xiàn)貨指數(shù)收益率序列之間的相關(guān)關(guān)系及相關(guān)結(jié)構(gòu)進行研究，本文即運用Copula函數(shù)構(gòu)建CopulaGARCHGED模型來研究兩者的相關(guān)關(guān)系。

二、基于Copula理論的相關(guān)系數(shù) 對兩個變量之間的相關(guān)性進行研究時，最廣泛使用的方法就是檢驗變量之間的變化趨勢是否相同。如果隨機變量（X，Y）有兩個觀測值（x1，y1）和（x2，y2），如兩個觀測值變化的方向是一致的，則(x1-x2)(y1-y2)>0；若觀測值是不一致的，則(x1-x2)(y1-y2)<0。

西南交通大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版） 第13卷第5期

萬云波 股指期貨與現(xiàn)貨指數(shù)收益率序列相關(guān)性研究1.Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

Hollander and Wolfe給出了Kendall秩相關(guān)系數(shù)的定義，文獻〔8〕令隨機變量（x1，y1），（x2，y2）為獨立同分布的隨機向量，則

τ=P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-P［（x1-x2）（y1-y2）<0］，

τ是Kendalls τ系數(shù)?？梢宰C明，

τ=2P［（x1-x2）（y1-y2）>0］-1。

引入Copula函數(shù)，假設(shè)隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)的表達(dá)式分別為F(x)、G（y），相對應(yīng)的Copula函數(shù)表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ可以由Copula函數(shù)表示為，

τ=41010C(u，v)dC(u，v)-1。

2.Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρ

另一類基于一致性的變量相關(guān)性測度的指標(biāo)為Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs，Lehmann在文獻〔10〕中定義了Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs〔9〕。令（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為獨立同分布的隨機向量，則

ρ=3{P［（x1-x2）（y1-y3）>0］-P［（x1-x2）（y1-y3）<0］}。

引入Copula函數(shù)，假設(shè)隨機變量（X，Y）的邊緣分布函數(shù)的表達(dá)式分別為F(x)、G（y），相對應(yīng)它們的Copula函數(shù)表示為C(U，V)，其中u=F(x)，v=G(y)，u，v∈［0，1］，則Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρs可以由Copula函數(shù)C(u，v)給出，

ρ=121010uvdC(u，v)-3=121010C(u，v)duv-3。

3.尾部相關(guān)系數(shù)τ

對金融資產(chǎn)風(fēng)險的分析，投資者更關(guān)心的是金融資產(chǎn)的尾部相關(guān)關(guān)系，即當(dāng)一個金融資產(chǎn)價格波動取值較大或者取值較小時，它對另一個金融資產(chǎn)的價格的影響如何。尾部相關(guān)關(guān)系包括上尾的相關(guān)關(guān)系和下尾的相關(guān)關(guān)系，當(dāng)連續(xù)隨機向量（X，Y）的邊緣分布分別為F(x)和G(y)，則

λ上尾=limu→1-P［Y>G-1(u)|X>F-1(u)］，

λ下尾=limu→0+P［Y 同理，得到相對應(yīng)的Copula函數(shù)表達(dá)式為，

λ上尾=limu*→1P［Y>G-1(u*)|X>F-1(u*)］=

limu*→1C＾(1-u*，1-u*)1-u*，

λ下尾=limu*→0P［Y limu*→0C＾(u*，u*)u*。 三、實證分析 （一）數(shù)據(jù)選擇及描述性統(tǒng)計

本文實證數(shù)據(jù)選取滬深300指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)和以滬深300指數(shù)為標(biāo)的的滬深300股指期貨當(dāng)月連續(xù)日收盤數(shù)據(jù)（以下簡稱股指期貨）為研究對象，研究期間為2010年4月16日至2011年10月21日，共計368個交易日。

用Pt表示第t日的收盤價，用γt=100×(InPt-InPt-1)表示第t日的對數(shù)收益率。因為股指期貨當(dāng)月數(shù)據(jù)在最后3個交易日交易量急劇萎縮，而下個月的期貨交易量則迅速放大，當(dāng)月期貨數(shù)據(jù)不再具有代表性，為了保證股指期貨數(shù)據(jù)的連續(xù)性，股指期貨當(dāng)月最后3個交易日的數(shù)據(jù)用下月連續(xù)的數(shù)據(jù)代替（描述性分析結(jié)果如圖1和表1所示）。

從圖1可以發(fā)現(xiàn)，股指期貨和現(xiàn)貨指數(shù)的日收益率主要分布在-2%～2%的區(qū)間內(nèi)，而且具有厚尾的特征。

由表1可知，滬深300指數(shù)與股指期貨的收益率均值都比較小；標(biāo)準(zhǔn)差比較大，峰度都大于4，表明滬深300指數(shù)與股指期貨都具有“尖峰厚尾”特征；通過JB統(tǒng)計量假設(shè)檢驗，兩市的股票收益率均不服從正態(tài)分布；對收益率序列做平穩(wěn)性ADF檢驗，滬深300指數(shù)與股指期貨的收益率序列的ADF統(tǒng)計量分別為-1811和-1887，表明都是平穩(wěn)時間序列。

（二）邊緣分布模型及Copula模型構(gòu)建

根據(jù)兩序列的以上統(tǒng)計特征，作者選擇能夠很好描述金融時間序列偏斜、波動集群、尖峰、厚尾特性的GARCH簇模型來描述兩序列的邊緣分布模型，分別運用GARCH、GARCHt、GARCHGED擬合樣本數(shù)據(jù)；而根據(jù)樣本的顯著性、AIC、SC準(zhǔn)則以及對數(shù)似然值進行模型比較，發(fā)現(xiàn)GARCH(1，1)GED能夠更好地擬合樣本數(shù)據(jù)。因此，本文對滬深300指數(shù)及股指期貨建立GARCH(1，1)GED模型，其參數(shù)如表2所示。

*表示5%水平下顯著，**表示在10%水平顯著，括號內(nèi)為均值。

KS統(tǒng)計量及其概率值是根據(jù)估計得到的條件邊緣分布，對原序列做概率積分變換，再運用KS檢驗方法，檢驗變換后的序列是否服從（0，1）均勻分布。表2中的KS統(tǒng)計量表明變換后的序列服從（0，1）均勻分布，因此可以建立CopulaGARCH（1，1）GED模型，模型的表達(dá)式為，

st=μst+εst f1=μft+εft

εst=h1/2stζst εft=h1/2ftζst

hst=ωs+αsε2s，t-1+βshs，t-1 hft=ωf+αfε2f，t-1+βfhf，t-1

(ζst，ζft)～Cζt［Φ(ζst)，Φ(ζft)］。

其中Cζt(·，·)，為任意的二元Copula函數(shù)，Φ（·）為（0，1）均勻分布。

（三）Copula模型及參數(shù)估計

1.橢圓Copula函數(shù)

橢圓Copula函數(shù)來源于橢圓分布函數(shù)，因此它秉承了橢圓分布函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)，是研究金融資產(chǎn)相依結(jié)構(gòu)的基本模型，其中正態(tài)Copula函數(shù)和tCopula函數(shù)是橢圓Copula函數(shù)的典型代表。

在GARCH(1，1)邊緣分布模型的基礎(chǔ)上，進一步求得二元正態(tài)Copula函數(shù)中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾的估計值為ρ＾norm=095，得到二元正態(tài)Copula分布函數(shù)的表達(dá)式為，

C＾Ga=φ-1(u＾)-∞φ-1(v＾)-∞12π1-0.952×

exp［-s2-2×095st+t22×(1-0952)］dsdf。

基于二元正態(tài)Copula函數(shù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τnorm=07979，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρnorm=09454。根據(jù)計算得到的二元正態(tài)Copula函數(shù)線性相關(guān)系數(shù)ρ＾norm和二元tCopula中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾t以及自由度k＾，可以畫出滬深300指數(shù)與股指期貨之間二元正態(tài)和二元tCopula的概率密度函數(shù)圖（見圖2）。

二元tCopula中的線性相關(guān)參數(shù)ρ＾和自由度k的估計值分別為：ρ＾t=09531，k＾=59，得到二元tCopula分布函數(shù)的表達(dá)式為，

C＾t=59-1(u＾)-∞59-1(v＾)-∞12π1-016012×

exp［1+s2-2×09531st+t221×(1-095312)］-(59+2)/2dsdf。

基于二元tCopula函數(shù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τt=08043，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρt=09487。

根據(jù)滬深300指數(shù)及股指期貨的日收益觀測數(shù)據(jù)得到的Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)分別τe=07769、ρe=09244，將Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)進行比較，基于二元正態(tài)Copula函數(shù)和二元tCopula函數(shù)得到的Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)明顯優(yōu)于基于原始數(shù)據(jù)得到的Kendall、Spearman秩相關(guān)系數(shù)，其中二元正態(tài)Copula函數(shù)計算出的秩相關(guān)系數(shù)更接近實際情況，說明二元正態(tài)Copula函數(shù)更好地反映了滬深300指數(shù)與股指期貨日收益之間的秩相關(guān)關(guān)系。

通過經(jīng)驗Copula函數(shù)，可以得到二元正態(tài)Copula函數(shù)C＾Ga(u，v)和二元tCopula函數(shù)C＾t(u，v)與經(jīng)驗Copula函數(shù)C＾n(u，v)的平方歐式距離(歐氏距離Euclidean distance也稱歐幾里德距離，它是一個通常采用的距離定義，是在m維空間中兩個點之間的真實距離)，

d2Gd=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾Ga(ui，vi)2=00171，

d2t=∑n1C＾n(ui，vi)-C＾t(ui，vi)2=00166。

在平方歐式距離的標(biāo)準(zhǔn)下，可以認(rèn)為二元tCopula函數(shù)能夠更好地擬合滬深300指數(shù)和股指期貨日收益的觀測數(shù)據(jù)。

圖2 二元正態(tài)和二元tCopula概率密度函數(shù)分布從圖2來看，相比二元正態(tài)Copula函數(shù)，二元tCopula函數(shù)具有更厚的尾部，因此在尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫上要強于二元正態(tài)Copula函數(shù)，由二元tCopula函數(shù)計算得到的尾部相關(guān)系數(shù)為，

λ上尾=λ下尾=2-2tk+1k+11-ρt1+ρt=0633。

其中，k和ρt分別為二元tCopula函數(shù)的自由度和線性相關(guān)參數(shù)。

2.阿基米德Copula

Clayton、Gumble和Frank Copula函數(shù)是三類常用的二元阿基米德Copula函數(shù)，下文運用這三個函數(shù)分析滬深300指數(shù)與股指期貨之間的關(guān)系，參數(shù)估計結(jié)果如表3所示。

概率密度函數(shù)分布從參數(shù)估計結(jié)果以及概率密度函數(shù)圖可以發(fā)現(xiàn)，Claton、Gumbel Copula函數(shù)具有非對稱性，能夠分別描述序列間上尾和下尾的相關(guān)關(guān)系，而且尾部比較陡峭且敏感性較強；計算結(jié)果顯示Claton Copula上尾相關(guān)系數(shù)0882，Gumbel Copula下尾相關(guān)系數(shù)為0841，對單一尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫要強于tCopula函數(shù)的計算結(jié)果0633；滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的尾部相關(guān)程度從圖3中看來都很陡峭且估計值也比較大，說明當(dāng)股票市場大幅度波動時，兩者間的相關(guān)程度顯著提高。

四、結(jié)論 本文運用Copula函數(shù)建立CopulaGARCH(1，1)GED模型研究了滬深300指數(shù)日收益率序列與滬深300股指期貨日收益率序列之間的相關(guān)關(guān)系。

通過原始數(shù)據(jù)可以計算出滬深300指數(shù)與股指期貨日收益序列之間的線性相關(guān)系數(shù)為：rp=09451，這說明滬深300指數(shù)與股指期貨的日收益率序列的相關(guān)程度非常高；從秩相關(guān)系數(shù)角度，二元正態(tài)Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τnorm=07979，Spearman秩相關(guān)系數(shù)ρnorm=09454，相比二元tCopula函數(shù)，二元正態(tài)Copula函數(shù)計算出的秩相關(guān)系數(shù)更接近實際情況，說明了二元正態(tài)Copula函數(shù)更好地反映了滬深300指數(shù)與股指期貨日收益之間的秩相關(guān)關(guān)系，且兩收益率序列之間的變化趨勢是基本一致的。

從尾部相關(guān)的角度，由二元tCopula函數(shù)計算得到的尾部相關(guān)系數(shù)為：λ上尾=λ下尾=0633；Claton Copula和Gumbel Copula函數(shù)具有非對稱性，分別能夠描述序列間上尾和下尾的相關(guān)關(guān)系，計算結(jié)果Claton Copula上尾相關(guān)系數(shù)為0882，Gumbel Copula下尾相關(guān)系數(shù)為0841，對單一尾部相關(guān)關(guān)系的刻畫要強于二元tCopula函數(shù)的計算結(jié)果0633；而當(dāng)股票市場大幅度波動時，滬深300指數(shù)與滬深300股指期貨的相關(guān)程度會顯著提高。

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（責(zé)任編輯：葉光雄）