如何提高學生感悟數(shù)學思想方法的水平

　　《數(shù)學課程標準》（2011版）在數(shù)學課程目標中明確提出了“四基”，即獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗。因此，在課堂教學中應(yīng)當對數(shù)學思想予以特別重視。
　　數(shù)學思想方法在學生數(shù)學學習中有著十分重要的意義和作用。在小學數(shù)學教學中，教師應(yīng)注意用數(shù)學思想引領(lǐng)課堂教學，精心設(shè)計每一個環(huán)節(jié)，關(guān)注教學細節(jié)，重視學生對數(shù)學思想方法感悟水平的提升，為學生的終身發(fā)展打下扎實的基礎(chǔ)。下面結(jié)合教學實踐，談一些自己粗淺的認識。
　　一、在親歷探究中充分感悟數(shù)學思想方法
　　數(shù)學思想方法與顯性的數(shù)學知識不同，它往往隱含于知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用之中，并與概念的抽象與概括過程、公式的推導(dǎo)與建立過程、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與歸納過程以及問題的分析與解決過程密切相關(guān)、彼此交融。數(shù)學思想的體驗和領(lǐng)悟，是要以知識為載體，通過潛移默化的手段讓其悄悄地扎根于學生的頭腦之中，逐步成為一種意識、觀念和素質(zhì)。在教學中，要合理地把學生熟悉的、了解的、感興趣的數(shù)學事例搬進課堂，在對實際問題進行數(shù)學化的過程中，讓學生經(jīng)歷探究，充分體驗數(shù)學思想，受到數(shù)學理性精神的熏陶，進而使他們對數(shù)學思想方法的感悟水平得到提高。
　　案例一：《長方形和正方形的認識》教學片段。
　　教法一：
　　1.依次出示數(shù)學書、魔方。提問學生:數(shù)學書的封面是什么形狀的，魔方的每個面是什么形狀的？
　　2.讓學生說說:在生活中還見過哪些物體的面是長方形，哪些物體的面是正方形？
　　3.教師在多媒體中播放一些生活中物體的面是長方形或正方形的實物圖片。
　　接著教師說明像電視屏幕的面、鐘面等都可以用如下簡單的平面圖形來表示。（電腦隱去實物圖片中色彩、圖案等非本質(zhì)因素，呈現(xiàn)出長方形、正方形的幾何圖形。）
　　4.引導(dǎo)學生用語言描述長、正方形。
　　教法二：
　　1、2兩步同教法一。
　　3.教師在多媒體中播放一些生活中物體的面是長方形或正方形的實物圖片。
　　4.先讓學生觀察上面實物圖片的面，四周有幾條邊框，再讓學生制作一個長方形和正方形（①用小棒搭一個長方形；②在釘子板上圍一個正方形）；在方格紙上畫一個長方形和正方形。
　　5.引導(dǎo)學生比較：制作的長、正方形和畫出的長、正方形哪種簡潔，你喜歡用哪種表示。
　　6.教師用課件把用小棒搭的、在釘子板上圍成的和在方格紙上畫的長、正方形搬到電腦屏上，隱去具體實物元素（小棒、釘子板、方格等），呈現(xiàn)出抽象的長、正方形的幾何圖形。
　　7.引導(dǎo)學生用語言描述長、正方形的幾何圖形。
　　8.學生舉例說說，實際生活中哪些物體的面的形狀也可以用這樣的幾何圖形來表示的。
　　《數(shù)學課程標準》認為，學生空間觀念的形成的主要表現(xiàn)是：能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化?？臻g觀念的形成過程，就是學生親歷從現(xiàn)實情境抽象出有關(guān)幾何概念的數(shù)學化的建模過程。教法一能夠利用生活中的實例和多媒體輔助手段，幫助學生建立長方形、正方形的幾何圖形概念。但是，剖析其過程，不難發(fā)現(xiàn)，教學中只是在觀察實物面的形狀的層次上，采用多媒體手段來揭示長方形、正方形的概念。這樣的過程給予學生的體驗是不豐富的，也是不充分的，對于建模思想的感受是膚淺的。學生的認識水平只是停留在知道什么樣的圖形是長方形、正方形上。由于學生沒有得到連續(xù)、漸進的思維活動的機會，因此也必然會影響學生抽象思維能力的發(fā)展。
　　從現(xiàn)實情境中抽象出平面幾何圖形的建模過程，要依托具體實物的形狀，在學生親歷操作實踐的活動中，經(jīng)過抽象和形式化的過程，使他們真正體驗平面幾何圖形的建模過程。教法二中按實物的面（或?qū)嵨飯D）——制作（或畫）長、正方形——抽象出長、正方形幾何圖形——生活中的長、正方形的方法進行教學。在出示生活中的實物圖片后，引導(dǎo)學生開展對實物圖片中圖形邊界的觀察活動，并借助學生在低年級獲得的直觀經(jīng)驗，請學生用小棒搭建一個長方形，在釘子板上圍出一個正方形，在方格紙上畫出長、正方形，再用課件把學生制作和畫出的長、正方形搬上屏幕，接著把邊縮成一條線段，抽象出長、正方形。最后，再回到生活實際中，學生舉例說說還有哪些實物的面也可以用長、正方形來表示。這樣的教學，充分發(fā)揮了學生動手制作長、正方形等操作活動的紐帶作用，學生親歷和體驗到了實物面的形狀與幾何圖形之間的相互抽象、轉(zhuǎn)化的認識過程，充分感悟到了數(shù)學建模思想，幫助學生實現(xiàn)直觀思維與抽象思維的有效溝通，實現(xiàn)對知識意義的主動構(gòu)建。
　　二、在不斷拓展中逐步感悟數(shù)學思想方法
　　數(shù)學思想方法蘊涵于數(shù)學知識和內(nèi)容中，又高于具體知識和內(nèi)容的理性認識。數(shù)學思想方法感悟水平的提升必須依賴于知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，依賴于抽象、概括和歸納等思維過程。學生對數(shù)學知識的獲取不是一步到位的，而是一個在不同階段，從不同角度、不同層次逐步豐富認識、加強理解的過程。所以，學生對數(shù)學思想方法的感悟水平的提升也不可能一蹴而就，而是要經(jīng)歷逐步豐富、逐步拓展、逐步逼近的動態(tài)發(fā)展過程。教學時，要從學生的認知規(guī)律和年齡特點出發(fā)，提出合理的教學要求，從數(shù)學課程的整體著眼，在適當?shù)臅r期呈現(xiàn)恰當?shù)慕虒W內(nèi)容，采用有效的教學方式，不斷提高他們對數(shù)學思想方法的感悟水平。
　　例如，在小學數(shù)學教學中滲透函數(shù)思想，就要注意教學安排的遞進性。小學生由于受自身知識水平、認知能力和思維水平的局限，他們對函數(shù)思想的感悟往往也需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從具體到抽象、從初步理解到簡單應(yīng)用的過程。
　　第一層次，從探究靜態(tài)的常量之間關(guān)系的過程中感悟“變化與對應(yīng)”思想。
　　1.在教學加減法時，可結(jié)合例1、例2等題的教學，讓學生知道，同一個數(shù)加或減不同的數(shù)得到不同的結(jié)果。
　　例1 蘇教版一年級上冊：
　　例2 蘇教版一年級下冊：
　　2.在教學乘除法時，可結(jié)合教材安排如下一些題的教學，讓學生知道，同一個數(shù)乘或除以不同的數(shù)（0除外）得到不同的結(jié)果。
　　例3 蘇教版三年級上冊：小紅家養(yǎng)了5匾蠶，平均每匾能收180個蠶繭。你能把下表填寫完整嗎？
　　觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？
　　例4 蘇教版四年級上冊：王大伯準備圍一塊360平方米的長方形地種植樹苗。如果長方形地的長為90米，寬應(yīng)該是多少米？如果長分別是60米、40米、30米或20米呢？
　　觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？
　　3.在探索積的變化規(guī)律或商不變規(guī)律的過程中，讓學生認識到：什么情況下，積或商不發(fā)生變化，什么情況下積或商發(fā)生變化，怎樣變化，注意從中滲透變化與對應(yīng)思想。
　　4.在“用字母表示數(shù)”的教學中，讓學生體會“字母取一個值，含有字母的算式就有唯一確定的值”。
　　5.在數(shù)量關(guān)系的教學中，根據(jù)“總價、單價與數(shù)量”等常用的數(shù)量關(guān)系，讓學生初步發(fā)現(xiàn)“其中一個數(shù)量確定時，另外兩個數(shù)量之間所存在的對應(yīng)關(guān)系”。
　　函數(shù)概念的核心內(nèi)容是變化和對應(yīng)，函數(shù)思想的基礎(chǔ)是變量思想。在滲透函數(shù)思想之前，基于小學生不同階段不同的認知水平，必須不斷地滲透變量思想的教學，并做到適度推進，在不斷的感悟中強化他們的變量意識。
　　第二層次，在探究動態(tài)的變量之間關(guān)系的過程中感悟函數(shù)思想。
　　如在教學《正、反比例》時，根據(jù)小學生的認知特點，掌握概念應(yīng)從典型、豐富的具體例子出發(fā)，通過對提供的實例，結(jié)合學生的實際，采用文字、表格和圖像等多元聯(lián)系表示，讓學生經(jīng)歷“知識的發(fā)生和發(fā)展過程”，為學生提供獨立概括概念的機會，經(jīng)歷分析、綜合、比較，從而概括出正、反比例概念“單值對應(yīng)”的本質(zhì)屬性。學生在更深的層面上理解變化與對應(yīng)的思想，從而促進他們對函數(shù)思想的領(lǐng)悟。
　　由此可知，學生對數(shù)學思想方法的感悟，在不同的學習階段有著不同的層次水平。教學中，必須遵循規(guī)律、把握特點、有序推進，才能使他們對數(shù)學思想方法的感悟逐步深化，進而提升自身的數(shù)學素養(yǎng)。
　　三、在思維訓練中深刻感悟數(shù)學思想方法
　　數(shù)學是人類思維的結(jié)晶，它具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性。學習數(shù)學需要通過思維去理解數(shù)學知識的實質(zhì)。開展合理的思維活動依賴于科學的思想方法，因為數(shù)學思想方法是學生形成思維能力、分析和解決問題能力以及創(chuàng)新精神和實踐能力的重要基礎(chǔ)。數(shù)學思維能力的提升和數(shù)學思想方法的感悟是密不可分的。在教學時，要設(shè)計優(yōu)質(zhì)的數(shù)學思維訓練活動，引導(dǎo)學生多角度、多層次、有個性地思考問題，提高他們對數(shù)學思想方法的感悟水平。
　　案例二 在教學兩位數(shù)乘一位數(shù)時，安排訓練題：從1～9的數(shù)字中選擇三個數(shù)字組成兩位數(shù)乘一位數(shù)的算式，找出積最大以及積最小的算式，探索其中的規(guī)律。
　　教學過程：
　　1.讓學生自己任意找三個數(shù)字，先組成六個算式，并算出結(jié)果。（如選1、2、3三個數(shù)，算式：21×3＝63，23×1＝23，12×3＝36，13×2＝26，32×1＝32，31×2＝62；選3、5、8三個數(shù)，算式：35×8＝280，38×5＝190，53×8＝424，83×5＝415，58×3＝174，85×3＝255等）
　　2.請學生觀察、比較，找出積最大的算式以及積最小的算式（如21×3，23×1，53×8，58×3等）。
　　3.引導(dǎo)學生猜想：積最大或最小的算式的數(shù)字排列有什么規(guī)律？
　　4.引導(dǎo)學生驗證。驗證一：選擇連續(xù)的3個數(shù)字為例，進行計算驗證；驗證二：①選擇不連續(xù)的三個數(shù)字為例進行計算、驗證；②用擴倍法驗證，如用1、2、3三個數(shù)字。組成積最大的算式21×3，積最小的算式23×1，進而選擇2、4、6這組數(shù)字，把這三個數(shù)字分別與1、2、3對應(yīng)，迅速寫出積最大的算式是42×6，積最小的算式是46×2。
　　5.總結(jié)歸納：積最大的算式以及積最小的算式的數(shù)字排列規(guī)律。
　　6.請學生根據(jù)規(guī)律，再任意選三個數(shù)寫出積最大的算式和積最小的算式，并進行計算。
　　把計算教學活動與探索規(guī)律結(jié)合起來，探索的問題有挑戰(zhàn)性，對學生才有吸引力。基于對數(shù)與數(shù)、式與式之間關(guān)系的思考，在把運算從“逐個計算”的機械操作變成有思維含量的“組塊計算”的過程中，為學生提供了創(chuàng)造性地解決問題的機會，促進學生開展高質(zhì)量的思維活動。同時，對于數(shù)字排列規(guī)律的探索過程，又成為“猜想—驗證—建?！钡倪^程，學生經(jīng)歷了不完全歸納得出某一結(jié)論的過程，使這些代表性例證所反映出的規(guī)律轉(zhuǎn)化為命題本身所具有的一般規(guī)律?？梢哉f，學生經(jīng)歷了有效的建模探究活動，積累了寶貴的數(shù)學活動經(jīng)驗，積淀了數(shù)學思想。另外，學生在運用規(guī)律寫出符合要求的算式時，把任意選擇的三個數(shù)字如何進行組合，也體現(xiàn)了分類思想。運用這樣的教學策略，學生不僅能積極參與到數(shù)的運算的學習活動中去，計算技能得到良好訓練，思維進一步得到激活，他們對數(shù)學思想感悟的水平也得到提