基于拓?fù)淅碚摰某咚贁z影儀轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

李春波，余春暉，李景鎮(zhèn)，柴金龍，劉春平，凌中水，黃虹賓，

1)深圳大學(xué)機(jī)電與控制工程學(xué)院，深圳518060;2)深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車(chē)與交通學(xué)院，深圳518055;3)深圳市微納光子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，深圳518060

在微秒級(jí)攝影領(lǐng)域，轉(zhuǎn)鏡式超高速攝影儀在成像的空間帶寬積、實(shí)際動(dòng)態(tài)范圍、畫(huà)幅數(shù)等主要攝影性能方面，優(yōu)于電子類(lèi)相機(jī)［1］，在爆轟物理、高電壓放電、超音速風(fēng)洞、激波物理、爆炸和碎裂、推進(jìn)劑化學(xué)、細(xì)觀和微觀等超快過(guò)程現(xiàn)象記錄等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用［2］. 轉(zhuǎn)鏡作為超高速攝影儀中重要的光學(xué)加速部件，其動(dòng)力學(xué)性能直接影響到攝影儀的工作可靠性、時(shí)間分辨率和空間分辨率.Дубовин А С［3］從理論力學(xué)和材料力學(xué)的角度求得轉(zhuǎn)鏡應(yīng)力和變形量的計(jì)算公式. Трачук В С［4］將轉(zhuǎn)鏡復(fù)雜的3 維綜合性力學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面力學(xué)問(wèn)題，推導(dǎo)出鏡面變形量的二維解析解. 李景鎮(zhèn)等［5-6］提出轉(zhuǎn)鏡強(qiáng)度計(jì)算的簡(jiǎn)化公式. 文獻(xiàn)［7-8］提出在無(wú)制造缺陷的情況下，轉(zhuǎn)鏡的破壞是共振導(dǎo)致的疲勞破壞. 文獻(xiàn)［9-15］總結(jié)出保證在實(shí)際運(yùn)轉(zhuǎn)中，轉(zhuǎn)鏡臨界點(diǎn)出現(xiàn)在選定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的方法，研究和提出針對(duì)轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法.文獻(xiàn)［16-18］在3 維有限元技術(shù)基礎(chǔ)上對(duì)轉(zhuǎn)鏡鏡面變形量進(jìn)行深入研究，提出鏡面變形量的幾何補(bǔ)償方法，并創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)出蜂窩結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡.

轉(zhuǎn)鏡運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)在臨界轉(zhuǎn)速附近，尤其是在1 階臨界轉(zhuǎn)速附近的振動(dòng)現(xiàn)象，以及由此引發(fā)的潛在破壞是轉(zhuǎn)鏡設(shè)計(jì)面臨的重要課題. 在保證轉(zhuǎn)鏡反射鏡面尺寸不變的情況下，提高轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率，一直是困擾轉(zhuǎn)鏡研究者的難題. 本研究基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，提出轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)拓?fù)涿枋龇绞胶筒牧喜逯的Ｐ?，利用有限元分析軟件ANSYS，以轉(zhuǎn)鏡基頻為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)，轉(zhuǎn)鏡體積為約束條件，結(jié)合當(dāng)前國(guó)內(nèi)應(yīng)用最廣泛的大畫(huà)幅和大畫(huà)幅數(shù)鋁轉(zhuǎn)鏡，在不改變轉(zhuǎn)鏡鏡面尺寸前提下，進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)涞膬?yōu)化分析，并根據(jù)分析得到的轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖對(duì)轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，最后，對(duì)修改前后的轉(zhuǎn)鏡分別進(jìn)行數(shù)值模態(tài)和試驗(yàn)分析. 研究發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率由原來(lái)的713.6 Hz 提高到821.4 Hz，1 階臨界轉(zhuǎn)速提高了15.1%，其他各階固有頻率也有顯著提高;修改前后轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)值解和試驗(yàn)結(jié)果的一致性證明轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的正確性. 轉(zhuǎn)鏡的拓?fù)鋬?yōu)化分析為轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能的修改指出新的方向.

1 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化分析原理

1.1 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化插值模型

均勻化方法和變密度法是當(dāng)前連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的兩個(gè)基本方法. 現(xiàn)有的主要密度插值模型包括材料屬性的合理近似模型 (rational approximation of material properties，RAMP)［19］和固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(solid isotropic microstructures with penalization，SIMP)［20-21］. 根據(jù)SIMP 方法，轉(zhuǎn)鏡材料插值模型的本質(zhì)，是將轉(zhuǎn)鏡變量進(jìn)行0 -1 離散后再對(duì)離散變量進(jìn)行優(yōu)化組合(0 表示該部分材料可以去除，1 表示該部分材料需要保留). 通過(guò)將轉(zhuǎn)鏡連續(xù)變量的密度函數(shù)顯式地表達(dá)成離散化后單元相對(duì)密度與材料彈性模量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并以離散后轉(zhuǎn)鏡每個(gè)單元的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量，人為假定轉(zhuǎn)鏡相對(duì)密度和材料彈性模量間的偽密度對(duì)應(yīng)關(guān)系，并通過(guò)引入懲罰因子對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰，使中間密度值向0 -1 兩端聚集，使連續(xù)變量的拓?fù)鋬?yōu)化模型能很好地逼近0 -1 離散變量的優(yōu)化模型. 在這種情況下，中間密度單元對(duì)應(yīng)一個(gè)很小的彈性模量，對(duì)轉(zhuǎn)鏡剛度矩陣的影響很小. 基于上述方法，建立轉(zhuǎn)鏡材料插值模型［20］

其中，ρ(x)為轉(zhuǎn)鏡連續(xù)變量;Eijkl為單元初始彈性模量;E'

如果懲罰因子足夠大，就能夠得到無(wú)中間密度的優(yōu)化區(qū)域. 對(duì)于3 維轉(zhuǎn)鏡，懲罰因子滿(mǎn)足關(guān)系式［23］

其中，v0為優(yōu)化區(qū)域材料的泊松比. 轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域?yàn)殓R體，材料為鋁合金，泊松比0.3. 由于懲罰因子越大，中間密度就越小，故在轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化中，取懲罰因子為5.

1.2 優(yōu)化算法

轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化模型建立后，需選擇優(yōu)化算法進(jìn)行求解. 當(dāng)前兩類(lèi)常用算法有優(yōu)化準(zhǔn)則法［22］(optimality criteria，OC)和序列規(guī)劃法(sequential programming，SP). 本研究選擇序列規(guī)劃法中的凸規(guī)劃法(sequential convex programming，SCP)對(duì)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化模型進(jìn)行求解. 該方法的基本思想是在求解過(guò)程中采用一系列簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)逐步逼近復(fù)雜問(wèn)題，通過(guò)相關(guān)轉(zhuǎn)化，將轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度的求解轉(zhuǎn)化為一個(gè)較低階次的非線(xiàn)性或線(xiàn)性問(wèn)題漸近求解. 根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化理論［22-25］，建立轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

其中，θ 為優(yōu)化目標(biāo)，即轉(zhuǎn)鏡第1 階固有頻率;［K］為轉(zhuǎn)鏡剛度矩陣;［M］為轉(zhuǎn)鏡質(zhì)量矩陣;{φi}為第i 階特征值λi對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)鏡模態(tài);x 為轉(zhuǎn)鏡設(shè)計(jì)變量. 為避免剛度矩陣中出現(xiàn)奇異矩陣［23］，取xmin=0.001;V 為優(yōu)化后的轉(zhuǎn)鏡體積;Vj為第j 個(gè)單元的體積;j = 1，2，…，N 為轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化區(qū)域內(nèi)的單元數(shù)目;i = 1，2，…，Ndof為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)目. 在對(duì)轉(zhuǎn)鏡模態(tài)和諧響應(yīng)分析［12-13］中發(fā)現(xiàn)，對(duì)轉(zhuǎn)鏡動(dòng)力學(xué)性能影響最大的主要是轉(zhuǎn)鏡的前幾階模態(tài)，故提取轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)為10，α 取0.95［22-25］.

優(yōu)化分析轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)洌罐D(zhuǎn)鏡1 階固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速高于轉(zhuǎn)鏡的工作轉(zhuǎn)速. 最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化就是使轉(zhuǎn)鏡的基頻最大，故目標(biāo)函數(shù)為

其中，λi為轉(zhuǎn)鏡階特征向量;{φi}T為轉(zhuǎn)鏡i 階振型向量的轉(zhuǎn)置. 最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化就是求解式(5)的最大值.

2 數(shù)值分析

轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)，是轉(zhuǎn)鏡在承受單載荷或多載荷約束條件下，尋求最佳材料分配或最佳傳力路徑的方案，使其1 階固有頻率在滿(mǎn)足給定實(shí)際約束條件下，通過(guò)減小結(jié)構(gòu)的變形能，即提高轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)剛度，使其達(dá)到設(shè)計(jì)所需的極大值.與傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)相比，轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化最大的不同是不需要給出參數(shù)和優(yōu)化變量定義，目標(biāo)函數(shù)、狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量都已根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的要求自行預(yù)定好，只需要給出結(jié)構(gòu)的材料特性、模型、載荷和要省去的材料百分比.

2.1 轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)態(tài)剛度拓?fù)鋬?yōu)化分析模型

轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)值分析的基礎(chǔ)是轉(zhuǎn)鏡的模態(tài)分析，即將轉(zhuǎn)鏡固有頻率作為拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù). 由于1 階固有頻率(即基頻)對(duì)轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)態(tài)特性影響最大，故轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)態(tài)剛度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)值分析，直接以轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行單模態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化分析.

圖1 原轉(zhuǎn)鏡模型Fig.1 The original model of rotating mirror

圖1 為原轉(zhuǎn)鏡模型，轉(zhuǎn)鏡由鏡體和轉(zhuǎn)軸兩部分構(gòu)成，兩者經(jīng)過(guò)盈配合連接. 轉(zhuǎn)軸材料為45 鋼，經(jīng)調(diào)質(zhì)、淬火處理，彈性模量210 GPa，泊松比0.26，密度7 800 kg/m3. 鏡體選用鋁合金，彈性模量71.7 GPa，泊松比0.33，密度2 780 kg/m3. 采用單列深溝球軸承支撐，一端為固定鉸支，另一端為活動(dòng)鉸支. 由于轉(zhuǎn)鏡鏡面變形量對(duì)時(shí)間分辨率的影響大，故將鏡體表面0.2 mm 的厚度和轉(zhuǎn)軸材料定義為非優(yōu)化的區(qū)域. 定義轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率作為拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)，拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域體積為拓?fù)鋬?yōu)化約束條件，選擇序列凸規(guī)劃法進(jìn)行轉(zhuǎn)鏡的最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析. 通過(guò)多次反復(fù)取值進(jìn)行數(shù)值分析和試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，選擇體積減少30%進(jìn)行迭代運(yùn)算，轉(zhuǎn)鏡綜合力學(xué)性能最好. 圖2 ～圖4 為轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果.

圖2 偽密度分布圖Fig.2 Pseudo-density distribution

圖3 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(xiàn)Fig.3 Iterative curve of objective function

圖2 為轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖，轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化區(qū)域中3個(gè)尖角部分中間密度值約為0.001. 為避免轉(zhuǎn)鏡模態(tài)分析中剛度矩陣出現(xiàn)奇異，對(duì)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域優(yōu)化變量取xmin=0.001，故該部分偽密度值可視為0，該部分材料可以刪除. 目標(biāo)函數(shù)迭代曲線(xiàn)(圖3)和約束條件迭代曲線(xiàn)(圖4)經(jīng)過(guò)初期波動(dòng)后趨于水平，說(shuō)明轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析結(jié)果收斂. 圖2 和圖3 顯示，轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化的1 階固有頻率收斂解為885.7 Hz.

圖4 約束條件迭代曲線(xiàn)Fig.4 Iterative curve of constraint condition

3 轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu)優(yōu)化

根據(jù)轉(zhuǎn)鏡拓?fù)鋬?yōu)化得到偽密度分布圖，刪除偽密度值小的材料區(qū)域，對(duì)鏡體結(jié)構(gòu)形狀進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化. 圖5 為修改后新轉(zhuǎn)鏡鏡體的3 維模型. 相比于圖1，圖5 的轉(zhuǎn)鏡外形結(jié)構(gòu)只去除了優(yōu)化區(qū)域偽密度值較小的部分，其他結(jié)構(gòu)尺寸不作修改. 然后對(duì)修改前后轉(zhuǎn)鏡在相同約束條件(圖1)下進(jìn)行模態(tài)分析［9-15］.

圖5 轉(zhuǎn)鏡新模型Fig.5 New model of rotating mirror

表1 為結(jié)構(gòu)修改后轉(zhuǎn)鏡模態(tài)數(shù)值分析，以及原有結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡模態(tài)分析前5 階模態(tài)結(jié)果的對(duì)比. 轉(zhuǎn)鏡優(yōu)化后第1 階模態(tài)值為821.4 Hz. 由于優(yōu)化得到轉(zhuǎn)鏡偽密度圖形中位密度值為0 的單元為非均勻分布，實(shí)際中不可能將拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中偽密度值為0的材料完全去除;且由于中間偽密度值的存在，一部分保留的轉(zhuǎn)鏡鏡體單元偽密度值不為1，這是新轉(zhuǎn)鏡的基頻比轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化得到的收斂解要小的原因. 由表1 還可知，轉(zhuǎn)鏡第1 階模態(tài)固有頻率值增加了107.8 Hz，變化率為15.1%，說(shuō)明轉(zhuǎn)鏡最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析的基頻值是正確的.

由于大畫(huà)幅超高速攝影儀要求轉(zhuǎn)鏡反射面大，這就使得轉(zhuǎn)鏡體積較大. 轉(zhuǎn)鏡工作轉(zhuǎn)速很高，前幾階固有頻率對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速低于轉(zhuǎn)鏡的工作轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)鏡在加速或減速過(guò)程中躍過(guò)共振點(diǎn)時(shí)，如果在低階固有頻率的共振帶停留時(shí)間較長(zhǎng)，會(huì)因出現(xiàn)共振而被破壞，對(duì)攝影儀的工作可靠性產(chǎn)生直接影響.通過(guò)對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化后的轉(zhuǎn)鏡進(jìn)行模態(tài)分析和試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在相同鏡面尺寸下，新轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率相對(duì)原轉(zhuǎn)鏡增加15.1%，第2 階固有頻率增加48%，第3 階固有頻率增加50%. 轉(zhuǎn)鏡最大應(yīng)力由原來(lái)的5.38 MPa 增加到5.47 MPa，轉(zhuǎn)鏡的靜強(qiáng)度有輕微降低，但仍滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求. 因此通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)鏡基頻進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化分析，使轉(zhuǎn)鏡各階固有頻率都得到很大程度的提高. 這對(duì)大畫(huà)幅轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)提供了可靠有效的設(shè)計(jì)思路.

表1 模態(tài)分析結(jié)果對(duì)比Table 1 Contrast of model analysis results

4 試驗(yàn)分析

轉(zhuǎn)鏡模態(tài)實(shí)驗(yàn)分析系統(tǒng)如圖6. 采用WS-5932綜合信號(hào)采集系統(tǒng)和Vib' SYS 分析軟件，該測(cè)試系統(tǒng)直接以電機(jī)驅(qū)動(dòng)，通過(guò)信號(hào)采集系統(tǒng)在線(xiàn)測(cè)量轉(zhuǎn)鏡加速度響應(yīng)信號(hào)，經(jīng)A/D 轉(zhuǎn)換為時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，再通過(guò)FFT 變換加Hanning 窗過(guò)濾時(shí)域信號(hào)中的噪聲后，得到轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，最后通過(guò)Vib’SYS 軟件的圖像處理功能輸出轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線(xiàn).圖7 和圖8 分別為原轉(zhuǎn)鏡和新結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)鏡在1 階固有頻率處的頻域響應(yīng)曲線(xiàn). 由圖7 可見(jiàn)，原轉(zhuǎn)鏡在714.5 Hz 處開(kāi)始出現(xiàn)峰值，即1 階固有頻率為714.5 Hz，圖8 表明新轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率為823.4 Hz. 考慮到試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值解之間存在不可避免的誤差，因此，可認(rèn)為優(yōu)化前后轉(zhuǎn)鏡的模態(tài)分析結(jié)果是正確的. 數(shù)值解和試驗(yàn)結(jié)果的一致性說(shuō)明，通過(guò)對(duì)已有結(jié)構(gòu)進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化，轉(zhuǎn)鏡1 階固有頻率有很大提高.

圖6 轉(zhuǎn)鏡試驗(yàn)測(cè)試系統(tǒng)程序框圖Fig.6 The block diagram of rotating mirror test system

圖7 原轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.7 The frequency-amplitude characteristic curve of original rotating mirror

圖8 新轉(zhuǎn)鏡幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.8 The frequency-amplitude characteristic curve of new rotating mirror

結(jié) 語(yǔ)

基于連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)理論，利用有限元法及ANSYS 軟件，建立轉(zhuǎn)鏡各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)單模態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化插值模型，對(duì)轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率進(jìn)行最大動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值分析，并根據(jù)轉(zhuǎn)鏡偽密度分布圖，修改原有轉(zhuǎn)鏡結(jié)構(gòu). 對(duì)修改前后的轉(zhuǎn)鏡進(jìn)行模態(tài)數(shù)值分析和試驗(yàn). 通過(guò)對(duì)比兩轉(zhuǎn)鏡的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在不改變轉(zhuǎn)鏡反射面尺寸的前提下，轉(zhuǎn)鏡的1 階固有頻率增加了107.8 Hz，變化率為15.1%.其他各階固有頻率亦有顯著提高，第2 階模態(tài)值增加48%，第3 階模態(tài)的數(shù)值增加50%. 試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值解一致，為有效提高轉(zhuǎn)鏡的動(dòng)力學(xué)性能，在不改變轉(zhuǎn)鏡鏡面尺寸前提下修改轉(zhuǎn)鏡固有頻率點(diǎn)的位置，提供了新的設(shè)計(jì)思路和方法.

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