對稱逆半群到部分變換半群上的同態(tài)

林 雙，楊秀良

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

對稱逆半群到部分變換半群上的同態(tài)

林 雙，楊秀良

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036）

設(shè)ISn和PTn分別是集合Xn＝｛1，2，…，n｝上的對稱逆半群和部分變換半群.文章刻畫了ISn到PTn上的所有同態(tài).

同態(tài)；同態(tài)核；同余

令Xn＝｛1，2，…，n｝.集合Xn上的所有部分變換在復(fù)合運算下構(gòu)成的半群稱作是Xn的部分變換半群，記作PTn.Xn上的所有部分單變換在復(fù)合運算下構(gòu)成的半群稱作是Xn的對稱逆半群，記作ISn.Xn上的所有全變換在復(fù)合運算下構(gòu)成的半群稱作是Xn的全變換半群，記作Tn.本文規(guī)定復(fù)合運算從右到左：對任意的變換α，β和任意的x∈Xn有αβ（x）＝α（β（x））.

1997年，Schein和Teclezghi[1]刻畫了對稱逆半群ISn上的自同態(tài).隨后在1998年，他們又分別給出了全變換半群Tn和部分變換半群PTn的自同態(tài)[2－3].2009年，Ganyushkin和Mazorchuk在他們的著作中討論自同態(tài)時提出了一個公開問題[4]133：描述從S到T的所有同態(tài)（單同態(tài)，滿同態(tài)），其中S，T∈｛PTn，Tn，ISn｝.本文刻畫了ISn到PTn的所有同態(tài).

1 主要結(jié)果

先介紹一些符號和概念.設(shè)Sn，n分別是Xn上的置換群和交錯群.當(dāng)n≠4時，Sn的非平凡的正規(guī)子群只有n.當(dāng)n＝4時，S4的非平凡的正規(guī)子群除了4外，還有另一個4，稱作Klein四元群.變換α的秩rank（α）定義為α象im（α）的基數(shù).設(shè)S∈ ｛PTn，ISn｝.S的每個理想都具有以下形式（[4]，Theorem 4.3.1）：Ik＝ ｛α∈S：rank（α）≤k｝，0≤k≤n.S的每個D- 類都具有以下形式（[1]，Theorem 4.5.1）：Dk＝ ｛α∈S：rank（α）＝k｝，0≤k≤n.半群S的自同構(gòu)都是內(nèi)自同構(gòu)（[4]，Theorem 7.1.3）.

設(shè)α，β∈S為下面的形式：

其中k∈Xn，集合A1，…，Ak，Ak＋1是兩兩不交的，μ∈Sk.若S＝ISn，則 A1＝ … ＝ Ak＝1.設(shè)ρα＝A1∪ … ∪Ak＋1是Xn的一個劃分.定義S上的H-關(guān)系（[4]，Theorem 4.5.1）為：αHβ當(dāng)且僅當(dāng)im（α）＝im（β）且ρα＝ρβ.

對每個k＝1，2，…，n和Sk的每個正規(guī)子群R，S上的同余或者是一致同余，或者具有形式 ≡R，R?Sk，1≤k≤n（[4]，Theorem 6.3.10）如下：

1）若rank（α）＜k，則α≡Rβ當(dāng)且僅當(dāng)rank（β）＜k；

2）若rank（α）＞k，則α≡Rβ當(dāng)且僅當(dāng)α＝β；

3）若rank（α）＝k，則α≡Rβ當(dāng)且僅當(dāng)αHβ且若α和β由式（1）給出，則μ∈R.

對任意的x∈Xn，ax＝｛（x，x）｝表示S的秩為1的冪等元.定義常量變換0x：Xn→Xn為0x（i）＝x，對任意的i∈Xn.記空變換（定義域為空集的變換）為0.記恒等變換為1n.

主要結(jié)論如下：

定理 設(shè)n≠4.

（i）設(shè)π∈Sn.對任意的α∈ISn，定義Λπ（α）＝παπ－1.則Λπ是ISn到PTn的一個同態(tài).

（ii）選取ψ∈ Aut（Sn）.定義Ωψ：ISn→PTn如下：

則Ωψ是ISn到PTn的一個同態(tài).

（iii）選取π∈Sn，i，j∈Xn.定義Ψπ：ISn→PTn如下：

則Ψπ是ISn到PTn的一個同態(tài).

（iv）選取ε，δ∈PTn使得ε3＝ε且εδ＝δε＝δ2＝δ.定義Θε，δ：ISn→PTn如下：

2 定理證明

為了證明定理，先建立下面的引理.

引理1 設(shè)Xn＝｛1，2，…，n｝，并設(shè)k是一個正整數(shù)且1≤k≤n.則下列敘述成立：

定理的證明 驗證即知（i）－（v）成立.

反之，設(shè)φ是ISn到PTn的同態(tài).若n＝1，則φ或是恒等同態(tài)，滿足形式（i）；或φ（IS1）＝ ｛1n｝，或φ（IS1）＝｛0｝，這2種情況φ都是常量同態(tài)，滿足形式（iv）.下面討論n＞1的情況.考慮3種情況：φ在Sn上是單的；φ在Sn上是非單的且n≠4；φ在Sn上是非單的且n＝4.

情況1.1 若m ＝0，則φ－1（0）＝ ｛0｝.定義同態(tài)φ的核 Ker（φ）為：對任意的α，β∈ISn，（α，β）∈Ker（φ）?φ（α）＝φ（β）.由于φ的核Ker（φ）是ISn上的一個同余，因此Ker（φ）＝≡R，R?Sk，1≤k≤n.又由于｛0｝是Kerφ的一個同余類，因此Kerφ＝≡S1，故φ是單射.對任意不同的i，j∈Xn，有aiaj＝0，進而φ（ai）φ（aj）＝φ（0）＝0.因此

又由于im（φ（ai））?dom（φ（ai）），因此im（φ（ai））∩im（φ（aj））＝ ?.設(shè)集合E ＝ ｛im（φ（ai））：i∈Xn｝.

情況2 設(shè)φ在Sn上不是單的且n≠4.則同態(tài)核Ker（φ）在Sn上的限制不是恒等同余.若Ker（φ）是一致同余，則φ把ISn映射到PTn的某個冪等元δ，因此φ為形式（iv）中的常量同態(tài).

若Ker（φ）＝≡R，其中R為Sn或.若R＝Sn，則Sn和是Ker（φ）兩個同余類，因此φ把Sn映到PTn的某個冪等元ε，φ把映到PTn的某個冪等元δ，且滿足εδ＝δε＝δ.若R＝n，則同余類分別為n，Sn＼n，.進而φ把這3個同余類分別映到PTn3個不同的冪等元μ，ε，δ且滿足ε2＝μ，ε3＝με＝ε.故φ具有形式（iv）.

情況3 φ在Sn上不是單的且n＝4時，討論同情況2，但還有另一種情況：R還可以是4.這時是Ker（φ）的一個同余類，設(shè)它的象是PT4中的冪等元e.在S4中的陪集有6個，分別為：

因此有φ（S4）?S3.顯然e對于群φ（S4）中元素而言是零元，即對任意的g∈φ（S4）有eg＝ge＝e.設(shè)im（φ（1n））＝Y(jié).則φ（S4）同構(gòu)于SY，因此Y 至少包含3個元素.

故定理得證.

推論1 若φ：ISn→PTn是單同態(tài)，則φ∈Aut（ISn）.

[1]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of finite symmetric inverse semigroups[J].Journal of Algebra，1997，198：300-310.

[2]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of finite full transformation semigroups[J].Proceedings of The American Mathematical Society，1998，126（9）：2579-2587.

[3]Schein B M，Teclezghi B.Endomorphisms of symmetric semigroups of functions on a finite set[J].Comm Algebra，1998，26（12）：3921-3938.

[4]Ganyushkin O，Mazorchuk V.Introduction to classical finite transiformation semigroups[M].London：Springer Verlag，2009.

The Homomorphisms from Symmetric Inverse Semigroup to Partial Transformation Semigroup

LIN Shuang，YANG Xiu-liang
（College of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China）

Let PTnbe the partial transformation semigroup of the set Xn＝｛1，2，…，n｝，and ISnthe symmetric inverse semigroup of Xn.The paper described all the homomorphisms fromISnto PTn.

homomorphism；kernel；congruence

O152.7 MSC2010：43A22

A

1674-232X（2012）04-0305-05

11.3969／j.issn.1674-232X.2012.04.004

2011-06-27

楊秀良（1963—），男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail：yxl＠hznu.edu.cn