影子價(jià)格非唯一性的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

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(1.石家莊鐵道大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河北 石家莊 050043;2.石家莊鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河北 石家莊 050041)

一、引言

1939年，前蘇聯(lián)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)家，線性規(guī)劃理論的創(chuàng)始人之一康托洛維奇(L.V.Kantorovich)在《組織和計(jì)劃生產(chǎn)的數(shù)學(xué)方法》一書中提出了所謂的“解乘數(shù)法”的方法，該方法以充分考慮資源的機(jī)會(huì)成本為核心思想進(jìn)行生產(chǎn)的最優(yōu)安排，其解就是現(xiàn)在所謂的影子價(jià)格。

影子價(jià)格是運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要概念，是運(yùn)籌學(xué)成功處理經(jīng)濟(jì)問題的重要標(biāo)志之一。正確認(rèn)識(shí)和深刻理解資源影子價(jià)格的含義，對(duì)如何合理利用和節(jié)省資源，優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和提高經(jīng)濟(jì)效益都有著重要的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義。按照運(yùn)籌學(xué)的相關(guān)理論，不失一般性，若有生產(chǎn)問題的線性規(guī)劃模型：

maxz=CX

則其對(duì)偶問題的規(guī)劃模型為：

minz=Yb

其中：X=[x1,x2,…,xn]T為決策變量，如產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃；C=[c1,c2,…,cn]為產(chǎn)品的價(jià)值系數(shù)；A為生產(chǎn)產(chǎn)品對(duì)資源的消耗系數(shù)；b=[b1,b2,…,bm]T為資源的擁有量。

這樣定義后，對(duì)偶變量Yi即為原問題中第i種資源的影子價(jià)格，它是對(duì)第i種資源在生產(chǎn)中所做貢獻(xiàn)的估價(jià)。從數(shù)值上看，Yi表示第i種資源每改變一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的改變量。在純市場(chǎng)條件下，某種資源的市場(chǎng)價(jià)格低于影子價(jià)格時(shí)，可以買進(jìn)這種資源；相反市場(chǎng)價(jià)格高于影子價(jià)格時(shí)，就應(yīng)該賣出這種資源。特別地，當(dāng)資源的影子價(jià)格為0時(shí)，表明該種資源未得到充分利用，處于資源閑置的狀態(tài)；當(dāng)該種資源的影子價(jià)格不為0時(shí)，表明該種資源在生產(chǎn)中已經(jīng)消耗完畢，處于資源緊缺的狀態(tài)。

盡管影子價(jià)格的定義早在19世紀(jì)40年代就已經(jīng)被提出，但一直存在著諸多爭(zhēng)議，其中最重要的爭(zhēng)議之一是影子價(jià)格的非唯一性問題。國內(nèi)已有不少文獻(xiàn)對(duì)線性規(guī)劃中影子價(jià)格的非唯一性進(jìn)行研究，如馬贊甫[1]，夏少剛[2-3]，劉舒燕[4]等都注意到了影子價(jià)格非唯一性問題，并得到了一些很有價(jià)值的結(jié)論。資源的稀缺性是在經(jīng)濟(jì)生活中面臨的最重要的問題，而影子價(jià)格恰恰提供了一種衡量資源稀缺程度的方法，因此對(duì)影子價(jià)格的相關(guān)問題展開討論是必要的和有益的。在對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行綜述的基礎(chǔ)上，從直觀的圖解法以及經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度給出了影子價(jià)格非唯一性的合理解釋。

二、問題的提出

從一個(gè)實(shí)際案例引入影子價(jià)格的非唯一性問題。假設(shè)有如下生產(chǎn)計(jì)劃問題：某企業(yè)計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品都要分別在A、B、C、D四個(gè)不同設(shè)備上加工。生產(chǎn)每件產(chǎn)品需占用的各種設(shè)備資源以及每種產(chǎn)品的單位利潤(rùn)如表1所示。

表1 生產(chǎn)基本情況表

這屬于運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)簡(jiǎn)單的生產(chǎn)計(jì)劃問題，為求解該問題可建立如下數(shù)學(xué)模型(為后面敘述方便，將原模型記為模型1，將其對(duì)偶問題的數(shù)學(xué)模型記為模型2)：

模型1(原模型)：

maxz=2x1+3x2

該問題的對(duì)偶數(shù)學(xué)模型2為：

minw=12y1+8y2+16y3+12y4

從通解中看出，對(duì)偶問題的解不是唯一的，隨著k值的改變而改變。對(duì)偶問題解的不唯一性導(dǎo)致A、B、C、D四種資源的影子價(jià)格是不唯一的。當(dāng)資源的影子價(jià)格不唯一時(shí)，就無法有效判斷資源的稀缺程度，并且會(huì)對(duì)企業(yè)生產(chǎn)決策產(chǎn)生影響。例如：A資源的影子價(jià)格可以為0(當(dāng)k=1/8時(shí))，也可以為1/2(當(dāng)k=0時(shí))。那么A資源對(duì)該企業(yè)是否緊缺呢，或者說其稀缺程度如何衡量呢？如果其影子價(jià)格為0，則根據(jù)上面的敘述，A資源對(duì)該企業(yè)就不是緊缺的，在一定范圍內(nèi)增加或減少A資源對(duì)該企業(yè)的利潤(rùn)不會(huì)產(chǎn)生影響；而如果其影子價(jià)格為1/2，A資源對(duì)該企業(yè)就是緊缺的，如果企業(yè)從市場(chǎng)上以價(jià)格p(p≤1/2)購買1單位A資源，則企業(yè)的利潤(rùn)可以增加1/2-p。由此可見，影子價(jià)格的唯一性對(duì)企業(yè)的決策是非常重要的。

針對(duì)對(duì)偶問題解的不唯一性，提出下面4個(gè)需要解決的問題：

(1)什么原因?qū)е聦?duì)偶問題的解是不唯一的；

(2)影子價(jià)格的非唯一性會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)分析產(chǎn)生什么影響；

(3)如何從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度解釋解的非唯一性；

(4)解不唯一時(shí)影子價(jià)格應(yīng)如何確定。

三、影子價(jià)格非唯一性的原因分析

為對(duì)影子價(jià)格非唯一性有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，首先采用圖解法進(jìn)行分析。利用運(yùn)籌學(xué)相關(guān)方法，畫出該生產(chǎn)計(jì)劃安排問題數(shù)學(xué)模型的可行域，如圖1所示。圖中[1]、[2]、[3]、[4]每條線為模型1中依次四個(gè)限制條件所對(duì)應(yīng)的直線方程，陰影部分為可行域，O點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)。從圖1中可以看出，該模型最優(yōu)解正好處于[1]、[2]、[3]三條直線的交點(diǎn)上。

圖1 原模型的可行域

現(xiàn)在將資源A增加一單位，即將第1個(gè)限制條件改為2x1+2x2≤13，改變后，模型的可行域如圖2所示，圖2中直線[1/]對(duì)應(yīng)修改后的限制條件1。從圖2中可以看出，雖然資源A增加一單位后，第1個(gè)限制條件對(duì)應(yīng)的直線向右上方發(fā)生移動(dòng)，但因第2、3個(gè)限制條件不變，因此模型的可行域并沒有增加，模型的最優(yōu)值也沒有改變，仍然位于O點(diǎn)。

圖2 資源A增加一單位后的可行域

如果在資源A增加一單位的基礎(chǔ)上，再將資源B也增加一單位，即將第2個(gè)限制條件改為x1+2x2≤9，模型的可行域如圖3所示，圖3中直線[2/]對(duì)應(yīng)修改后的限制條件2。從圖3中可以看出，資源A和B同時(shí)增加時(shí)使得模型的可行域增加，最優(yōu)值從O提高到O/點(diǎn)(此時(shí)最優(yōu)值為15.5)。

圖3 資源A、B都增加一單位后的可行域

現(xiàn)在考慮另一種改變方式：在原模型基礎(chǔ)上，將資源A減少一單位，即將第1個(gè)限制條件改為2x1+2x2≤11，改變后，按照上面的做法可以看出模型的可行域變小了，模型的最優(yōu)值也相應(yīng)的減小(此時(shí)最優(yōu)值為13.5)。而如果在原模型的基礎(chǔ)上僅將資源B增加一單位，即將第2個(gè)限制條件改為x1+2x2≤9，通過圖解法可以看出，模型的可行域變大了，相應(yīng)的最優(yōu)值也得到增加(此時(shí)最優(yōu)值為15)。另外，無論對(duì)資源D增加還是減少一單位，即無論第4個(gè)限制條件為4x2≤13還是4x2≤11，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值都不變。

上面這種最優(yōu)點(diǎn)位于多個(gè)(兩個(gè)以上)限制條件交匯處的情況在線性規(guī)劃中稱為退化。退化是指線性規(guī)劃問題通過單純形法求解時(shí)，最優(yōu)解的某個(gè)基變量為0的現(xiàn)象。可以證明，若原問題的解是退化解，則其對(duì)偶問題的解不唯一，也即造成了影子價(jià)格的非唯一性問題。反之，若原問題的解不是退化解，則上述問題不復(fù)存在。

四、影子價(jià)格非唯一性的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

影子價(jià)格最重要的用途是進(jìn)行決策和經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，因此研究影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)學(xué)特征，利用經(jīng)濟(jì)理論分析影子價(jià)格的非唯一性問題是很有現(xiàn)實(shí)意義的。綜合第三部分的圖形分析，可以得出以下結(jié)論：

(1)當(dāng)最優(yōu)值處于多個(gè)(多于兩個(gè))限制條件對(duì)應(yīng)直線的共同點(diǎn)時(shí)，這些限制條件對(duì)應(yīng)資源的影子價(jià)格是不唯一的。

(2)當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)，增加和減少某種資源的數(shù)量對(duì)最優(yōu)值的影響是不同的。

(3)各種影子價(jià)格不唯一的資源擁有量改變時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響效果是不同的，即有些資源單獨(dú)改變擁有量即可改變目標(biāo)函數(shù)，有些資源必須和其他資源共同變化才能對(duì)目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生影響。

(4)若某限制條件的對(duì)應(yīng)直線不經(jīng)過最優(yōu)點(diǎn)，則該限制條件對(duì)應(yīng)資源的影子價(jià)格為0。

利用生產(chǎn)要素需求的聯(lián)合性和替代性，來解釋影子價(jià)格非唯一性時(shí)產(chǎn)生的幾種情況。按照經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論，生產(chǎn)要素往往不單獨(dú)發(fā)生作用。由于生產(chǎn)技術(shù)的特性，生產(chǎn)要素在生產(chǎn)時(shí)的需求具有共同性，或者聯(lián)合性，即實(shí)際生產(chǎn)過程對(duì)多種生產(chǎn)要素的需求是共同的，相互依賴的。另外，生產(chǎn)要素之間又是可以相互替代的，其替代程度可以由生產(chǎn)要素的邊際技術(shù)替代率(MRTS)來表示。邊際技術(shù)替代率是指在技術(shù)水平不變的條件下，為維持同等的產(chǎn)量水平，放棄一定數(shù)量的某種投入要素而必須增加的另一種投入要素的數(shù)量。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以通過等產(chǎn)量線來研究不同要素之間的可替代關(guān)系，以兩種生產(chǎn)要素(分別記為L(zhǎng)、K)為例，其等產(chǎn)量線如圖4所示。

特殊的，當(dāng)邊際技術(shù)替代率為0時(shí)，兩種生產(chǎn)要素必須按照一定的比例組合在一起才能夠進(jìn)行生產(chǎn)，產(chǎn)量是由按照比例最少的生產(chǎn)要素所決定的。例如農(nóng)民鋤地時(shí)，勞動(dòng)力與鋤頭間的比例應(yīng)該是1∶1，如果有100把鋤頭，而只有50個(gè)勞動(dòng)力，則鋤地的數(shù)量是由50個(gè)勞動(dòng)力所決定的。圖5給出了這種情況下的等產(chǎn)量線，其中的L，K表示兩種不同的資源或生產(chǎn)要素。從圖5可以看出，這種情況下的等產(chǎn)量線是折線，產(chǎn)量由折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的要素?cái)?shù)量所決定。

圖4 生產(chǎn)要素可替代時(shí)的等產(chǎn)量線

圖5 生產(chǎn)要素固定比例的等產(chǎn)量線

在圖4和圖5中，當(dāng)兩種資源的數(shù)量為(L1,K1)時(shí)，產(chǎn)量為Q1。通過以下幾種情況來分析要素的聯(lián)合性及可替代性與影子價(jià)格的聯(lián)系。

情況1：資源L的擁有量為L(zhǎng)1保持不變，資源K由K1增加到K2。從圖4可以看出，由于資源的可替代性，雖然資源L保持不變，但產(chǎn)量仍然從Q1增加到Q2；而從圖5可以看出，由于兩種資源的邊際技術(shù)替代率為0，因此資源K的增加并沒有引起產(chǎn)量的增加。這種情況可以解釋為什么當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)，資源擁有量改變對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響效果是不同的。即當(dāng)資源的邊際技術(shù)替代率不為0時(shí)，單獨(dú)改變?cè)撡Y源的擁有量即可改變目標(biāo)函數(shù)，而當(dāng)邊際技術(shù)替代率為0時(shí)，單獨(dú)改變?cè)撡Y源的擁有量不能改變目標(biāo)函數(shù)。

情況2：資源L由L1增加到L2，同時(shí)資源K由K1增加到K2。從圖4和圖5可以看出，兩種情況下產(chǎn)量都有所增加。這說明，當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)，多種資源的共同變化能夠?qū)δ繕?biāo)函數(shù)產(chǎn)生影響。

情況3：資源L的擁有量保持不變，資源K由K1減少到K3。從圖5可以看出產(chǎn)量減少到Q3，結(jié)合情況1可以解釋，為什么當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)，增加和減少某種資源的數(shù)量對(duì)最優(yōu)值的影響是不同的。

通過上面的分析，得出了影子價(jià)格非唯一性的原因，以及當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)對(duì)經(jīng)濟(jì)分析產(chǎn)生哪些影響并給出了經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，下面通過實(shí)例說明當(dāng)影子價(jià)格不唯一時(shí)應(yīng)如何確定資源的影子價(jià)格。

五、影子價(jià)格的確定

在經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中，利潤(rùn)最大化問題的對(duì)偶問題是成本最小化，其對(duì)偶問題的最優(yōu)成本可以看做企業(yè)取得最大化利潤(rùn)的機(jī)會(huì)成本。在完全競(jìng)爭(zhēng)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，企業(yè)的利潤(rùn)應(yīng)該等于機(jī)會(huì)成本，這正好符合對(duì)偶問題的性質(zhì)：原問題與對(duì)偶問題的最優(yōu)值相等。因此，影子價(jià)格(對(duì)偶問題的解)的可以看做是在對(duì)偶問題的背景下研究如何使得資源利用的機(jī)會(huì)成本最小。

表2 資源改變量與目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系

表2同時(shí)給出了利用軟件LINGO11.0計(jì)算出的每次實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)的改變量ΔZ，從計(jì)算結(jié)果可以看出，p=ΔZ。由此看出，雖然對(duì)于退化問題而言，具體資源的影子價(jià)格失去了意義，然而針對(duì)資源組合而言，影子價(jià)格是唯一給定的，可以用來進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。例如在實(shí)驗(yàn)13中，將資源1、2、3看做一種資源組合，在現(xiàn)有資源量的基礎(chǔ)上，當(dāng)該種資源組合中的每種資源都減少0.4時(shí)，其資源組合影子價(jià)格為0.65，若市場(chǎng)收購這種組合資源，則企業(yè)能夠接受的價(jià)格應(yīng)大于等于0.65，否則企業(yè)應(yīng)保留該資源組合，用于自己生產(chǎn)。

六、結(jié)束語

通過具體實(shí)例，利用經(jīng)濟(jì)學(xué)相關(guān)理論，較為詳細(xì)地分析了影子價(jià)格非唯一性的相關(guān)問題，并得到以下兩個(gè)方面的結(jié)論：

(1)利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中生產(chǎn)要素的聯(lián)合性和替代性，可以合理解釋影子價(jià)格的非唯一性。

(2)當(dāng)影子價(jià)格非唯一時(shí)，在機(jī)會(huì)成本增加量最小的意義上，組合資源的影子價(jià)格是有效的。

參考文獻(xiàn)：

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