一類Roper-Suffridge算子的性質(zhì)

崔艷艷,王朝君

(周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,河南周口466001)

則稱f(z)是Ω上α次β型螺形映照;若取β=0,即為Ω上α次星形映照的定義。

則稱f(z)是Ω上α次殆β型螺形映照。若取β=0,即為Ω上α次殆星形映照的定義;取α=0,即為Ω上β型螺形映照的定義。若取α=β=0,即為Ω上星形映照的定義[2]。

α次強(qiáng)β型螺形映照是由馮淑霞和劉太順[1]引入的,本文將其推廣到有界星形圓型域上。

則稱f(z)是Ω上α次強(qiáng)β型螺形映照。若取β=0,即為Ω上α次強(qiáng)星形映照的定義。

則稱f(z)是Ω上強(qiáng)β型螺形映照。若取β=0,即為Ω上強(qiáng)星形映照的定義。

2008年,陳慧勇給出Cn中單位球Bn上的ρ次拋物星形映照[4]的定義,這里將其推廣到有界星形圓形域上。

定義5 設(shè)Ω,f同定義1。若ρ∈[0,1),

則稱f是Ω上ρ次拋物星形映照。當(dāng)ρ=0時,即為拋物星形映照。

經(jīng)計(jì)算可知,

由定義1知,F(z)是Ω上α次β型螺形映照,即

將式(1)代入上式并由引理1得

在定理1中分別令β=0,則得到相應(yīng)的α次星形映照的結(jié)論。

證 由定義2知,F(z)是Ω上α次殆β型螺形映照,即

將式(1)代入上式并由引理1得

類似定理1的證明可知,F(z)是Ω上α次殆β型螺形映照當(dāng)且僅當(dāng)f是D上的α次殆β型螺形映照。

在定理2中分別令α=0,β=0則得到相應(yīng)的β型螺形映照及α次殆星形映照的結(jié)論。

利用定義3,證明類似定理1的證明,這里省略。

令β=0則得到相應(yīng)的α次強(qiáng)星形映照的結(jié)論。

類似定理1并結(jié)合定義4及定義5有以下結(jié)論:

[1]Feng S X,Liu T S.The generalized Roper-Suffrideg extention operator[J].Acta,Math.Sci.,2008,28B(1):63-80.

[2]Gong S.Convex and Starlike Mappings in Seversl Complex Variables[M].[S.l.]:Kliwer Academic Publishers,1998.

[3]于琳.有關(guān)全純映照的兩類Roper-Suffridge算子[D].河南大學(xué)碩士論文,2010.

[4]陳慧勇.多復(fù)變函數(shù)的拋物星形映射[D].河南大學(xué)碩士論文,2008.

[5]Liu T S,Ren G B.The growth theorem for starlike mappings on bounded starlike circular domains[J].Chin.Ann.of Math.,1998,19B(4):401-408.