用泰勒級(jí)數(shù)展開法求解等量緯度反解問題的新方法

常國賓，歐陽永忠，李勝全，金際航，李 科

(海軍海洋測(cè)繪研究所，天津300061)

一、引 言

等量緯度是地圖投影理論中的一種重要輔助緯度，它是大地緯度的函數(shù)，在地圖制圖、大地測(cè)量和地球物理等領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛[1-6]。一般由大地緯度求解等量緯度的過程稱為等量緯度的正解問題，反之，則為反解問題。等量緯度的反解函數(shù)是復(fù)雜的隱函數(shù)，求解方法主要有迭代法和直接法，直接法便于采用和理論分析。在公開發(fā)表的文獻(xiàn)中，等量緯度反解問題的直接求解方法大致分為4種，分別為等量緯度的麥克勞林級(jí)數(shù)展開[6]、偏心率的麥克勞林級(jí)數(shù)展開[7-8]、拉格朗日級(jí)數(shù)展開[5，9]、埃爾米特插值法[10-13]，其中，用埃爾米特插值法得到的公式其精度為最高。泰勒級(jí)數(shù)是麥克勞林級(jí)數(shù)的廣義形式，麥克勞林級(jí)數(shù)是一種在初值為0處的特殊泰勒級(jí)數(shù)，當(dāng)要處理的值距離0較遠(yuǎn)時(shí)，麥克勞林級(jí)數(shù)存在收斂較慢的問題，而泰勒級(jí)數(shù)可以通過合理地選擇展開初值避免此問題。鑒于此，本文嘗試?yán)锰├占?jí)數(shù)展開法求解等量緯度的反解問題，其中展開初值的選取方法為：在假設(shè)偏心率為0的情況下，由等量緯度解析得到球心緯度作為大地緯度的初值，將球心緯度代入等量緯度的正解公式得到等量緯度初值。將等量緯度反解隱函數(shù)在等量緯度和大地緯度的初值處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開就可以得到等量緯度的反解公式，該公式為等量緯度和偏心率的函數(shù)。整個(gè)推導(dǎo)過程由強(qiáng)大的Mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)[10]完成，推導(dǎo)結(jié)果由計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)，無需人工推導(dǎo)和記憶，且可以根據(jù)精度和計(jì)算成本靈活選擇泰勒級(jí)數(shù)展開的階數(shù)。試算結(jié)果表明，該方法具有明顯的精度優(yōu)勢(shì)。

二、等量緯度正、反解問題

等量緯度與大地緯度之間的微分關(guān)系為

式中，q為等量緯度;B為大地緯度;e為第一偏心率。以B為積分變量，對(duì)上式進(jìn)行積分可以得到

特別的，當(dāng)e為0時(shí)，大地緯度B變?yōu)榍蛎婢暥圈?，則有

因此有

對(duì)上式進(jìn)行處理，即可以得到φ與B的關(guān)系式，一般為如下形式

式(3)和式(5)即為等量緯度正解展開公式，文獻(xiàn)[10]利用Mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)對(duì)上述系數(shù)進(jìn)行了推導(dǎo)，糾正之前人工推導(dǎo)的系數(shù)中存在的錯(cuò)誤。

假設(shè)等量緯度反解函數(shù)為如下形式

則有

華棠對(duì)式(6)在q=0(對(duì)應(yīng)的，B=0)處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(即麥克勞林級(jí)數(shù)展開)，并利用式(7)所示的關(guān)系，得到了實(shí)用的等量緯度反解公式。

邊少鋒等從新的角度對(duì)等量緯度反解公式進(jìn)行了研究，在文獻(xiàn)[10]中，首先根據(jù)三角級(jí)數(shù)回求公式確定式(6)的具體形式為

然后利用埃爾米特插值法確定式(9)中的各系數(shù)。

試算結(jié)果表明邊少鋒等推求的公式其精度優(yōu)于前人得到的公式。

三、用泰勒級(jí)數(shù)展開法求解等量緯度反解公式的新方法

麥克勞林級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)在初值為0處的特殊形式。如果所處理的值距離0較遠(yuǎn)，則麥克勞林級(jí)數(shù)收斂速度較慢，甚至可能發(fā)散。而如果合理地選擇初值，泰勒級(jí)數(shù)則具有較快的收斂速度，在相同的階數(shù)下，具有更高的函數(shù)近似精度。因此，相比傳統(tǒng)方法中對(duì)式(6)進(jìn)行麥克勞林級(jí)數(shù)展開，在合適的初值處對(duì)式(6)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，理論上可以得到更優(yōu)的結(jié)果。

對(duì)一函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，首先需要確定展開初值，在等量緯度反解問題中，也就是確定B和q的初值B0和q0。

令e=0，則根據(jù)式(1)可以得到

或者

將大地緯度初值代入式(5)，然后再代入式(3)則可以得到B0對(duì)應(yīng)的等量緯度初值q0，即

求式(6)在B0和q0處的各階導(dǎo)數(shù)值

對(duì)式(6)在B=B0、q=q0處進(jìn)行N階泰勒級(jí)數(shù)展開得

式(11)～式(15)即為由q求解B的過程，整個(gè)推導(dǎo)過程由Mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)自動(dòng)完成，推導(dǎo)結(jié)果由計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)，無需人工推導(dǎo)和記憶。公式為偏心率和等量緯度的函數(shù)，可以根據(jù)不同的參考橢球模型代入不同的偏心率，此外，還可以根據(jù)對(duì)精度和計(jì)算成本的不同要求選擇不同的階數(shù)N。

四、計(jì)算實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，對(duì)等量緯度正、反解試算，其中反解過程中分別采用文獻(xiàn)[10，12]的方法和本文的方法，以比較兩種方法精度。驗(yàn)證過程為：給定一大地緯度B，將B代入式(5)，然后再代入式(3)，得到q，然后分別將q代入式(8)、式(9)以及式(11)～式(15)得到 B1和B2，分別比較B1和B的差、B2和B的差。對(duì)幾種不同參考橢球的橢球參數(shù)進(jìn)行了試算，得到的結(jié)論是相同的，簡便起見，只列出 WGS-84橢球基本常數(shù) e=0．006 694 379 990 14的試算結(jié)果，如表1所示，其他參考橢球的試算結(jié)果不再贅述。

表1 WGS-84橢球等量緯度反解數(shù)據(jù)驗(yàn)證

由表1的試算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文方法在階數(shù)取到4時(shí)，其精度就已經(jīng)全面超越傳統(tǒng)方法的精度，當(dāng)階數(shù)取到5時(shí)，本文方法的精度幾乎在所有取值處都超過傳統(tǒng)方法一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。由階數(shù)取6和階數(shù)取7的試算結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)階數(shù)取到6以上時(shí)，其精度達(dá)到穩(wěn)定，計(jì)算機(jī)的舍入誤差超過泰勒級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差，成為主要部分，精度不再隨階數(shù)的增加而提高。

五、結(jié)束語

本文采用泰勒級(jí)數(shù)展開法對(duì)等量緯度反解問題進(jìn)行了新的研究，通過合理選擇展開初值，本文方法可以得到更為優(yōu)越的反解精度。本文方法具有如下幾個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)：一是推導(dǎo)過程由Mathematica計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)完成，推導(dǎo)結(jié)果由計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)，無需人工推導(dǎo)和記憶;二是推導(dǎo)的公式是偏心率的函數(shù)，可以靈活地應(yīng)用于不同的參考橢球模型;三是在選定偏心率時(shí)，公式是等量緯度的函數(shù)，可以直接將等量緯度代入，無需迭代;四是精度明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法;五是可以根據(jù)精度和計(jì)算成本的要求，靈活選擇泰勒級(jí)數(shù)展開的階數(shù)。本文方法還可以用于等面積緯度、等距離緯度等其他輔助緯度的反解問題，并可用于地圖投影等領(lǐng)域。

[1]SNYDER J．Map Projections-A Working Manual[M]．Washington DC：Government Printing Office，1987．

[2]YANG Q，SNYDER J，TOBLER W．Map Projection Transformation：Principles and Applications[M]．Florida：CRC Press，1999．

[3]BOWRING B．The Direct and Inverse Problems for Short Geodesic Lines on the Ellipsoid[J]．Surveying and Mapping，1981，41(2)：135-141．

[4]熊介．橢球大地測(cè)量學(xué)[M]．北京：解放軍出版社，1988．

[5]楊啟和．地圖投影變換原理與方法[M]．北京：解放軍出版社，1989．

[6]華棠．海圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]．北京：海潮出版社，1985．

[7]邊少鋒，紀(jì)兵．等距離緯度等量緯度和等面積緯度展開式[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36(2)：218-223．

[8]BIAN Shao Feng，CHEN Yong Bing．Solving an Inverse Problem of a Meridian Arc in terms of Computer Algebra System[J]．Journal of Surveying Engineering，2006，132(1)：153-155．

[9]王瑞，李厚樸．輔助緯度反解公式的拉格朗日級(jí)數(shù)法推演[J]．海洋測(cè)繪，2008，28(3)：18-23．

[10]邊少鋒，許江寧．計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與大地測(cè)量數(shù)學(xué)分析[M]．北京：國防工業(yè)出版社，2004．

[11]紀(jì)兵，邊少鋒．大地主題問題的非迭代新解[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36(3)：269-273．

[12]李厚樸，邊少鋒．等量緯度展開式的新解法[J]．海洋測(cè)繪，2007，27(4)：6-10．

[13]李厚樸，邊少鋒．輔助緯度反解公式的埃爾米特插值法新解[J]．武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2008，33(6)：623-626．