周期性納米結(jié)構(gòu)光散射分布的模擬仿真

趙　翔,高愛華,楊鵬飛,閆麗榮,王少剛

(西安工業(yè)大學(xué) 陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710021)

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周期性納米結(jié)構(gòu)光散射分布的模擬仿真

趙翔,高愛華,楊鵬飛,閆麗榮,王少剛

(西安工業(yè)大學(xué) 陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710021)

摘要：為得到離子束刻蝕藍(lán)寶石所形成的周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)光散射分布特性,采用有限元法多物理場建模與分析,運(yùn)用射頻模塊,結(jié)合麥克斯韋電磁波理論,引用弗洛奎特周期性邊界和端口激發(fā)條件,對一維周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)的光散射場進(jìn)行數(shù)值分析.研究結(jié)果表明：一維周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)TE與TM波光散射場分布呈周期性；隨入射角不斷增大,散射場分布沿縱軸呈凸?fàn)钪饾u增強(qiáng),入射角達(dá)到π/5時(shí),TE波呈圓斑狀周期分布,TM波呈斜條紋狀周期性分布;經(jīng)過后處理可得同一入射角下不同級(jí)反射系數(shù)之和為定值.

關(guān)鍵詞：周期性納米結(jié)構(gòu)；電磁理論；散射場；反射系數(shù)

近年來,以藍(lán)寶石為光學(xué)材料的研究備受人們關(guān)注.由于這種材料抗沖擊、硬度高,通過離子束刻蝕技術(shù)在其表面形成周期性納米結(jié)構(gòu)后,可改善材料透過率和散射特性,因此在納米電學(xué)、光電子學(xué)、光、電、磁功能器件方面有著巨大的應(yīng)用前景[1].散射計(jì)算方法是光散射分布的研究依據(jù),目前散射問題計(jì)算方法主要有T矩陣法、時(shí)域有限差分法、離散偶極子近似、矩量法和有限元法.文獻(xiàn)[2]利用T矩陣法求解散射場值,其表達(dá)式簡單,只與散射粒子的形狀、大小、折射率及在坐標(biāo)系中的位置有關(guān),但更適合于顆粒狀結(jié)構(gòu)分析；文獻(xiàn)[3]基于時(shí)域有限差分法對金屬體散射、均勻介質(zhì)體散射和非均勻介質(zhì)體散射的電場進(jìn)行計(jì)算,精確度較差；文獻(xiàn)[4]運(yùn)用離散偶極子近似主要對不規(guī)則形狀的散射體的散射場的計(jì)算,只針對一些典型凝聚粒子的散射問題且精度不高；文獻(xiàn)[5]采用的矩量法雖然精度最高、無需另設(shè)邊界條件,但要面對繁難的積分方程；文獻(xiàn)[6]主要講述有限元法,其優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)施容易,精確度高于時(shí)域有限元差分法.

目前,周期性納米結(jié)構(gòu)主要有點(diǎn)狀和條紋狀兩類.本文主要針對一維周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu),采用有限元法,基于多物理場仿真軟件,運(yùn)用射頻(Radio Frequency,RF)模塊,以麥克斯韋電磁波理論為基礎(chǔ),引用弗洛奎特周期性邊界和端口激發(fā)條件,對以藍(lán)寶石為基底的理想一維周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)光散射分布進(jìn)行模擬仿真,并研究其光散射分布特性,運(yùn)用此非接觸式和非破壞性方法可避免傳統(tǒng)分析的局限性和缺點(diǎn).

1麥克斯韋方程的RF電磁理論

本文基于建模環(huán)境中RF(射頻)模塊對周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真.該模塊用于電磁波領(lǐng)域內(nèi)求解電磁問題,其中包括對散射電磁場的求解.從宏觀角度看,電磁學(xué)分析問題是一個(gè)對邊界條件已確定的麥克斯韋方程組的求解問題[7],由于仿真軟件基于有限元法,而有限元法易于處理微分方程,所以對時(shí)變電磁場麥克斯韋方程可寫成以下微分形式[8],表達(dá)式如下：

(1)

式中：E為電場強(qiáng)度;D為電通量密度(電位移矢量);H為磁場強(qiáng)度;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度；ρ為電荷密度;J為電流密度.方程式(1)中分別為適用于該結(jié)構(gòu)的麥克斯韋安培定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、高斯定理電磁表達(dá)形式和電場表達(dá)形式,前兩個(gè)方程揭示了電流、電場和磁場相互激勵(lì)的性質(zhì)；是旋度求解符號(hào),主要表示電磁場中的空間位置變化；對時(shí)間t求導(dǎo)的過程表示時(shí)域的變化；?D/?t表示位移電流密度.

高頻率的波,可以由麥克斯韋-安培定理和法拉第定律得到[9],表達(dá)式為

(2)

文中以離子束刻蝕藍(lán)寶石形成的周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)作為研究對象.藍(lán)寶石是一種線性材料,各向同性,所以可結(jié)合物質(zhì)方程,D=εE,J=σE,B=μH[7],變?yōu)?/p>

(3)

式中：σ為電導(dǎo)率；ε為介電常數(shù)；μ磁導(dǎo)率；分別針對電場和磁場對式(3)兩邊進(jìn)行旋度求解得到

(4)

(5)

由于本文的電磁場求解域?yàn)轭l域,所以默認(rèn)矢量場為空間變量,將場表示成時(shí)諧形式,表達(dá)式為

(6)

其中,eiw t和ejw t是用來代替時(shí)間變量的指數(shù)函數(shù),w為角頻率,這意味著通過一個(gè)因子iw、jw來替代對時(shí)間的求導(dǎo),這樣可以將方程表示為相位矢量函數(shù),更有利于分析計(jì)算.通過麥克斯韋-安培定理和法拉第定律聯(lián)立式將式(6)代入式(4)～(5)中,經(jīng)過分析推導(dǎo)得到

(7)

(8)

式(8)描述了電場或磁場的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)也可以通過將式(8)作為數(shù)學(xué)模型設(shè)定散射場參數(shù),從而定義模型并對散射電場或磁場進(jìn)行計(jì)算,最后得到散射場的分布狀況,并研究其分布規(guī)律.

2周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)模型

文中研究一束平面電磁波入射周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)表面的散射場分布.周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)幾何模型,如圖1所示.

圖1　周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)

通過圖1(a)可看出,周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)與所熟知的光柵非常相似,圖1(b)是結(jié)構(gòu)剖面圖,可看出結(jié)構(gòu)的特征尺寸,但光柵的特征尺寸較大,一般都大于波長,而隨著微加工技術(shù)的不斷發(fā)展,光柵的特征尺寸越來越小,目前已經(jīng)可以達(dá)到亞波長量級(jí),即光柵的特征尺寸與波長近似或小于波長.文獻(xiàn)[10]對金屬線光柵的一維空間散射進(jìn)行了模擬仿真得到散射場的分布圖.本文的周期性納米結(jié)構(gòu)與金屬線光柵近似,所以根據(jù)一維金屬線光柵空間散射的研究過程可以對一維周期性納米結(jié)構(gòu)空間光散射場分布進(jìn)行一定的指導(dǎo),確保研究的正確性.

兩平行折射與反射光的幾何路徑如圖2所示.當(dāng)兩束光入射結(jié)構(gòu)表面會(huì)發(fā)生相應(yīng)的折射現(xiàn)象,如圖2(a)所示.圖2(a)中,光入射到兩相鄰單元路徑發(fā)生衍射的條件是兩光學(xué)路徑之差等于真空波長的整數(shù)倍[10],其中m=0,±1,±2,…,真空波長是λ0,βm是m級(jí)衍射角,α是入射角,nα、nβ是上下空間折射率,關(guān)系式為

mλ0=d(sinβm-nαsinα)

(9)

當(dāng)m=0時(shí),符合折射定律sinβ0=(nα/nβ)sinα.由于正弦函數(shù)的值是在-1和+1之間變化,所以其最高衍射級(jí)滿足-(nα+nβ)

(10)

圖2　兩平行折射與反射光的幾何路徑

若模型中涉及的波長比參數(shù)d足夠小,將會(huì)呈現(xiàn)多級(jí)衍射級(jí),為了減少衍射級(jí)利于圖像分析,需要對波長進(jìn)行一定的限制.

如圖2(b)所示,光入射到相鄰單元的兩種路徑發(fā)生衍射的條件為

mλ0=dnα(sinαm-sinα)

(11)

其中αm為m級(jí)衍射角.當(dāng)衍射角m=0時(shí),符合反射定律sinα0=sinα.這一模型不發(fā)生衍射的條件[10]為

(12)

文中nα=1(空氣),nβ=1.765(藍(lán)寶石基底),結(jié)構(gòu)周期在100nm及以上(將周期定在400nm).經(jīng)過以上分析計(jì)算,真空波長的值至少應(yīng)大于553nm,根據(jù)文獻(xiàn)資料及其他參數(shù)值情況,模型中波長定為λ0=589nm.

3軟件仿真

運(yùn)用軟件中RF射頻模塊對一維周期性納米結(jié)構(gòu)散射分布進(jìn)行仿真,實(shí)際使用port激發(fā)進(jìn)行2D結(jié)構(gòu)的仿真.這種仿真基于有限元法將連續(xù)的求解域離散為多個(gè)互不重疊的單元,將待求的未知量用每一個(gè)單元假設(shè)的近似函數(shù)進(jìn)行組合并求解[11].仿真過程為理論分析、構(gòu)建幾何模型、參數(shù)設(shè)定、邊界條件設(shè)定、網(wǎng)格劃分、求解、后處理及總結(jié)[12].

3.1構(gòu)建幾何模型

通過圖1(a)直觀描述,在仿真中一維周期性結(jié)構(gòu)對RF模塊進(jìn)行2D仿真,模型如圖3所示(半徑為80nm,周期為400nm).

圖3　一維周期性結(jié)構(gòu)2D仿真模型

3.2參數(shù)設(shè)定

參數(shù)設(shè)定分為全局參數(shù)、幾何參數(shù)和材料參數(shù).全局參數(shù)如圖2(b)所示,周期性納米結(jié)構(gòu)的周期為d=400nm；波長為589nm；波頻率表達(dá)式為c/λ0(真空波速與真空波長比值),值為5.0899E14(1/s)；入射角α設(shè)為00,這是由于其被指定為一個(gè)參數(shù)易在參數(shù)求解器中計(jì)算；折射角表達(dá)式為arcsin(nα*sinα/nβ).2D模型的幾何參數(shù)為寬度10*d,高度3*d,半徑d/5.材料設(shè)定方面,為計(jì)算方便將其分為空氣、基底(藍(lán)寶石)和凸起的周期性結(jié)構(gòu)三個(gè)域.由于所研究對象定義為理想狀態(tài),材料在不同的方向所測得的性能數(shù)值完全相同亦稱均質(zhì)性,物理性質(zhì)不隨方向發(fā)生變化,所以各向同性.通過晶體材料光學(xué)參數(shù)查詢可得相對磁導(dǎo)率0.000 9H·m-1,電導(dǎo)率0.099S·m-1,相對介電常數(shù)3.125 8,折射率1.765,折射率虛部0.055.

3.3邊界條件設(shè)定

首先對各個(gè)域的頻率電磁波方程進(jìn)行設(shè)定,通過式(8)可知,空氣與基底的頻域波方程為εrE=0.在空氣和基底這兩個(gè)域的電位移場引入折射率εr=(n-ik)2,則σ=0和μr=1對于凸起的周期性結(jié)構(gòu)的頻域波方程為(εr-jσ/wε0)E=0.在這個(gè)域中電位移場引入介電損耗,那么εr=ε′-jε″.為使問題規(guī)模極小化,本模型將引入兩個(gè)有效的邊界條件：周期性邊界條件和端口激發(fā)條件.

建立一個(gè)單元結(jié)構(gòu),引入弗洛奎特周期性邊界來描述周期性.該條件下的解決方案是單元一邊界等于相對應(yīng)的另一邊界乘以一個(gè)復(fù)數(shù)相位因子.邊界之間的相移來自波矢量的垂直分量,且由于是連續(xù)的場,所以相位因子對折射、反射、入射波是相同的.周期性條件設(shè)定的方程[12]為

(13)

端口條件均用于指定的入射波,為了獲得更完美的端口邊界,圖3的6個(gè)端口(最外邊的六個(gè)邊界)中每個(gè)端口的每個(gè)模式(m=0,m=-1,m=1)都應(yīng)被表達(dá).端口的類型是周期性,利用端口波激勵(lì)給端口輸入功率1,對輸入量歸一化.然后給每個(gè)周期的端口輸入的振幅矢量以及入射角.每個(gè)周期的入射角被定義為

k×n=ksinαz

(14)

式中:n為入射波的法向量；k為入射波的傳播矢；k為波數(shù)；z為z方向的單位矢量.通過軟件自動(dòng)創(chuàng)建端口的衍射級(jí),提供端口邊界的折射率和最大頻率(本模型使用單一頻率).

3.4網(wǎng)格劃分

劃分網(wǎng)格是建立有限元模型的重要環(huán)節(jié),為更好地反映數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,需采用比較密集的網(wǎng)格.本模型選用特別細(xì)化的自由剖分三角形網(wǎng)格,最大單元尺寸為4.8×10-8m,最小為1.8×10-10m,最大單元生長率為1.2,曲率解析度為0.25,狹窄區(qū)域解析度為1.

3.5求解得到的圖像

求解中頻率為f0(參數(shù)定義中已設(shè)定),入射角參數(shù)掃描開始是0,停止是pi/2～pi/40,步長為pi/40.由于結(jié)性能取決于入射波極化,所以需考慮TE與TM波,結(jié)果如圖4～5所示.分別選取6個(gè)典型入射角0°,π/5,π/4,3π/10,2π/5和約π/2,并對其散射電場進(jìn)行求解.通過散射電場分布圖可以看出,TE波與TM波分布有所不同,入射角接近π/5,TE波沿橫軸呈圓斑狀周期分布,TM波沿橫軸呈斜條紋狀周期分布,但是入射角接近00或π/2,兩波散射場分布都是沿縱軸呈凸?fàn)钪饾u增強(qiáng).

3.6仿真結(jié)果后處理

仿真結(jié)果后處理如圖6所示.圖6中R0、R-1和R1分別是0,-1和1級(jí)的反射系數(shù)[9].由圖6可以看出,隨著入射角度的不斷增加,TE與TM波的R0反射系數(shù)有較為明顯的變化；R-1反射系數(shù)在入射角小于30°時(shí)變化不明顯,但30°之后有明顯變化；R1反射系數(shù)在整個(gè)入射角不斷增加的過程中幾乎沒有顯著變化；且同一入射角下不同級(jí)反射系數(shù)之和為定值,近似為1.

圖4　入射角分別為0°,π/5,π/4,3π/10,2π/5和約π/2的TE波電場分布

圖5　入射角分別為0°,π/5,π/4,3π/10,2π/5和約π/2的TM波電場分布

圖6　反射系數(shù)

4結(jié) 論

1) 當(dāng)入射角接近π/5,散射場TE波沿橫軸呈圓斑狀周期分布,TM波沿橫軸呈斜條紋狀周期分布；當(dāng)入射角接近0° 或π/2,TE波與TM波的散射場分布都是沿縱軸呈凸?fàn)钪饾u增強(qiáng).

2) 隨著入射角的不斷增加,TE與TM波反射系數(shù)發(fā)生一定的變化.當(dāng)入射角較小、幾乎垂直入射時(shí),反射系數(shù)變化單一；入射角在20°～40° 范圍內(nèi),反射系數(shù)變化相對比較復(fù)雜；當(dāng)入射角達(dá)到π/5 時(shí),R0凸起,此時(shí)鏡面反射增強(qiáng),說明π/5角入射該結(jié)構(gòu)時(shí),介電損耗相對較??；隨入射角的不斷增大,TE、TM波R0反射系數(shù)變化趨勢相反,R1反射系數(shù)的變化比較平穩(wěn),R-1反射系數(shù)的變化趨勢相似；同一入射角下不同級(jí)反射系數(shù)之和始終為定值.實(shí)際過程中周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)包含半圓形、三角形和矩形等,不同形狀建立的幾何模型輸入的幾何參數(shù)不同,散射分布也會(huì)存在一定差異,因此該結(jié)論適用于半圓形周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)的研究.

3) 研究的結(jié)果可為實(shí)際中周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu)的缺陷檢測提供理論依據(jù)與參考,可在此基礎(chǔ)上改變?yōu)椴煌螤畹囊痪S周期性條紋狀納米結(jié)構(gòu),分析其空間光散射場分布,增加研究意義與價(jià)值.

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(責(zé)任編輯、校對張立新)

Simulation of the Light Scattering Distribution of Dimensional Periodic Nanostructures

ZHAOXiang,GAOAihua,YANGPengfei,YANLirong,WANGShaogang

(Shaanxi Province Key Lab of Thin Films Technology and Optical Test,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China )

Abstract:To get light scattering distribution of the periodic striped nanostructure in sapphire etched by ion beam,the light scattering field of one-dimensional periodic striped nanostructure is numerical analyzed,adopting finite element modeling and analysis for physical fields,and using the radio frequency module,the theory of maxwell electromagnetic waves and floquet periodicity and port excitation conditions.The results show:The distribution of scattering field of transverse magnesic (TE) and transverse electric (TM) wave of one-dimensional periodic striped nanostructure is periodic.With the increase of incidence angle,the light scattering field distribution along the longitudinal axis is gradually strengthen in convex shape;While the incident angle reaches π/5,TE wave is periodic distribution in round porphyritic cycle and TM wave in inclined stripe shape.After post-processing ,in the same angle of incidence,the sum of reflection coefficients at different levels has the fixed value.

Key words:periodic nanostructures;electromagnetic theory;scattering field;reflection coefficient

DOI:10.16185/j.jxatu.edu.cn.2016.04.003

收稿日期：2015-11-10

基金資助：陜西省工業(yè)科技攻關(guān)項(xiàng)目(2015GY048);總裝基金項(xiàng)目(9140A18020214BQ52001)

作者簡介：趙翔(1991-),女,西安工業(yè)大學(xué)碩士研究生.通訊作者：高愛華(1967-),女,西安工業(yè)大學(xué)教授,主要研究方向?yàn)楣怆姕y試技術(shù)及信號(hào)處理.E-mail:freegah@126.com.

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:中圖號(hào)：N34A

文章編號(hào)：1673-9965(2016)04-0270-07