高溫后混凝土斷裂韌度及軟化本構(gòu)曲線確定

陸洲導，俞可權(quán)

（同濟大學 土木工程學院，上海200092）

1976年Hillerborg提出了虛擬裂縫模型.該模型認為可將混凝土裂縫端部的斷裂過程區(qū)（FPZ）視為一虛擬的、可傳遞應力的裂縫，縫上各點傳遞應力的大小根據(jù)該點變形值而定，混凝土表現(xiàn)出相應軟化特性.在Hillerborg研究基礎上，混凝土非線性斷裂力學取得了迅速的發(fā)展，許多反映裂縫擴展以及斷裂過程區(qū)的模型也相繼建立起來.混凝土軟化本構(gòu)曲線描述了裂縫斷裂過程區(qū)的特性，是非線性斷裂模型的基礎.國內(nèi)外學者對常溫下混凝土軟化本構(gòu)曲線已經(jīng)進行了廣泛的研究，Petersson［1］首先提出雙線性軟化本構(gòu)關系，CEB－FIP Model Code 1990［2］，Xu S L［3］根據(jù)大量試驗研究，提出相應的修正雙線性軟化本構(gòu).Shap［4］，Reinhatdt［5］提出了相應的曲線型軟化本構(gòu)模型.

目前，高溫后混凝土斷裂性能的研究多集中于材料斷裂能方面［6－8］，對斷裂韌度的研究開展相對較少［9－10］，且在研究中仍采用線彈性斷裂力學（LEFM），未考慮裂縫的亞臨界擴展，其計算結(jié)果值得商榷.而高溫后混凝土材料的軟化特性至今鮮有相關文獻，軟化本構(gòu)的確定以及是否可由常溫下混凝土軟化曲線推斷出高溫后混凝土軟化本構(gòu)曲線等問題，將是本文重點研究的方向.

本文采用雙K斷裂模型，研究高溫后混凝土斷裂性能，確定混凝土在各溫度下的開裂韌度KIc，ini和失穩(wěn)韌度KIc，un.基于虛擬裂縫黏聚力的解析表達及黏聚韌度KIc，c、起裂韌度KIc，ini與 失 穩(wěn) 韌 度KIc，un三者間的定量關系，采用雙線性軟化本構(gòu)曲線形式，引入直接影響軟化曲線形狀的參量λ，調(diào)整參量，確定各溫度下合適的混凝土材料軟化曲線表達形式.

1 斷裂韌度解析表達式

1.1 臨界有效裂縫長度

對于高溫后混凝土試件，仍然根據(jù)線彈性漸進疊加假定，非線性的斷裂過程可簡化為一系列的線性疊加過程.當外荷載達到最大值Pmax時，裂縫張開口位移δ也達到最大，裂縫長度從預制長度a0發(fā)展到臨界有效裂縫ac.從實測的P—δ曲線上讀取Pmax和臨界裂縫張開口位移δc，可得如下臨界有效裂縫長度［11］：

式中：ac為臨界有效裂縫長度；h為楔入劈拉試件高度；h0為裂縫張口處刀口厚度；t為試件厚度；δc為高溫后試件臨界裂縫張開口位移；E為彈性模量；Pmax為峰值荷載.

1.2 失穩(wěn)韌度計算

根據(jù)線彈性漸進疊加假定，失穩(wěn)斷裂韌度的計算仍可采用線彈性斷裂力學中的公式.由試驗測得的Pmax和計算得到的ac，可得失穩(wěn)韌度［11］

式中：KIc，un為失穩(wěn)韌度；f（α）具體參見文獻［11］.

1.3 起裂韌度計算

在混凝土試件的外加荷載達到起裂荷載Pini時，結(jié)構(gòu)性能仍在線彈性范圍內(nèi)，起裂荷載計算就可選用線彈性斷裂力學公式，具體表示為［11］

式中KIc，ini為起裂韌度.

1.4 臨界黏聚韌度計算

在裂縫臨界狀態(tài)前（a≤ac）虛擬斷裂區(qū)內(nèi)由裂縫前端黏結(jié)力所引起的黏結(jié)應力強度因子KIc，c可采用下式計算［12］：

裂縫失穩(wěn)前，黏聚力近似呈線性分布，如圖1所示，其黏聚力表達式如下：

式中：a0≤x≤ac；σ（μc）為臨界狀態(tài)下預制縫端（x＝a0）的黏聚力.

由于積分邊界存在奇異性，式（4）積分很難得到閉合解，故在本文中采用如下量綱一化簡化計算公式［13］：

式中：Pe及分別為作用在單位厚度板上黏結(jié)應力σ（x）的等效荷載及其量綱一化形式（圖2）；xe為等效裂縫長度；xe／ac＝Ue；a0／h＝V0；ac／h＝V；各參數(shù)具體計算公式參照文獻［11］；Z（Ue，V0／V）可采用經(jīng)驗公式計算，具體參見文獻［13］；F（Ue，V）參照文獻［10］計算.

1.5 起裂韌度、失穩(wěn)韌度和黏聚韌度的定量關系

根據(jù)雙K斷裂韌度理論，起裂韌度KIc，ini，失穩(wěn)韌度KIc，un和黏聚韌度KIc，c三者之間的定量關系為［11］

本文將由式（7）得到的計算失穩(wěn)韌度（記為KIc，un.E）與實測失穩(wěn)韌度值（記為KIc，un.S）比較，采用合適的混凝土 軟化曲 線，使得KIc，un.E與KIc，un.S最為接近，以此確定混凝土最優(yōu)軟化本構(gòu)曲線.

2 高溫后混凝土軟化本構(gòu)曲線形式

對于混凝土類半脆性材料，斷裂過程區(qū)外材料呈線彈性，斷裂過程區(qū)內(nèi)材料發(fā)生軟化.黏聚韌度由作用于斷裂過程區(qū)上的黏聚力產(chǎn)生，因而軟化曲線

的變化將影響?zhàn)ぞ垌g度的大小，根據(jù)式（7），使得高溫后KIc，un.E與KIc，un.S最為接近可以確定各溫度下的最佳軟化曲線.

根據(jù)直接拉伸試驗，許多研究者提出了常溫下不同形式的混凝土軟化本構(gòu)曲線（σ—w）表達式，包括線性與非線性軟化本構(gòu)曲線.為了準確與簡便，本文仍采用常溫下雙線性軟化本構(gòu)曲線作為高溫后軟化本構(gòu)關系，計算高溫后混凝土黏聚韌度KIc，c.

圖3為混凝土雙線性軟化曲線示意圖，圖中w為裂縫張開寬度，σ為黏聚力，ft為混凝土抗拉強度，w0是黏聚力為零處的裂縫張開寬度.（ws，σs）為其拐點坐標，雙線性軟化本構(gòu)曲線的表達式如下：

圖3 混凝土雙線性軟化本構(gòu)曲線Fig.3 The bilinear softening traction－separation law

式中，ws，σs，w0的取值不同，雙線性軟化本構(gòu)曲線的形狀就不相同.經(jīng)典的雙線性軟化曲線如Petersson雙線性軟化曲線［1］和歐洲規(guī)范CEB－FIP Model Code 1990的雙線性曲線［2］.在這些曲線中都將常溫下σs定義為某一固定值（分別為常溫下ft／3和0.15ft），這對常溫下混凝土具有較好的吻合性，但對于經(jīng)受高溫作用的混凝土，其影響因素較多，所以本文采用徐世烺和H.W.Reinhart［3］提出的修正混凝土軟化本構(gòu)曲線形式，該公式中σs與ft，μc，GF及混凝土最大骨料粒徑dmax有關

其中，αF不但與dmax有關，并且和λ有關.λ是與混凝土變形性能有關的參數(shù)，它與混凝土強度等級和其他因素有關，通常取為5～10.如圖4所示，隨著λ的取值不同，σs和w0就不相同，軟化本構(gòu)曲線的形狀將隨之變化，從而使得計算失穩(wěn)韌度值KIc，un.E在與實測失穩(wěn)韌度值KIc，un.S相吻合方面具有很大的靈活性和優(yōu)勢.結(jié)合本次高溫后混凝土楔入劈拉法試驗，按照式（1）—（7），采用不用軟化本構(gòu)曲線形狀可得到失穩(wěn)韌度 的 解 析 值KIc，un.E，將其與實測值KIc，un.S對比，若兩者相符，則所取用的參數(shù)λ是合理的，它所對應的即為該溫度下混凝土軟化本構(gòu)曲線.

圖4 雙線性軟化本構(gòu)曲線隨λ 變化圖Fig.4 The bilinear softening traction－separation law changed withλ

3 高溫后混凝土斷裂韌度試驗研究

3.1 試驗概況

采用楔入劈拉法試驗研究高溫后混凝土斷裂性能，試件尺寸統(tǒng)一采用230 mm×200 mm×200 mm，預制開口裂縫高80mm，厚3mm，試件形式詳見圖5（圖中b＝200mm，d＝65mm，h＝200mm，f＝30mm，a0＝80 mm，θ＝15°）.試件混凝土水泥、砂、石子、水質(zhì)量配合比為1∶3.44∶4.39∶0.8，粗骨料最大粒徑為16mm，混凝土標號為C30.每個試件內(nèi)均插有熱電偶以便后期溫度控制，試件自然灑水養(yǎng)護60d.每組溫度下均設有5個試塊.試驗采用300mm×300mm×900 mm 的電爐對混凝土試塊進行加熱，歷經(jīng)65，120，200，300，350，400，450，500和600 ℃高溫.

圖5 試件幾何形式Fig.5 The geometry of specimens

圖6描述了各溫度下試件的極限荷載Pmax和開口位移δc之間的關系，隨著溫度的上升，極限荷載持續(xù)下降，而開口位移則明顯增加，試件表現(xiàn)出明顯的延性，高溫后混凝土軟化特性與常溫相似，但需作相應修正.

3.2 起裂韌度及實測失穩(wěn)韌度的計算

起裂韌度KIc，ini和實測失穩(wěn)韌度KIc，un分別按照式（2），（3）計算，在P—δ曲線上將相應荷載及開口位移代入公式，相關計算結(jié)果見表1（限于篇幅，只列出部分溫度下的試驗結(jié)果）.本次試驗沒有直接測定混凝土高溫后抗拉強度，各溫度下抗拉強度計算公式參照文獻［14］，其中常溫下抗拉強度與抗壓強度按ft＝0.4983fc1／2確定.

圖6 各溫度下典型試件的P—δ 曲線Fig.6 P－δcurves of specimens with temperatures

表1 起裂韌度、失穩(wěn)韌度及相關參數(shù)的試驗結(jié)果Tab.1 The calculated results of initial fracture toughness，unstable fracture toughness and the related parameters

3.3 各溫度下黏聚韌度及軟化曲線的確定

表2為不同軟化本構(gòu)曲線形狀得到的失穩(wěn)韌度的解析解KIc，un.E、實測值KIc，un.S及二者差的平方和.在計算KIc，un.E時，軟化本構(gòu)曲線按照式（9），常溫下混凝土通常取λ＝5～10，文獻［15］得出常溫下C30混凝土λ＝8時，軟化曲線最為合適.考慮到高溫后混凝土延性增加，λ應相應提高.本文研究中，取λ＝7～12.

由表2得出常溫下混凝土材料，當λ＝8時，各試件的KIc，un.E，KIc，un.S差的平方和最小，根據(jù)最小二乘法原理，即KIc，un.E，KIc，un.S最 接 近，這 與 文 獻［15］得出的結(jié)論一致.溫度在65～120℃，λ＝12時各試件的KIc，un.E，KIc，un.S差 的 平 方 和 最 小，但λ＝10，11時各試件的KIc，un.E，KIc，un.S差的平方和與其很接近，說明在該溫度下λ＝10～12的軟化曲線均可以較為真實地反映混凝土材性.在溫度進一步升高至500℃時，當λ＝12 時，各 試 件 的KIc，un.E，KIc，un.S差 的 平方和最小，其軟化曲線較為接近高溫后混凝土的真實材性.隨著溫度的升高，λ在不斷增大，虛擬裂縫應力為零處所對應的開口位移也隨之增大，表明在該升溫過程中，混凝土的延性或者抵抗裂縫開裂的能力是在不斷增強的.

表2 計算失穩(wěn)韌度與實測失穩(wěn)韌度比較Tab.2 The comparison between KIc，un.Sand KIc，un.E

但當溫度進一步升高至600 ℃時，采用式（9）計算σs（T＝600 ℃）將得到負值，裂縫尖端位移在達到臨界值μc 前，尖端應力已經(jīng)為零.此時，雙線性軟化曲線簡化為單線性軟化曲線，λ的變化對軟化曲線已無作用，應力為零處開口位移w0＝2GF／ft，并根據(jù)式（10）得出應力為零處距刀口長度x［16］，繼而積分得到該溫度下黏聚韌度KIc，c及失穩(wěn)韌度計算值KIc，un.E.

當混凝土軟化曲線由雙線性變?yōu)閱尉€性時，虛擬裂縫應力為零處所對應的開口位移只有w0＝2GF／ft，反映出在受到高溫作用后，混凝土本身的損傷增加，延性或是抵抗裂縫的能力變差.

并且，由表2 可知，除個別構(gòu)件在各溫度下KIc，un.S與KIc，un.E相差約在20%～30%外，大部分構(gòu)件差別均在10%以內(nèi).所以當取λ＝7～12，采用式（9）的軟化曲線形式能夠較好地反映高溫后混凝土的軟化特性，其計算結(jié)果可以滿足工程精度要求.

當然限于試驗條件，本文研究的最高溫度為600℃，經(jīng)受600 ℃以上溫度的混凝土是否符合本文結(jié)論，仍需進一步論證.

4 結(jié)論

本文沿用常溫下混凝土雙線性軟化本構(gòu)曲線，研究高溫后混凝土材料軟化特性，引入一個反映混凝土變形性能的參數(shù)λ，結(jié)合雙K斷裂模型中起裂韌度KIc，ini、失穩(wěn) 韌 度KIc，un和 黏 聚 韌 度KIc，c三 者 之間的定量關系，通過調(diào)整參數(shù)λ，得到高溫后混凝土合適的軟化本構(gòu)曲線.

研究表明采用公式（9）的軟化曲線形式，并取用合適的λ值，由常溫下混凝土材料試驗得到的軟化本構(gòu)曲線能夠較好地反映高溫后混凝土的軟化特性.

調(diào)整參數(shù)λ時，使得各溫度下試件的計算失穩(wěn)韌度KIc，un.E、實測失穩(wěn)韌度KIc，un.S差的平方和最小，從而確定各溫度下混凝土軟化本構(gòu)曲線.常溫下取λ＝8時，KIc，un.E，KIc，un.S最接近，這與文獻［15］得出的結(jié)論一致.當溫度在65℃和120℃時，取λ＝10～12時，KIc，un.E，KIc，un.S均相當接近，表明在此溫 度下，取λ＝10～12均能反映高溫后混凝土軟化特性.當溫度繼續(xù)上升至500 ℃時，λ需取為12.在此過程中，可以發(fā)現(xiàn)，隨著溫度的升高，λ在不斷增大，虛擬裂縫應力為零處所對應的開口位移也隨之增大，表明在該升溫過程中，混凝土的延性或者抵抗裂縫開裂的能力是在不斷增強的.

當溫度進一步升高至600 ℃時，采用公式（9）計算σs將得到負值，此時雙線性軟化曲線簡化為單線性軟化曲線，虛擬裂縫應力為零處所對應的開口位移下降，反映出在受到高溫作用后，混凝土本身的損傷增加，延性或是抵抗裂縫的能力變差.

［1］ Petersson P E.Crack growth and development of fracture zones in plain concrete and similar materials［R］.Lund：Division of Building Materials，Lund Institute of Technology，1981.

［2］ Comite Euro－international du Beton.No.213／214，CEB－FIP model code 1990，Lausanne：Bulletin D’Information，1993.

［3］ Xu S L，Reinhardt H W.Determination of double－K criterion for crack propagation in quasi－brittle fracture，part II：analytical evaluating and practical measuring methods for threepoint bending notched beam［J］.International Journal of Fracture，1999，98：151－177.

［4］ Gopalaratnam V S，Shah S P.Softening response of plain concrete in direct tension［J］.ACI Journal，1985，82：310.

［5］ Reinhart H W，Cornelissen H A W，Hordijk D A.Tensile tests and failure analysis of concrete［J］.Journal of Structure Engineering，1986，112（11）：2461.

［6］ Baker G.The effect of exposure to elevated temperatures on the fracture energy of plain concrete［J］.RILEM Materials and Structures，1996，29（190）：383.

［7］ Zhang B，Bicanic N，Pearce C J，et al.Residual fracture properties of normal and high－strength concrete subject to elevated temperatures［J］.Magazine of Concrete Research，2000，52（2）：123.

［8］ Nielsen C V，Bicanic N.Residual fracture energy of highperformance and normal concrete subject to high temperatures［J］.RILEM Materials and Structures，2003，36（262）：515.

［9］ G Prokopski. Fracture toughness of concretes at high temperature［J］.Journal of Materials Science，1995，30：1609.

［10］ Hisham Abdel－Fattah，Sameer A Hamoush.Variation of the fracture toughness of concrete with temperature［J］.1997，11（2）：105.

［11］ Shi Langxu，Hans W Reinhardt.Determination of double－K criterion for crack propagation in quasi－brittle fracture，part III：compact tension specimens and wedge splitting specimens［J］.International Journal of Fracture，1999，98：179.

［12］ 中國航空研究院.應力強度因子手冊［M］.北京：科學出版社，1981.Aviation Institute of China.Stress intensity factor handbook［M］.Beijing：Science Press，1981.

［13］ Shi Langxu， Hans W Reinhardt.A simple method for determining double－K fracture parameters for three－point bending tests［J］.International Journal of Fracture，2000，104：181.

［14］ 余江滔.火災后混凝土構(gòu)件損傷評估的試驗及理論研究［D］.上海：同濟大學土木工程學院，2007.YU Jiangtao.Experimental and theoretical research on damage assessment of reinforced concrete member after fire［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2007.

［15］ 趙志方，徐世烺.混凝土軟化本構(gòu)曲線形狀對KR阻力曲線的影響（II）［J］.煙臺大學學報：自然科學與工程版，2000，13（4）：305.ZHAO Zhifang，XU Shilang.Influence of shapes of softening traction－separation law of concrete uponKR－curve［J］.Journal of Yantai University：Science and Engineering Edition，2000，13（4）：305.

［16］ Jenq Y S，Shah S P.Two parameter fracture model for concrete［J］.Journal of Engineering Mechanics，1985，111（10）：1227.