拍頻激勵下的沖擊鉆進(jìn)機(jī)械系統(tǒng)動力學(xué)特性研究

茍向鋒 呂小紅

蘭州交通大學(xué)，蘭州，730070

0 引言

在機(jī)械工程應(yīng)用領(lǐng)域中經(jīng)常遇到?jīng)_擊振動系統(tǒng)，如 沖 擊 打 樁 機(jī)［1］、沖 擊 鉆 進(jìn) 機(jī)［2－3］、夯 土 機(jī)［4］等。20世紀(jì)80年代以來，國內(nèi)外學(xué)者開始用現(xiàn)代動力系統(tǒng)觀點(diǎn)研究振動系統(tǒng)的動力學(xué)特性，研究內(nèi)容也集中于振動系統(tǒng)的分岔、混沌問題，如研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性與分岔［5－7］、奇異性［8－9］、概周期碰撞運(yùn)動［10］、倍周期分岔［11］等問題。文獻(xiàn)［12－13］研究了以油作為介質(zhì)建立的黏彈性模型的鉆進(jìn)運(yùn)動。在實(shí)際工程應(yīng)用中，如沖擊鉆探機(jī)一般采用高頻率的外部沖擊力來驅(qū)動鉆頭鉆進(jìn)，這種高頻率的外部激勵可以采用壓電式換能器實(shí)現(xiàn)。但這種高頻率的外部激勵會使得系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜，而且系統(tǒng)在振動的同時伴隨有鉆進(jìn)運(yùn)動。文獻(xiàn)［14］研究了一類沖擊鉆進(jìn)機(jī)械振動系統(tǒng)的周期運(yùn)動和分岔規(guī)律。該類系統(tǒng)的基本工作機(jī)理是滑塊克服干摩擦力向下運(yùn)動，因此，有限時間內(nèi)的最佳鉆進(jìn)量對這類系統(tǒng)的有效工作非常重要。研究結(jié)果表明，在低激勵頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期1單碰撞運(yùn)動，且在周期1單碰撞運(yùn)動速度的峰值附近，系統(tǒng)具有最佳鉆進(jìn)效果。文獻(xiàn)［15］指出，低頻激勵所產(chǎn)生的穩(wěn)定周期1振動—鉆進(jìn)運(yùn)動可以用拍頻激勵的方式來實(shí)現(xiàn)。

近年來，沖擊振動系統(tǒng)從實(shí)踐角度得到了國內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注，但同時考慮沖擊振動和鉆進(jìn)運(yùn)動的研究還較少。實(shí)際上，鉆進(jìn)運(yùn)動對系統(tǒng)的振動是有影響的，這就要求建立考慮兩種運(yùn)動的綜合性模型。本文建立了一類沖擊鉆進(jìn)機(jī)械振動系統(tǒng)的力學(xué)模型，并考慮將高頻低幅激勵轉(zhuǎn)化為低頻高幅響應(yīng)。這種轉(zhuǎn)化要求沖擊振動系統(tǒng)能夠產(chǎn)生一種合理的內(nèi)部作用力，以克服介質(zhì)的阻力而產(chǎn)生鉆進(jìn)運(yùn)動。

1 力學(xué)模型與運(yùn)動微分方程

圖1所示為沖擊鉆進(jìn)系統(tǒng)的力學(xué)模型。2個不考慮質(zhì)量的薄板組成運(yùn)動基，其間距U可根據(jù)實(shí)際要求的激勵模式隨時間發(fā)生變化。運(yùn)動基上板由剛度為K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C3的線性阻尼器連接于質(zhì)量塊M2，質(zhì)量塊M2由剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C2的線性阻尼器連接于質(zhì)量塊M1（含機(jī)架），質(zhì)量塊M1由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器連接于滑塊上，滑塊的質(zhì)量忽略不計(jì)。X1、X2、X3和X4分別表示滑塊、質(zhì)量塊M1、質(zhì)量塊M2和運(yùn)動基下板的位移，V表示運(yùn)動基下板的速度。當(dāng)質(zhì)量塊M2和質(zhì)量塊M1的位移差X3－X2＝L時，質(zhì)量塊M2沖擊質(zhì)量塊M1，假設(shè)該碰撞為塑性碰撞。碰撞后，兩者或同步運(yùn)動直至分離，或立即分離。質(zhì)量塊M2第i次沖擊質(zhì)量塊M1以后，彈簧K1被壓縮，對滑塊產(chǎn)生向下的回復(fù)力。當(dāng)作用于滑塊的向下的回復(fù)力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運(yùn)動，即系統(tǒng)發(fā)生鉆進(jìn)運(yùn)動。滑塊于本次沖擊后瞬間鉆進(jìn)的深度為Li（i＝1，2，…，n），整個系統(tǒng)于瞬間向下平移Li。當(dāng)質(zhì)量塊M1向下運(yùn)動的過程結(jié)束，開始向上運(yùn)動時，滑塊受到的彈簧回復(fù)力和阻尼力的合力小于干摩擦力F，滑塊靜止。此時滑塊與土壤間的干摩擦力F由滑動摩擦力變?yōu)殪o摩擦力，滑塊在土壤中不再發(fā)生滑移，直到下一次沖擊來臨為止。此刻滑塊已鉆進(jìn)的深度為L1＋L2＋…＋Li，并且不能回彈，即整個系統(tǒng)向下平移了L1＋L2＋…＋Li。系統(tǒng)的靜平衡位置相對滑塊而言并沒有改變。

圖1 沖擊鉆進(jìn)系統(tǒng)的力學(xué)模型

系統(tǒng)最基本的功能是要能克服阻力（即干摩擦力）并向下移動。當(dāng)質(zhì)量塊M2對質(zhì)量塊M1進(jìn)行沖擊后，滑塊克服干摩擦力F向下移動。因此必須為運(yùn)動基下板選擇合適的運(yùn)動形式才能使整個系統(tǒng)有效地向下移動。在運(yùn)動基下板上加一個外力對系統(tǒng)的鉆進(jìn)運(yùn)動并無益處，這相當(dāng)于在質(zhì)量塊M2上直接加了一個外力，意味著實(shí)際中的高頻激勵是沒有效果的。這樣，就應(yīng)該仔細(xì)選擇運(yùn)動基下板的運(yùn)動形式。本文假定運(yùn)動基下薄板的速度為一先驗(yàn)的確定函數(shù)V，其具體形式下文討論。

分析質(zhì)量塊M2和M1在任意相鄰兩次碰撞間的運(yùn)動過程。以振動體在重力作用下的平衡位置為原點(diǎn)，并設(shè)兩質(zhì)量塊的碰撞時刻為系統(tǒng)運(yùn)動的初始時刻。如果質(zhì)量塊M2沖擊M1后，兩者同步運(yùn)動，則兩者的加速度在此階段是相同的，質(zhì)量塊M1和M2所受的合力分別為

由F1＝F2／μm得

如果質(zhì)量塊M2沖擊質(zhì)量塊M1后兩者非同步運(yùn)動，質(zhì)量塊M2和M1的加速度是不相同的。

式（1）和式（2）中，“·”表示對量綱一時間t求導(dǎo)，其中量綱一量為

其中，Ω為頻率，T為時間。

在任意的連續(xù)兩次沖擊之間，系統(tǒng)可能存在4種不同性質(zhì)的運(yùn)動狀態(tài)：

（1）x3－x2＞l，滑塊靜止，質(zhì)量塊M1和M2非同步運(yùn)動，此時系統(tǒng)的量綱一運(yùn)動微分方程可表示為

（2）x3－x2＞l，滑塊鉆進(jìn)運(yùn)動，質(zhì)量塊M1和M2非同步運(yùn)動，此時系統(tǒng)的量綱一運(yùn)動微分方程可表示為

（3）x3－x2＝l，滑塊靜止，質(zhì)量塊 M1和 M2同步運(yùn)動，此時系統(tǒng)的量綱一運(yùn)動微分方程可表示為

（4）x3－x2＝l，滑塊鉆進(jìn)運(yùn)動，質(zhì)量塊M1和M2同步運(yùn)動，此時系統(tǒng)的量綱一運(yùn)動微分方程可表示為

質(zhì)量塊M2和M1的沖擊方程為

其中，下標(biāo)“－”“＋”分別表示碰撞前后。

根據(jù)文獻(xiàn)［15］，其高頻激勵u（t）可表示為

其中，a＝AK1／F，A 為幅值，ω 為高頻，而 Δω＝ΔΩ／Ω0為低頻，要求等于固有頻率，即Δω＝1是為了滿足共振條件。

圖2 施加于質(zhì)量塊M2的力

2 運(yùn)動基下板速度函數(shù)

圖3 質(zhì)量塊M2的時間歷程圖

選取量綱一參數(shù)：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20。圖1所示系統(tǒng)的時間歷程如圖4所示。由圖4可見，在任意的連續(xù)兩次沖擊之間系統(tǒng)存在如下的運(yùn)動過程：非同步運(yùn)動→碰撞→同步運(yùn)動→非同步運(yùn)動→非同步運(yùn)動伴隨有鉆進(jìn)運(yùn)動→非同步運(yùn)動。隨著系統(tǒng)鉆進(jìn)運(yùn)動，位移值xi（i＝1，2，3，4）的絕對值也會隨之增大。此時，下板的位移x4等于滑塊的位移x1。

圖4 滑塊、質(zhì)量塊M1和M2的時間歷程圖

現(xiàn)考慮驅(qū)動運(yùn)動基下板所需的能量。當(dāng)下板固定時，隨著滑塊鉆進(jìn)量的增大和質(zhì)量塊M2振動幅值A(chǔ)的增大，作用在運(yùn)動基上的力的絕對值也增大。保持下板固定不動所需的外加量綱一載荷fext為

現(xiàn)在討論控制下板運(yùn)動的另一種替代方法。一旦外力fext達(dá)到某臨界值fcrit，下板將被釋放。但是，為了防止運(yùn)動基出現(xiàn)不符合需要的大跳動，外力用一個系數(shù)β來減小，而非完全釋放（fext＝0），即

這可以通過下面的算法實(shí)現(xiàn)。假定下板的速度等于0，則外加載荷fext為

如果滿足如下條件：

則下板的速度可由式（9）和式（10）決定：

選取量綱一參數(shù)：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20，fcrit＝0.54和β＝0.8。滑塊、質(zhì)量塊M1、質(zhì)量塊M2和運(yùn)動基下板的時間歷程如圖5所示。由圖5可見，在任意的連續(xù)兩次沖擊之間系統(tǒng)存在如下的運(yùn)動過程：非同步運(yùn)動→碰撞→同步運(yùn)動→非同步運(yùn)動→非同步運(yùn)動伴隨有鉆進(jìn)運(yùn)動→非同步運(yùn)動。當(dāng)作用于滑塊的向下的回復(fù)力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運(yùn)動，即系統(tǒng)發(fā)生鉆進(jìn)運(yùn)動。下板的運(yùn)動和滑塊的運(yùn)動并不一致，當(dāng)下板靜止時，滑塊在質(zhì)量塊M1和M2碰撞作用下會發(fā)生多次鉆進(jìn)運(yùn)動。圖6為系數(shù)β分別等于0.8、0.75和0.7時下板的時間歷程圖，由圖6可見，系數(shù)β越小，跳動次數(shù)越少，而跳動位移越大，但系數(shù)β對鉆進(jìn)效果的影響極小。

圖5 時間歷程圖

圖6 運(yùn)動基下板的時間歷程圖

3 結(jié)語

本文建立了一類沖擊鉆進(jìn)機(jī)械系統(tǒng)的力學(xué)模型。為了使得系統(tǒng)能夠發(fā)生鉆進(jìn)運(yùn)動，且能夠?qū)⒏哳l低幅激勵轉(zhuǎn)化為低頻高幅響應(yīng)輸出，選用了一種特殊的拍頻運(yùn)動激勵。該拍頻運(yùn)動激勵有兩個主要特征：①低頻調(diào)制激勵與振動系統(tǒng)的固有頻率（所期望的低頻）吻合；②激勵是非對稱的，即只用調(diào)制波正值部分激勵質(zhì)量塊M2。結(jié)果表明，該激勵能夠產(chǎn)生有效的沖擊力即錘擊效應(yīng)。圖1所示系統(tǒng)要求提供克服干摩擦力和形成穩(wěn)定鉆進(jìn)運(yùn)動的條件。在無控制的條件下有兩種途徑能夠使得系統(tǒng)向下移動。但是，這些條件下得到的鉆進(jìn)量都比較小，有待于研究一種控制策略給系統(tǒng)提供額外的能量，以獲得較好的鉆進(jìn)效果。

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