面向客戶定制產(chǎn)品開發(fā)的多目標(biāo)優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

艾青松 許 強(qiáng) 劉 泉

武漢理工大學(xué)，武漢，430070

1 多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法概述

現(xiàn)代制造企業(yè)要高效率、低成本地設(shè)計(jì)和生產(chǎn)令客戶滿意的產(chǎn)品，就必須能夠快速準(zhǔn)確地獲取客戶的個(gè)性化需求，以最快的速度加以滿足。然而，滿足客戶的需求并不是唯一的目標(biāo)，還要考慮企業(yè)的生產(chǎn)設(shè)備、技術(shù)實(shí)力、制造能力、人員力量以及生產(chǎn)成本、生產(chǎn)周期和企業(yè)管理等其他因素，只有在滿足客戶需求且自身?xiàng)l件具備的前提下，才能在最短的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出讓客戶滿意的商品，達(dá)到生產(chǎn)企業(yè)和客戶之間的雙贏。因此，基于客戶需求信息的產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題［1］。

近年來(lái)，有學(xué)者提出了多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法（evolutionary multi－objective optimization，EMO）［2］，該算法作為一種簡(jiǎn)單有效的全局搜索算法，具有較強(qiáng)的全局收斂能力和較強(qiáng)的魯棒性，且不需要借助問題的特征信息（如導(dǎo)數(shù)等梯度信息）就可以有效求解大量非線性、不可微和多峰值的復(fù)雜優(yōu)化問題。

進(jìn)化算法是以達(dá)爾文的進(jìn)化論思想為基礎(chǔ)，通過(guò)模擬自然界生物進(jìn)化準(zhǔn)則逼近問題最優(yōu)解的一類群體搜索算法［3］。生物進(jìn)化是通過(guò)繁殖、變異、競(jìng)爭(zhēng)和選擇來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而進(jìn)化算法則主要通過(guò)選擇 （selection）、重 組 （recombination）和 變 異（mutation）這三種操作來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的求解或近似求解。進(jìn)化算法的基本步驟一般為［3］：①初始化進(jìn)化算法的停止條件，t＝1；②初始化種群大小，給每個(gè)個(gè)體賦予坐標(biāo)值；③計(jì)算出每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)值并存入一個(gè)矩陣中；④進(jìn)行⑤～⑥的循環(huán)進(jìn)化，每輪進(jìn)化后，t自動(dòng)加1；⑤對(duì)種群進(jìn)行選擇操作，主要選擇局部達(dá)到優(yōu)化的個(gè)體作為優(yōu)良個(gè)體，保存在外部種群中；⑥重組外部種群和內(nèi)部種群，讓它們進(jìn)行交配和變異，并選擇出優(yōu)良個(gè)體保存在外部種群中；⑦當(dāng)達(dá)到進(jìn)化停止條件即t達(dá)到一定數(shù)值后，停止進(jìn)化算法，取外部種群中的個(gè)體作為本次進(jìn)化算法最終得到的優(yōu)化個(gè)體。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，進(jìn)化算法就是通過(guò)不斷地選擇、交配和變異，最終得到一系列優(yōu)化個(gè)體，完成對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化工作。進(jìn)化算法的具體實(shí)現(xiàn)方式多樣，本文以粒子群優(yōu)化算法（PSO）［4］為例進(jìn)行深入研究。

粒子群優(yōu)化算法將決策空間內(nèi)的變量看成一個(gè)粒子，粒子以一定的速度和方向飛行。在飛行過(guò)程中，粒子追尋兩個(gè)極值來(lái)更新自己的位置，即局部最優(yōu)位置pbest和全局最優(yōu)位置gbest。其進(jìn)化方程如下［4］：

式中，i表示第i個(gè)粒子；j表示維數(shù)，也就是目標(biāo)數(shù)；c1為調(diào)節(jié)粒子飛向局部最優(yōu)位置的步長(zhǎng)；c2為調(diào)節(jié)粒子飛向全局最優(yōu)位置的步長(zhǎng)，通常在［0，2］中取值；r1和r2為兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)，在［0，1］中隨機(jī)取值；t為停止條件，即粒子飛行次數(shù)，t越大，粒子飛行位置越密集，得到的pbest和gbest將越精確。

由式（1）可以看出，粒子群算法將進(jìn)化算法的進(jìn)化思路具體化為粒子的位置和速度變化，通過(guò)不斷比較和更新pbest和gbest來(lái)實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化。

然而，到目前為止多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法尚缺乏系統(tǒng)性研究，一些理論性問題有待進(jìn)一步探討。例如，算法只適合于低維目標(biāo)優(yōu)化，對(duì)高維優(yōu)化效果很差；有些算法有優(yōu)越的優(yōu)化方法，但難以用于工程實(shí)際?；诳蛻粜枨笮畔⒌漠a(chǎn)品設(shè)計(jì)與優(yōu)化也有其自身的特點(diǎn)，它一方面要求在客戶給出需求信息后，企業(yè)能盡快作出反應(yīng)，提出合適的方案供客戶選擇，縮短產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)間，提高整個(gè)項(xiàng)目效率。另一方面要求我們的算法得出的目標(biāo)優(yōu)化值均勻分布，在可行性空間里找到更多的優(yōu)化解并保證每個(gè)解的有效性，避免重復(fù)解的出現(xiàn)，方便用戶對(duì)目標(biāo)優(yōu)化值進(jìn)行比較，最終選擇出合適的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案。而目前的多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法未能很好地解決這些問題。所以，我們還需要對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法進(jìn)行研究，提出合適的、高效的優(yōu)化算法。

基于此，本文對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法進(jìn)行研究，針對(duì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)與優(yōu)化過(guò)程中所要解決的問題，在現(xiàn)有多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法基礎(chǔ)上，從優(yōu)化算法的執(zhí)行效率和優(yōu)化結(jié)果的分布兩方面進(jìn)行了必要的改進(jìn)，并分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，通過(guò)與其他優(yōu)化算法的對(duì)比分析，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的可行性、可靠性和優(yōu)越性。

2 多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法的效率改進(jìn)

進(jìn)化算法通過(guò)不斷選擇和淘汰局部最優(yōu)解而得到的全局最優(yōu)解集所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)前沿曲面應(yīng)該包含所有目標(biāo)的極值，它對(duì)任何一個(gè)目標(biāo)都是公平的。如式（1）所示，粒子的飛行位置xij和速度vij在更新過(guò)程中沒有偏向任何目標(biāo)，只是盲目地朝著全局最優(yōu)解收斂而已。而在實(shí)際的生產(chǎn)設(shè)計(jì)過(guò)程中，按照客戶和企業(yè)的不同要求，目標(biāo)之間往往是不公平的。假設(shè)某個(gè)目標(biāo)對(duì)客戶很重要，需要著重考慮該目標(biāo)的優(yōu)化值，即可以在一定范圍內(nèi)，通過(guò)犧牲其他目標(biāo)來(lái)滿足該目標(biāo)的需求，那么，我們得到的“公平”最優(yōu)前沿曲面就顯得資源浪費(fèi)，從產(chǎn)品開發(fā)的實(shí)際效率來(lái)講，降低了算法的執(zhí)行效率。

另外，本文的主要工作是設(shè)計(jì)一種多目標(biāo)優(yōu)化算法，并將其運(yùn)用在基于客戶需求的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中，得出最優(yōu)化解集，讓客戶選擇其中一個(gè)解作為定制產(chǎn)品開發(fā)方案。如果得出的最優(yōu)化解集過(guò)大，優(yōu)化解過(guò)多，則一方面加大了客戶的選擇壓力，不利于客戶找出最適合的那個(gè)解；另一方面，客戶還需要大量時(shí)間對(duì)優(yōu)化解進(jìn)行比較，選擇出最合適的解，從產(chǎn)品開發(fā)效率來(lái)看，這也會(huì)降低項(xiàng)目設(shè)計(jì)階段的效率。

基于以上兩個(gè)問題，本文提出了側(cè)重度系數(shù)概念，根據(jù)客戶的選擇，將每個(gè)目標(biāo)的重要程度分等級(jí)，在進(jìn)化算法運(yùn)行過(guò)程中，通過(guò)重要度的比較，優(yōu)先淘汰一些重要度很低的局部?jī)?yōu)化解。這樣，一方面實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)前沿曲面按照客戶的需求收斂，提高了算法執(zhí)行效率；另一方面，也減少了最終得到的優(yōu)化解個(gè)數(shù)，提高了客戶定制產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段的效率。

定義1 側(cè)重度系數(shù)λ。由目標(biāo)之間相互重要程度信息轉(zhuǎn)化而來(lái)的重要度參數(shù)稱為側(cè)重度系數(shù)。

本文定義的目標(biāo)側(cè)重度系數(shù)如表1所示。

表1 重要度信息衡量標(biāo)準(zhǔn)表

多目標(biāo)優(yōu)化問題目前在學(xué)術(shù)界已經(jīng)統(tǒng)一成目標(biāo)函數(shù)值極小問題［3-4］，所以，加入目標(biāo)側(cè)重度系數(shù)后，粒子的有效運(yùn)動(dòng)范圍應(yīng)該是讓側(cè)重度高的目標(biāo)取值更小、更靠近目標(biāo)極小值的范圍，將該范圍取名為側(cè)重范圍。如果把整個(gè)坐標(biāo)系分成10等份，分別定義目標(biāo)A對(duì)目標(biāo)B的側(cè)重度系數(shù)為0.90、0.75、0.60和0.50，則它們的側(cè)重范圍如圖1所示。

圖1 4種側(cè)重度系數(shù)下的側(cè)重范圍

從圖1中可以觀察到側(cè)重范圍的大小，為了對(duì)粒子的位置是否合格做相應(yīng)判斷，我們需要計(jì)算出側(cè)重范圍的邊界曲線函數(shù)。因?yàn)榘炎鴺?biāo)系等分成10份，每一份就是9°，所以圖1中4個(gè)側(cè)重范圍的夾角分別為18°、45°、72°和90°。通過(guò)三角函數(shù)計(jì)算，得出4種側(cè)重范圍的邊界曲線函數(shù)如表2所示。其中，側(cè)重度系數(shù)為0.5即目標(biāo)之間同等重要時(shí)，沒有側(cè)重范圍，因而也就沒有邊界曲線。下面闡述加入側(cè)重度系數(shù)的進(jìn)化算法運(yùn)行思路。

表2 4種側(cè)重范圍的邊界曲線函數(shù)

在進(jìn)化算法運(yùn)行步驟⑤后面加入優(yōu)良個(gè)體的再次選擇環(huán)節(jié)，判斷每個(gè)優(yōu)良個(gè)體的位置是否在側(cè)重范圍內(nèi)。如果在側(cè)重范圍內(nèi)則進(jìn)入下一步驟；否則淘汰該個(gè)體。其他步驟不變，依此循環(huán)進(jìn)化，達(dá)到停止條件后即得到最優(yōu)解。

設(shè)側(cè)重區(qū)域?yàn)棣?，加入?cè)重度系數(shù)λ后的粒子群的優(yōu)化方程變?yōu)?/p>

式（2）中，速度vij中有兩個(gè)隨機(jī)變量r1和r2存在，所以能讓粒子在朝全局最優(yōu)解收斂時(shí)，沿著不同的路徑找到更多的pbest，而位置xij則必須限定在側(cè)重范圍內(nèi)，這樣收斂區(qū)域?qū)⒆冃。諗啃首兏摺?/p>

我們運(yùn)用改進(jìn)算法對(duì)ZDT［5］問題進(jìn)行優(yōu)化，ZDT問題的數(shù)學(xué)方程如下：

查閱相關(guān)文獻(xiàn)得知，ZDT問題的理想最優(yōu)化曲面如圖2所示。

定義目標(biāo)f1對(duì)目標(biāo)f2的側(cè)重度系數(shù)為0.90，設(shè)定停止條件為t＝10 000，取c1＝c2＝1，則改進(jìn)算法的優(yōu)化仿真圖見圖3。

圖2 測(cè)試問題ZDT的理想最優(yōu)化曲面

圖3 λ＝0.90的優(yōu)化仿真圖

為了方便對(duì)比分析，本文運(yùn)用進(jìn)化算法NSGA－2［1］對(duì)ZDT問題進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)定停止條件為t＝10 000，交叉系數(shù)Pc為0.8，變異系數(shù)Pm為1／30，優(yōu)化仿真圖見圖4。

從圖3和圖4中可以看出，加入側(cè)重度系數(shù)后的進(jìn)化算法能夠讓粒子有選擇地收斂，減少了最優(yōu)解的個(gè)數(shù)，提高了客戶的選擇效率。觀察圖形可知，改進(jìn)算法達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。

多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域中一般采用Deb等［5］提出的收斂性指標(biāo)（convergence metric）對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化算法的優(yōu)化效果進(jìn)行評(píng)判。為此，本文做了2組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，在目標(biāo)側(cè)重度系數(shù)為0.9的條件下，將改進(jìn)算法和目前流行的兩種進(jìn)化算法（NSGA－2算法［1］和 SPEA－2算法［6］）進(jìn)行比較，得到數(shù)據(jù)如表3所示。

圖4 NSGA－2算法對(duì)ZDT問題的優(yōu)化仿真圖

表3 不同停止條件下的多目標(biāo)優(yōu)化算法運(yùn)行時(shí)間和收斂性指標(biāo)值

從表3可以看出，當(dāng)側(cè)重度系數(shù)為0.9時(shí)，改進(jìn)算法的運(yùn)行時(shí)間明顯短于NSGA－2算法和SPEA－2算法的算法時(shí)間，說(shuō)明改進(jìn)算法的優(yōu)化效率更高。并且改進(jìn)算法的收斂性指標(biāo)值也小于NSGA－2算法和SPEA－2算法的收斂性指標(biāo)值，而該指標(biāo)值越小，說(shuō)明算法得到的最優(yōu)化曲面與圖2中的理想最優(yōu)化曲面的距離越近，算法更優(yōu)越。

以上對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法優(yōu)化效率的改進(jìn)研究表明，通過(guò)加入目標(biāo)側(cè)重度系數(shù)，縮小了最優(yōu)解集，方便客戶快速選擇出適合項(xiàng)目的最優(yōu)解。同時(shí)，采用改進(jìn)算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化后，得出的最優(yōu)化粒子與理想的最優(yōu)化曲面更接近，即優(yōu)化效果更明顯。

3 多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法的解分布改進(jìn)

采用進(jìn)化算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化的過(guò)程中，很容易產(chǎn)生局部?jī)?yōu)化解過(guò)于集中的現(xiàn)象。這些高度集中的局部最優(yōu)解占據(jù)了最優(yōu)解集中的大量位置，排擠掉了一些偏僻和孤立的優(yōu)化解，導(dǎo)致最優(yōu)解多樣性缺失，使進(jìn)化算法陷入局部最優(yōu)，學(xué)術(shù)界通常稱該現(xiàn)象為早熟。如式（1）中，由于r1和r2兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)數(shù)的存在，導(dǎo)致粒子的收斂方向不固定。如果在某一次收斂中得到的局部最優(yōu)解大量集中，即xij變化不大，那么粒子將陷入局部最優(yōu)的包圍中，很難脫離出來(lái)，最終將局部收斂。

采用進(jìn)化算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化后，我們將得到一些接近于理想優(yōu)化曲面的離散優(yōu)化點(diǎn)，稱它們?yōu)槟繕?biāo)優(yōu)化值?？蛻魪谋姸嗄繕?biāo)優(yōu)化值中選擇出一個(gè)滿意的優(yōu)化值作為產(chǎn)品設(shè)計(jì)的最優(yōu)目標(biāo)值。如果兩個(gè)目標(biāo)優(yōu)化值相隔過(guò)近，則它們沒有比較的價(jià)值，稱之為重復(fù)目標(biāo)優(yōu)化值，必須拋棄其中一個(gè)。所以，如何合理選擇目標(biāo)優(yōu)化值，使它們相互之間有一定的距離，避免重復(fù)值的出現(xiàn)，是本文對(duì)進(jìn)化算法改進(jìn)的另一個(gè)出發(fā)點(diǎn)。即對(duì)于客戶來(lái)說(shuō)，要做到大部分目標(biāo)優(yōu)化值對(duì)他們的選擇都有意義。

基于以上兩個(gè)問題，本文提出了目標(biāo)間距矩陣概念，根據(jù)客戶自己的選擇，確定每個(gè)目標(biāo)的最小距離。在選擇局部最優(yōu)解和目標(biāo)優(yōu)化值時(shí)，檢驗(yàn)它們之間的間距是否大于或等于最小距離。如果滿足條件，則被選中，進(jìn)行下一步操作；否則，淘汰該值。

定義2 目標(biāo)間距矩陣。假設(shè)一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題中有m個(gè)目標(biāo)需要優(yōu)化，而這m個(gè)目標(biāo)都有各自的最小距離，即要求第i個(gè)目標(biāo)的目標(biāo)值之間最小間隔Li個(gè)單位。那么，由這m個(gè)最小距離組成的矩陣L＝［L1L2L3… Lm］稱為目標(biāo)間距矩陣。

下面詳細(xì)說(shuō)明改進(jìn)算法的執(zhí)行過(guò)程。

假設(shè)在進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)良個(gè)體選擇時(shí)有n個(gè)個(gè)體a1，a2，a3，…，an比較優(yōu)秀，可以進(jìn)入下一代進(jìn)行交配。此時(shí)，我們將這n個(gè)個(gè)體進(jìn)行排序，排序的規(guī)則是：先比較這n個(gè)個(gè)體的第一個(gè)目標(biāo)值大小，按照從小到大的順序排序；然后比較這n個(gè)個(gè)體的第二個(gè)目標(biāo)值大小，按照從小到大的順序排列；再比較這n個(gè)個(gè)體的第三個(gè)目標(biāo)值大小，也按照從小到大的順序排列。依照這個(gè)方法，對(duì)這n個(gè)個(gè)體總共進(jìn)行m次排序，可以得到一個(gè)m行的排序隊(duì)列，如圖5所示。

圖5 優(yōu)良個(gè)體的排序序列

然后讀取目標(biāo)間距矩陣中每個(gè)目標(biāo)的最小間距，對(duì)上述隊(duì)列進(jìn)行檢查，如果相鄰兩個(gè)個(gè)體之間不滿足該排序標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)的間距指標(biāo)，則淘汰兩個(gè)個(gè)體中的后一個(gè)個(gè)體。通過(guò)目標(biāo)間距矩陣對(duì)這m個(gè)排序序列進(jìn)行排查，淘汰一些間距過(guò)小的個(gè)體。然后再次考察這個(gè)序列，如果某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)等于m，則表示該個(gè)體勝出，作為優(yōu)良個(gè)體進(jìn)入下一代種群中；如果某個(gè)個(gè)體出現(xiàn)的次數(shù)小于m，則表示該個(gè)體被淘汰，不能作為優(yōu)良個(gè)體進(jìn)入下一代種群。

在進(jìn)化算法的執(zhí)行過(guò)程中，每次選擇出種群優(yōu)良個(gè)體后，都按照上述方法對(duì)優(yōu)良個(gè)體進(jìn)行再一次的選擇，勝出者才能進(jìn)入下一代種群中進(jìn)行交配和變異。這樣，通過(guò)往進(jìn)化算法中加入目標(biāo)間距矩陣，并對(duì)優(yōu)良個(gè)體反復(fù)進(jìn)行間距排查，能夠避免局部最優(yōu)解的高度集中，保證了最優(yōu)解的多樣性，防止算法早熟。同時(shí)，能夠讓最終得到的最優(yōu)解集中的解趨于均勻分布，方便客戶做對(duì)比分析，快速選擇出定制產(chǎn)品的開發(fā)方案。

在粒子群優(yōu)化算法中加入目標(biāo)間距矩陣后的進(jìn)化方程如下：

在式（4）中，每次粒子更新位置時(shí)都加上該目標(biāo)的最小間距，即將該粒子沿著目標(biāo)坐標(biāo)軸平移最小間距的距離，這樣來(lái)防止粒子位置的高度集中，以免陷入局部最優(yōu)。

下面采用改進(jìn)算法對(duì)現(xiàn)今流行的測(cè)試問題DTLZ［5］進(jìn)行優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)，DTLZ數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

定義DTLZ問題的目標(biāo)間距矩陣為L(zhǎng)＝［0.05 0.05 0.05］，k＝3，｜xk｜＝5，停止條件為t＝10 000，取c1＝c2＝1，得到的優(yōu)化仿真圖見圖6。

同樣，運(yùn)用進(jìn)化算法SPEA－2對(duì)DTLZ問題進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)定停止條件為t＝10 000，k＝3，｜xk｜＝5，交叉系數(shù)Pc為0.6，變異系數(shù)Pm為1／30，優(yōu)化仿真圖見圖7。

從圖6和圖7對(duì)比來(lái)看，改進(jìn)算法保證了每個(gè)粒子之間的距離，淘汰了很多重復(fù)解和近似解，使最優(yōu)化解集中的粒子基本達(dá)到了均勻分布。觀察圖形得出，改進(jìn)算法達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，具有可行性。

圖6 改進(jìn)算法對(duì)DTLZ問題的優(yōu)化仿真圖

圖7 SPEA－2算法對(duì)DTLZ問題的優(yōu)化仿真圖

為了評(píng)估多目標(biāo)優(yōu)化算法得到的最優(yōu)解的均勻分布性能，優(yōu)化領(lǐng)域中一般采用Schott提出的間距指標(biāo)（Spacing Metric）［7］進(jìn)行衡量。該指標(biāo)值越小，代表解分布越均勻。通過(guò)改進(jìn)算法、NSGA－2算法和SPEA－2算法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，得到的間距指標(biāo)值如表4所示。

表4 多目標(biāo)優(yōu)化算法的間距指標(biāo)

從表4中的數(shù)值來(lái)看，改進(jìn)算法的間距指標(biāo)值最小，基本接近于0，即解近似于均勻分布，而NSGA－2算法和SPEA－2算法的間距指標(biāo)值略大，所以，改進(jìn)算法具有一定的優(yōu)越性。

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，改進(jìn)算法可對(duì)最優(yōu)解集映射到目標(biāo)空間中粒子的解分布進(jìn)行調(diào)控，即淘汰重疊粒子和近似粒子，使最終得到的粒子均勻分布，提升每個(gè)粒子在實(shí)際產(chǎn)品開發(fā)中的參考價(jià)值，從而減小了客戶的選擇壓力，縮短了產(chǎn)品的開發(fā)周期，提高了客戶的滿意度。

4 多目標(biāo)優(yōu)化算法流程設(shè)計(jì)

本研究是針對(duì)客戶定制產(chǎn)品設(shè)計(jì)與優(yōu)化過(guò)程中的多目標(biāo)優(yōu)化算法展開的，在產(chǎn)品的設(shè)計(jì)階段，需要考慮客戶的需求信息，將這些信息加以分類、整理和轉(zhuǎn)化，變成直觀的數(shù)學(xué)表達(dá)式。同時(shí)，還需要考慮企業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)條件，如生產(chǎn)設(shè)備、技術(shù)能力、人員分配和生產(chǎn)資源等，在進(jìn)行產(chǎn)品生產(chǎn)時(shí)，需要兼顧自身的生產(chǎn)實(shí)際和經(jīng)濟(jì)效益。圖8為所設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化算法的流程圖。

圖8 改進(jìn)多目標(biāo)優(yōu)化算法流程圖

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明了上述改進(jìn)思路的可行性、可靠性和優(yōu)越性，這里運(yùn)用改進(jìn)算法對(duì)ZDT問題進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

定義目標(biāo)f1對(duì)目標(biāo)f2的側(cè)重度系數(shù)為0.75，設(shè)定停止條件為t＝10 000，取c1＝c2＝1，設(shè)定目標(biāo)間距矩陣為L(zhǎng)＝［0.02 0.02］，改進(jìn)算法對(duì)ZDT問題的優(yōu)化仿真圖見圖9。

從圖9中可以看出，粒子在側(cè)重度系數(shù)作用下進(jìn)行了局部收斂，提高了優(yōu)化效率，同時(shí)保持了相互之間的間距，保證了最優(yōu)解的多樣性。

定義NSGA－2算法和SPEA－2算法的停止條件為t＝10 000，交叉系數(shù)Pc為0.8，變異系數(shù)Pm為1／30。將它們分別對(duì)ZDT問題進(jìn)行優(yōu)化仿真，并計(jì)算出相關(guān)指標(biāo)值與改進(jìn)算法作對(duì)比分析，結(jié)果如表5所示。

圖9 改進(jìn)算法對(duì)ZDT問題的優(yōu)化仿真圖

表5 多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從表5中可以看出，改進(jìn)算法在優(yōu)化效率、收斂性和解的分布性方面均優(yōu)于NSGA－2算法和SPEA－2算法，正好符合本文的研究目標(biāo)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)客戶定制產(chǎn)品設(shè)計(jì)與優(yōu)化項(xiàng)目中需要用到的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行了研究，在深入研究多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上，從優(yōu)化算法的優(yōu)化效率和最優(yōu)解的目標(biāo)空間分布兩個(gè)方面對(duì)進(jìn)化算法進(jìn)行了改進(jìn)，提高了多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)化算法的運(yùn)行效率，精簡(jiǎn)了最優(yōu)解的數(shù)量，降低了客戶的選擇壓力，同時(shí)，提高了每個(gè)最優(yōu)解的實(shí)際價(jià)值，方便客戶快速找到滿足自身需求的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案。研究結(jié)果對(duì)整個(gè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)與優(yōu)化過(guò)程具有重要的意義。

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