基于矢量曲面積分反演模型的艦船磁場延拓方法

張朝陽，衣 軍

(中國人民解放軍91872 部隊，上海200083)

0 引 言

艦船消磁是提高艦船磁性防護能力的有效手段［1］，而評估艦船磁性防護能力往往是通過一定深度(或高度)上某些點的磁場來進行的。但在實際中，受測量條件(如水深、高度等)的限制，往往很難直接測量到所需目標深度(或高度)的磁場，需要通過已知測量點的磁場延拓計算得到。

目前常見的可用于艦船磁場計算的方法有:有限元法［2-3］、積分方程法［4］和磁體模擬法。有限元法需要對磁體進行復雜的剖分，并且需要知道磁體的磁性參數(shù)，其計算精度受剖分好壞的影響。同時，有限元法的計算量非常大，耗時很長。積分方程法和有限元法一樣，有著運算復雜、費時的缺陷。磁體模擬法［5-6］中常用磁偶極子或旋轉(zhuǎn)橢球體作為模擬體，其換算精度受人為經(jīng)驗的影響較大，穩(wěn)定性和精度也難以保證。隨著磁場計算技術的進步，近年來在艦船磁場計算領域，出現(xiàn)了一種簡便快捷的矢量曲面積分法［7］，可以通過測量艦船包絡面的三分量磁場準確快速地延拓得到艦船任意深度上的磁場。但該方法需要測量包絡面的三分量磁場，而在通常情況下，只能得到艦船下方某個平面的磁場。本文試圖通過艦船下方某平面的測量磁場，建立艦船磁場的矢量曲面積分反演模型，從而實現(xiàn)艦船磁場的延拓推算。

1 艦船磁場的矢量曲面積分延拓模型

設場域為V，內(nèi)邊界面為S，如圖1所示。場域內(nèi)的磁源可等效為自由電流，其分布密度為J 矢量。場域內(nèi)介質(zhì)均勻且各向同性，則在場域內(nèi)磁場的特性可以用向量磁位A 描述，有:

?× A=B，?× ?× A=μJ。

式中:B 為磁感應強度矢量;μ 為介質(zhì)磁導率;J(x′，y′，z′)為場域內(nèi)自由電流密度向量或鐵磁物體的等效電流密度向量。選取格林函數(shù)

將格林函數(shù)和向量磁位A 代入格林第一恒等式和格林第二恒等式［8］進行一系列矢量運算后可以得到表達式［7］

式(1)即為場域V 內(nèi)P 點磁場的矢量曲面積分計算公式。

由于鐵磁物體外的空間(V)內(nèi)一般不存在自由電流或鐵磁物質(zhì)，因此式(1)可簡化為

式(2)即為常用的鐵磁物體磁場矢量曲面積分延拓公式［7］。其物理意義為:鐵磁物體(如艦船)周圍空間任意點的磁感應強度矢量可以通過包圍鐵磁物體的封閉曲面上的磁感應強度矢量的面積分得到。

圖1 矢量曲面積分示意圖Fig.1 The sketch map of vector surface integral

利用式(2)，只要獲得了艦船包絡面上的矢量磁場，即可計算出周圍空間任意點的矢量磁場。

2 基于矢量曲面積分反演模型的磁場延拓

在利用式(2)進行磁場延拓時，一般要根據(jù)磁場測量的實際情況，對包絡面進行單元剖分，每個測量點為1 個剖分單元，然后在包絡面上進行數(shù)值積分得到空間磁場。設空間磁場向量用b 表示，則空間磁場的數(shù)值積分關系可簡化表示為

式中:x 為包絡面磁場向量;K 為數(shù)值積分所形成的觀測矩陣。

在艦船磁場的實際測量中，除特殊場站外，包絡面磁場一般很難得到，往往只能獲得下方某個深度的磁場，若將測量得到的磁場記作向量b1，同時設定艦船周圍包絡面并作一定剖分(由測量深度得到K)，則可對式(3)求逆，得到等效包絡面磁場x;再利用式(3)延拓得到目標深度上的磁場b2。

由測量平面磁場反演得到艦船等效包絡面磁場再計算目標深度磁場的過程如圖2所示。

在反演求解方程(3)時，要注意等效包絡面的剖分數(shù)一定不能大于平面磁場的測量點數(shù)。另外，在方程求解時，系數(shù)矩陣K 的條件數(shù)有時很大，這時需要通過奇異值分解或正則化處理［9］得到方程的穩(wěn)定解。

圖2 反演計算目標磁場示意圖Fig.2 The sketch map for the inverse calculation of objective magnetic field

3 船模實驗

以1 個長308 cm，寬30.8 cm 的鐵質(zhì)結構船模為實驗對象，用三分量磁通門傳感器陣列測量船模磁場。按照圖2 中所示，分別測量船模下方2 個深度的磁場(b1和b2)。b1對應的測量深度為h1=61 cm，測量范圍為12 m ×1.2 m(61 ×7 的陣列，間隔0.2 m);b2對應的測量深度為h2=90 cm，測量范圍為12 m×0.8 m(61 ×5 的陣列，間隔0.2 m)。船模的中心在測量平面上的投影與平面中心重合。船模的等效包絡面長為12 m，取縱向的4 個矩形面(由于2 端磁場接近零，忽略端面)進行剖分，共分為160個單元。用h1深度上的磁場b1計算船模包絡面的等效磁場，然后由反演模型延拓計算h2深度的磁場，并與測量值進行比較，考察磁場延拓的精度。

定義計算的相對均方根誤差為

式中:Bm和Bc分別為磁場的測量值和延拓計算值;為相應測量值的最大值;N 為測量點數(shù)。

表1 為h2深度上磁場三分量的延拓均方根誤差，從表中可以看出，利用矢量曲面積分的反演模型能準確延拓計算其他深度上的磁場。差則會變得很大。主要原因是:計算近場磁場的線性方程組Kx=b 的系數(shù)矩陣K 的條件數(shù)雖然較大(可達107以上)，但通過一定的方法處理，可以求得一個穩(wěn)定的解，在換算距離不大時，磁場換算的誤差不會很大;但當距離艦船較遠時，其系數(shù)矩陣條件數(shù)可以達到1017以上，如果求出的等效包絡面磁場與實際磁場有所差異，則可能引起很大的計算誤差。

表1 h2深度上三分量磁場的均方根誤差Tab.1 The average square root errors of the 3 components field at h2depth

圖3 x 分量計算值與測量值比較Fig.3 The compare of calculated value and measured value for x component

圖3 ～圖5 分別為x，y，z 三個分量某條測量線上計算值與測量值的比較情況。其中，Bx-m 表示測量值，Bx-c 表示計算值，其余分量類推。從圖中可以看出，通過反演船模的等效包絡面磁場，然后延拓計算其他深度的磁場是可行的，能保證一定的計算精度。

另外，通過大量實驗計算可以得到，利用矢量曲面積分的反演模型延拓計算磁場的方法在較近換算深度上是準確地，當距離艦船較遠時，其計算誤

4 結 語

根據(jù)艦船磁場的矢量曲面積分延拓方法，由已知深度上的平面磁場反演出艦船的等效包絡面磁場，進而延拓計算出目標深度上的磁場，船模實驗表明了該方法的可行性，其延拓計算的均方根誤差可控制在5%以內(nèi)。該方法相比磁體模擬法、有限元法等而言，無需人為經(jīng)驗和復雜運算，方法更為簡單有效，非常適合艦船近場磁場的延拓計算，為艦船磁隱身技術中的磁場換算提供了一種思路，具有較好的實際應用價值。

［1］張連魁.艦船磁場分析-臨時線圈消磁［M］.武漢:海軍工程大學，1991.

［2］STABLIK M J，RUBIN S W，JILES D C，et al.Finite element simulation of magnetic detection of creep damage at seam welds［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1996，32(5):4290-4292.

［3］GORDON J C A.Modelling the induced magnetic signature of naval vessels［D］.England:Department of Physics and Astronomy University of Glasgow，2000.

［4］郭成豹，何明，周耀忠.積分方程法計算艦船感應磁場［J］.海軍工程大學學報，2001，6(13):71-74.

GUO Cheng-bao，HE Ming，ZHOU Yao-zhong.Calculation of induced magnetic fields of ships by integral equation method［J］.Journal of Naval University of Engineering，2001，6(13):71-74.

［5］周耀忠，張國友.艦船磁場分析計算［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2004.

［6］閻毓杰，樊友文，楊華榮.基于磁體模擬法的艦船磁場補償技術［J］.艦船科學技術，2009，31(5):82-86.

YAN Yu-jie，F(xiàn)AN You-wen，YANG Hua-rong.A magnetic field compensating method based on the magnet simulation theory for vessel［J］.Ship Science and Technology，2009，31(5):82-86.

［7］閆輝，肖昌漢，周國華.基于曲面積分的磁場矢量延拓方法［J］.兵工學報，2008，29(7):839-843.

YAN Hui，XIAO Chang-han，ZHOU Guo-hua.Continuation of magnetic vector based on a surface integral technique［J］.Acta Armamentarii，2008，29(7):839-843.

［8］樊明武，顏威利.電磁場積分方程法［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1988.

［9］ENGL H W.Discrepancy principles for Tikhonov regularization of ill-posed problems leading to optimal convergence rates［J］.J Optim Theory Appl，1987，52:209-215.