改進的灰色模型在船閘通過量預(yù)測中的應(yīng)用

王 馨 陶桂蘭 楊 正

（河海大學(xué)港口、海岸與近海工程學(xué)院 南京 210098）

船閘通過量預(yù)測是船閘擴容改建工程的決策依據(jù)和規(guī)劃基礎(chǔ)．常用的船閘通過量預(yù)測方法很多，如線性回歸法、彈性系數(shù)法、三次指數(shù)平滑法、灰色GM（1，1）模型等．各方法總體思想大致相同，以多年特征數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運用線性或非線性增長函數(shù)或模型進行定量預(yù)測．前兩種方法是一種相關(guān)因素分析預(yù)測方法，后兩種是數(shù)據(jù)序列預(yù)測方法．船閘通過能力影響因素眾多，常規(guī)的預(yù)測方法并不能涵蓋所有因素的影響；三次指數(shù)平滑法雖然精度較高，預(yù)測終值趨于平穩(wěn)，但始終只是單一數(shù)據(jù)量分析，不能反應(yīng)其他因素的影響情況，并且當(dāng)原模型數(shù)據(jù)少時，準(zhǔn)確性越低．灰色模型，雖然也是數(shù)據(jù)量分析，但由于它分布顯示概率特性，以及本身的模糊性，可通過少量數(shù)據(jù)進行預(yù)測，建模過程簡單，模型表達式求解容易，應(yīng)用日趨廣泛．

灰色模型進行短期預(yù)測精確度較高，但中長期預(yù)測效果并不好，有可能出現(xiàn)預(yù)測值偏大的結(jié)果．這主要與灰色模型的序列光滑度有關(guān)．當(dāng)原始序列越平緩，模擬值精度較高．反之，模型偏差較大，通常無法用于中長期預(yù)測，甚至不宜作短期預(yù)測［1］．

本文對灰色GM（1，1）模型進行了改進，通過函數(shù)變換改變序列的光滑度，以積分逼近值代替均值提高發(fā)展系數(shù)精度，從而得到了比原GM（1，1）模型模擬精度高和適用范圍更廣的新模型．

1 灰色模型介紹

1．1 GM（1，1）模型

灰色模型預(yù)測是在數(shù)據(jù)不呈現(xiàn)一定規(guī)律下可以采取的一種建模和預(yù)測方法，其預(yù)測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)存在一定的規(guī)律相似性．灰色模型尤其適用于存在不確定性和未知因素的動態(tài)預(yù)測．最簡單最常用的灰色模型為GM（1，1）模型．其主要理論是以灰色模塊為基礎(chǔ)，通過數(shù)據(jù)處理和微分?jǐn)M合，進行動態(tài)預(yù)測．GM（1，1）模型如下．

1）建立原始時間序列

2）初始數(shù)據(jù)處理 對原始數(shù)據(jù)進行一次累加，形成新的時間序列，記1－AGO，為

其中：k為原始數(shù)據(jù)個數(shù)；

3）建立灰色微分方程

一階微分方程又稱白化方程，積分后可得到灰色模型

式中：b為模型的發(fā)展系數(shù)；u為待定系數(shù)；z為1－AGO序列相鄰時間間隔內(nèi)的增長量，其值為

4）函數(shù)求解 為簡化計算，假定相鄰時間間隔內(nèi)無突變，以均值代替積分值，取Z（1）為

式中：

假定φ為待辨識參數(shù)向量，可由最小二乘法求得

式中：

解微分方程得到灰色微分方程的時間響應(yīng)函數(shù)為

5）預(yù)測方程 經(jīng)過累減，進行數(shù)據(jù)還原可以得到原序列的預(yù)測值

1．2 GM（1，1）模型的改進

傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）模型短期預(yù)測精確度較高，但中長期預(yù)測效果并不好，有可能出現(xiàn)預(yù)測值偏大的結(jié)果．這主要與灰色模型的序列光滑度有關(guān)．一般地，通過指數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)復(fù)合變換，將初始序列變換為1－AGO序列，使序列變化趨于平緩，從而提高序列光滑度．

此外，從時間響應(yīng)函數(shù)的解的形式可以看出，方程解的精度實際上取決于發(fā)展系數(shù)b的取值，而b的取值與相鄰時間間隔增長量z密切相關(guān)．由于假定數(shù)據(jù)在相鄰時間間隔內(nèi)無突變，以均值代替z的積分值的辦法簡化計算，當(dāng)發(fā)展系數(shù)取值較小時，傳統(tǒng)模型預(yù)測值滿足精確要求，若發(fā)展系數(shù)偏大，則傳統(tǒng)模型不再適用．文獻［2］通過z值處理，即用積分逼近真實值代替均值計算相鄰時間間隔增長量z，來拓展發(fā)展系數(shù)b的取值范圍．經(jīng)過傳統(tǒng)模型與z值處理模型在不同發(fā)展系數(shù)下的擬合精度比較，驗證了z值處理后的模型可提高b的取值范圍，從而增強模型的適用性．

本文采用冪函數(shù)變換對初始數(shù)列處理，同時以積分逼近值代替均值提高發(fā)展系數(shù)取值，從而得到了比原GM（1，1）模型模擬精度高和適用范圍更廣的新模型．

1）原始序列處理 引入冪函數(shù)a－xm（a＞1，m＞1），將x（0）進行冪函數(shù)變換，得到新的序列x（1），對于序列x（1），累加得到1－AGO 序列x（2）．從冪函數(shù)的形式可以看出，不同的a和m 的取值，會產(chǎn)生不同的新序列，從而得到不同的預(yù)測模型．文獻［3］經(jīng)過數(shù)學(xué)定理驗證了只要滿足a＞1，m＞1，冪函數(shù)即為光滑離散函數(shù)，通過相應(yīng)的冪函數(shù)變換提高序列的光滑度．為得到效果較好的預(yù)測模型，通常采用試算的方法，通過多次數(shù)據(jù)擬合，選定一組使得預(yù)測模型擬合精度較好的a和m值，從而確定冪函數(shù)的形式，進行冪函數(shù)變換．

2）z值積分逼近 文獻［4］從灰色模型原理出發(fā)，認(rèn)為一切經(jīng)過累加后的序列，均以指數(shù)形式增長．將x（2）以指數(shù)時間函數(shù)擬合，即：x（2）（t）＝B eAt，經(jīng)過累加變化，得到從而得到z（i）的積分逼近值為

3）預(yù)測方法 重復(fù)前節(jié)所述步驟，得到模型響應(yīng)函數(shù)，求解即得到冪函數(shù)變換序列下的預(yù)測值．然后通過指數(shù)－對數(shù)還原，得到原始序列下的預(yù)測值．

2 實例驗證

本文采取蘇北運河1990年至1996年累積貨物通過量作為原始數(shù)據(jù)，分別建立原始預(yù)測模型和本文改進預(yù)測模型，運用自編matlab程序計算，預(yù)測1997年至2001年貨運量．為敘述方便，下文分別記為原始模型、新模型．

2．1 響應(yīng)函數(shù)

本文通過初始數(shù)據(jù)冪函數(shù)變換、z值處理和函數(shù)響應(yīng)，建立改進的GM（1，1）模型，即新模型．經(jīng)過多次數(shù)據(jù)擬合，選取a取1．14，m取1．06，可以平均相對誤差絕對值最小，模型精度最高．經(jīng)過冪函數(shù)變換后的數(shù)據(jù)所擬合的灰色方程的響應(yīng)函數(shù)為

原始模型時間響應(yīng)函數(shù)為

2．2 模型檢驗

建立的預(yù)測模型是否合理，預(yù)測結(jié)果的精度是否滿足要求，通常采用原點檢驗法檢驗．原點檢驗法即以相對誤差絕對平均值來反映原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)的接近程度，一般地，當(dāng)相對誤差絕對平均值小于5%時，可以認(rèn)為模型誤差合格．

經(jīng)過函數(shù)響應(yīng)，得到原始模型和新模型的預(yù)測結(jié)果，現(xiàn)通過原點檢驗法檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院途龋畠赡Ｐ蛿M合量及誤差分析見表1．各模型的相對誤差絕對平均值在允許范圍內(nèi)，其建立的擬合曲線可以作為預(yù)測曲線使用．

表1 模型擬合量與誤差比對表

2．3 模型預(yù)測

運用原始模型和新模型預(yù)測1997～2009年蘇北運河船閘累積貨物通過量．1997～2001年為短期預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表2；2002～2009年為中長期預(yù)測［5－7］，預(yù)測結(jié)果見表3．

2．4 模型精度分析

現(xiàn)繪出模型短期預(yù)測曲線與實際量曲線比對圖（見圖1），結(jié)合上節(jié)各擬合、預(yù)測表，可以得出以下結(jié)論：（1）兩模型擬合值關(guān)聯(lián)度較好、相差不大，而預(yù)測值差異很大．從預(yù)測結(jié)果來看，新模型無論短期預(yù)測還是中長期預(yù)測，預(yù)測結(jié)果比較接近實際值，而原始模型預(yù)測值與實際值差異較大．2001年原始模型預(yù)測量超過實際量40%以上，原始模型短期預(yù)測效果并不理想．而2009年預(yù)測結(jié)果來看，原始模型預(yù)測量與實際貨運量的比值達到220%，原始模型基本不適用于中長期預(yù)測；（2）原始模型擬合量相對誤差絕對平均值為2．28%；而新模型擬合量相對誤差絕對平均值為1．80%．后者誤差平均值較前者減小了約1／5；（3）從短期預(yù)測曲線來看，新模型預(yù)測曲線較為平緩，且接近實際量走勢線；原始模型預(yù)測曲線較陡，偏離實際值走勢線．

表2 1997～2001年蘇北運河船閘累積貨物通過量億t

表3 2002～2009年蘇北船閘累積貨物通過量 億t

顯然，新模型預(yù)測結(jié)果較好、精度較高、適用范圍更廣．這是由于新模型結(jié)合了冪模型和z模型的改進特性，不僅預(yù)測結(jié)果趨于平穩(wěn)、接近實際值，又有效提高了模型精度、增強了模型適應(yīng)性．

圖1 模型短期預(yù)測曲線與實際運量曲線比對圖

3 結(jié)束語

由表3可見，自2004年起蘇北船閘累積貨運實際量比新模型預(yù)測量偏高．這是由于“十一五”期間，蘇北10個梯級船閘陸續(xù)開展了擴容改造工程建設(shè)，蘇北船閘累積貨物通過量明顯提高．由于新模型以1997年以前數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，未能及時反映數(shù)據(jù)變化新特性，新模型預(yù)測量偏于保守．在實際船閘工程貨物通過量預(yù)測中，還要充分考慮國民經(jīng)濟發(fā)展趨勢，結(jié)合其他預(yù)測方法的結(jié)果，綜合考量，確定合理的預(yù)測量．

綜上所述，新模型既適用于短期預(yù)測，又適用于中長期預(yù)測，可以作為船閘貨運量預(yù)測模型廣泛應(yīng)用于實際工程中．

［1］吳春廣．灰色預(yù)測模型的進一步改進［J］．赤峰學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，24（5）：5－7．

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［5］錢 芳．水運量預(yù)測方法與應(yīng)用［D］．南京：河海大學(xué)交通學(xué)院，2006．

［6］文 軍．基于灰色馬爾可夫鏈模型的航空貨運量預(yù)測研究［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2010，34（4）：695－698．

［7］宋中民．灰色區(qū)間預(yù)測的新方法［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2002，26（6）：796－799．