對(duì)中職學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)

李碧璀

（廈門工商旅游學(xué)校 福建 廈門 361012）

對(duì)中職學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)

李碧璀

（廈門工商旅游學(xué)校 福建 廈門 361012）

舉例闡述了中職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，如何在數(shù)學(xué)解題上采用由易到難，由基礎(chǔ)到深入的方法，對(duì)中職學(xué)生在數(shù)學(xué)解題反思方法上進(jìn)行引導(dǎo)，逐步培養(yǎng)中職學(xué)生的數(shù)學(xué)解題反思能力，從而提高中職學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

中職學(xué)生；數(shù)學(xué)解題；反思能力；培養(yǎng)

自古以來(lái)，我國(guó)教育家就強(qiáng)調(diào)反思意識(shí)，“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，“吾日三省吾身”等至理名言就是印證，他們強(qiáng)調(diào)學(xué)與思的統(tǒng)一，注重學(xué)習(xí)后的反思。數(shù)學(xué)解題中的反思，特指學(xué)生在練習(xí)過程中適時(shí)回望學(xué)習(xí)經(jīng)歷、及時(shí)修正解題策略、監(jiān)控調(diào)節(jié)解題過程的思維過程，其最終目的是促進(jìn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的有效達(dá)成。數(shù)學(xué)解題反思是提高解題能力的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，解題反思貫穿解題學(xué)習(xí)的全過程，也是對(duì)解題的元認(rèn)知過程。在實(shí)際解題過程中，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的限制及非認(rèn)知因素的影響，學(xué)生往往表現(xiàn)出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)不求甚解，不善于對(duì)自己的思考過程進(jìn)行反思，缺乏解題后對(duì)解題方法、解題中反映出的數(shù)學(xué)思維方法、特殊問題所包含的一般意義的概括，導(dǎo)致獲得的知識(shí)系統(tǒng)性弱、結(jié)構(gòu)性差。尤其是中職生，他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣不大，基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，做題相當(dāng)被動(dòng)，讓學(xué)生在解題過程中養(yǎng)成解題反思習(xí)慣，從而提高數(shù)學(xué)能力，有很重大的意義。

培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)

態(tài)度是做好一切事情的前提，是成功的基礎(chǔ)。因此，在培養(yǎng)學(xué)生解題反思習(xí)慣時(shí)，首先應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的反思態(tài)度、反思意識(shí)。多數(shù)中職生的學(xué)習(xí)習(xí)慣不是很好，他們往往不愿花太多時(shí)間在學(xué)習(xí)上；但是他們尚能意識(shí)到數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科的重要性。所以，在一開始，可以把解題反思的重要性和必要性告訴學(xué)生，先使他們的思想中有反思意識(shí)，然后再由易到難，就審題、解題過程、解題后如何進(jìn)行反思對(duì)學(xué)生進(jìn)行方法上的引導(dǎo)，使他們逐步養(yǎng)成習(xí)慣。

在教學(xué)實(shí)踐中，很多中職生往往是看到數(shù)學(xué)題后根本不知道從何下手，哪怕最簡(jiǎn)單的題目。因此，在一開始，可以通過波利亞的“怎樣解題”四步驟來(lái)進(jìn)行解題任務(wù)分解，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思。

例1：已知等差數(shù)列的第6項(xiàng)是5，第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的和也是5，求這個(gè)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和。

步驟二：擬定計(jì)劃。問題3：怎樣求解本題？通過對(duì)題目的分析，要求出Sn需要先求出a1，再根據(jù)解題需要求出d或者an。顯然本題要求出an也需先求出d，所以，為了簡(jiǎn)化步驟就選擇公式（2）。

步驟三：實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。用通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d求出a1和d。師：“本題的a1和d能直接求出來(lái)嗎？”生：“不能”。師：“該怎么辦？”生：“要列方程”。師：“對(duì)。怎樣列？”生1：“根據(jù)已知條件中a6=a1+（6-1）d列出第一個(gè)方程；再根據(jù)已知條件中a3+a8=a1+（3-1）d+a1+（8-1）d列出第二個(gè)方程。連立方程組?！鄙?：“或者把第一個(gè)方程中的a1用d表示代入第二個(gè)方程?！睅煟骸皩?duì)。然后呢？”生：“把所求出的a1和d，n=9代如公式（2）既可求解。”

步驟四：回顧。（1）正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的。（2）回顧這個(gè)解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息。這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃（包括解題策略）。（3）在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出“激活——擴(kuò)散”的基本過程，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中的解題方法，然后根據(jù)各種方法的適用條件選定本題的解法。在本題的教學(xué)中，應(yīng)先讓學(xué)生思考該用什么數(shù)學(xué)知識(shí)、方法解決問題，通過幫助學(xué)生整理思維過程，反思解題過程中數(shù)學(xué)公式之間的聯(lián)系，促進(jìn)解題思維常規(guī)化，從而才有可能反思數(shù)學(xué)思維過程，優(yōu)化解題思路，讓學(xué)生經(jīng)過思考與探索，促進(jìn)反思，提高反思能力。

提高學(xué)生的綜合解題能力

在學(xué)生學(xué)會(huì)了初步的反思方法之后，可以進(jìn)一步要求學(xué)生積極反思，探求一題多解，提高綜合解題能力。

一個(gè)數(shù)學(xué)問題，由于審視的角度不同，往往會(huì)得到多種不同的解題方法。在教學(xué)中，教師在學(xué)生掌握基本解法的基礎(chǔ)上，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生去反思，去探討和尋求更好、更簡(jiǎn)捷的解法，使學(xué)生通過反思，學(xué)會(huì)從不同角度、不同方位去審視、去思考，從而溝通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路、最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法，不能解完題就罷手。

例2：已知三點(diǎn)A（1，2），B（3，3），C（7，5），求證：A、B、C三點(diǎn)共線。

對(duì)知識(shí)點(diǎn)做橫向與縱向比較

很多學(xué)生做題易就事論事，就題論題，不能通過反思對(duì)各知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行比較、小結(jié)，從而將知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，形成有效的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，導(dǎo)致掌握的知識(shí)支離破碎，容易遺忘。

例3：判斷下列5個(gè)命題中正確的命題是____：（1）若y=f（x）為偶函數(shù)，則y=f（x+2）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱x=2；（2）若y=f（x+2）為偶函數(shù)，則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；（3）若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱；（4）若f（x+ 2）=-f（-x)，則y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱；（5）函數(shù)y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱。

這個(gè)問題的正確答案是（2）和（5）。這道題目需要我們反思所有與函數(shù)相關(guān)的對(duì)稱性知識(shí)點(diǎn)，并通過對(duì)這5個(gè)命題做橫向比較，弄清函數(shù)的對(duì)稱問題。比較（1）、（2），我們要弄清的問題是：偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，倘若y=f（x）為偶函數(shù)，則y=f（x+2）是由y=f（x）向左平移2個(gè)單位得到，所以y=f（x+2）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱；倘若y=f（x+2）為偶函數(shù)，則y=f（x）是由y=f（x+2）向右平移2個(gè)單位得到，所以y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱。比較（3）、（4），我們要弄清的是關(guān)于函數(shù)自身的對(duì)稱問題的兩個(gè)重要結(jié)論，結(jié)論1：函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是：對(duì)定義域內(nèi)的任意x都滿足f（a+ x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。結(jié)論2：函數(shù)y=f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的充要條件是：對(duì)定義域內(nèi)的任意x都滿足f（a+x）+f（ax）=2b，即f（x）+f（2a-x）=2b。所以，若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱；若f（x+2）=-f（-x），則y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱。比較（3）、（5），我們要弄清函數(shù)的對(duì)稱分為：函數(shù)自身的對(duì)稱性與兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱性。所以對(duì)于命題（5），就不能套用上述關(guān)于函數(shù)自身對(duì)稱問題的那兩個(gè)結(jié)論。首先，我們知道y=f（x）與y=f（-x）是關(guān)于x=0對(duì)稱，而y=f（x-2）和y=f（2-x）分別是由y=f（x）和y=f（-x）向右平移兩個(gè)單位得到，所以函數(shù)y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱。

經(jīng)常對(duì)做過的題目做這樣縱向或者橫向的知識(shí)反思和比較，做歸納與總結(jié)，可以讓學(xué)生對(duì)自己學(xué)過的內(nèi)容有較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到會(huì)做一題就會(huì)做百題的效果。

總結(jié)

綜上所述，可歸納總結(jié)解題反思的步驟如下：一是進(jìn)行審題反思，就是應(yīng)該反思如何審題。這里要指出的是，反思不一定在解題之后，也可以在解題之前或解題之中，在遇到一個(gè)新穎的題目時(shí)，我們應(yīng)該要搞清未知數(shù)是什么，已知數(shù)據(jù)是什么，條件是什么，要確定未知數(shù)，條件是否充分，把條件的各個(gè)部分分開來(lái)分析，甚至可以畫圖引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。這樣可以給我們提供一個(gè)數(shù)學(xué)建模的模式，也有利于我們分析題目。二是反思解法，擬定計(jì)劃。反思以前是否見過這個(gè)題目，是否見過相同的問題只是形式不同而已，以及是否知道與此類問題有關(guān)的公式或者定理。三是反思計(jì)劃，敘述解法。數(shù)學(xué)是培養(yǎng)邏輯思維的，所以我們要注意反思，這樣才能讓我們的數(shù)學(xué)能力有質(zhì)的提高。四是查漏補(bǔ)缺，反思解題過程，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)。要思考：對(duì)你的求解過程自己檢驗(yàn)過嗎？你能否用別的方法來(lái)解這個(gè)題目？你用的這個(gè)方法或結(jié)果能否用于解決其他問題？五是反思基本的解題模式，做到舉一反三。要在解題中抽象出基本的解題模式，并系統(tǒng)小結(jié)，對(duì)知識(shí)點(diǎn)做橫向與縱向的比較，形成牢固的知識(shí)體系。

我校通過對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)解題的自覺性、主動(dòng)性，促進(jìn)了學(xué)生良好解題反思習(xí)慣、反思意識(shí)的形成，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，很多問題只要聯(lián)系所學(xué)知識(shí)自己都能解決，而且通過自己的思考，對(duì)于做錯(cuò)的地方也更能理解。養(yǎng)成良好的解題反思習(xí)慣后，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性有了很大提高，學(xué)習(xí)興趣也濃厚了。教師都是引導(dǎo)學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，而不是一味灌輸，使學(xué)生懂得了要經(jīng)歷“感知——領(lǐng)悟——運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程。

引導(dǎo)學(xué)生解題反思能優(yōu)化學(xué)生思維，促進(jìn)學(xué)生的思維升華到一個(gè)更高的水平，使學(xué)生獲得深入學(xué)習(xí)所必需的思維品質(zhì)，真正體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念?？傊囵B(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的反思能力，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，更可以促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，為學(xué)生獲得終身受用的基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能奠定基礎(chǔ)。

[1]張定強(qiáng)，趙宏淵.論數(shù)學(xué)反思能力[J].課程·教材·教法，2005，25（3）：49-54.

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李碧璀（1968—），女，福建廈門人，碩士，廈門工商旅游學(xué)校講師，研究方向?yàn)檎n程。

（本文責(zé)任編輯：謝良才）

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1672-5727（2012）04-0103-02