納稅優(yōu)化模型——對分段函數(shù)教學(xué)的嘗試

壽煥君，鄭玉仙

(浙江水利水電專科學(xué)校，浙江 杭州 310018)

0 引言

在高等教育越來越大眾化的今天，如何上好《微積分》這門經(jīng)典的學(xué)科，是筆者一直在考慮的問題.在浙江水利水電專科學(xué)校經(jīng)管等專業(yè)開設(shè)的《高等數(shù)學(xué)C》這門課上，在講到分段函數(shù)這個概念時，在例舉了絕對值函數(shù)、符號函數(shù)、最大取整函數(shù)等經(jīng)典分段函數(shù)后，結(jié)合去年剛剛實施的新個人所得稅納稅規(guī)則，通過引入數(shù)學(xué)模型，對分段函數(shù)的教學(xué)做了些嘗試.

在向?qū)W生簡單介紹個人所得稅納稅規(guī)則的發(fā)展史后，然后著重介紹2011年9月1日以后生效的新的個人所得稅法即《中華人民共和國個人所得稅法實施條例》［1］.新條列在扣除“基本養(yǎng)老保險費、基本醫(yī)療保險費、失業(yè)保險費及通訊費”等費用(稱稅收規(guī)定的扣除費用)，將免征額提高到3500元，采用了一個7級超額累進稅率表，見表1.全月應(yīng)納稅所得額=每月總收入－稅收規(guī)定的扣除費用－3500元.

表1 7級超額累進稅率表

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，隨著收入水平的提高，個所得稅的納稅主體隨收入水平的提高而迅速擴大;同時，隨著我國稅收法律制度的不斷完善，個人工資薪金所得越來越多的進入納稅范圍，個人所得稅對我校教師收入影響范圍越來越廣，影響程度越來越深.如何合理利用個人所得稅規(guī)則，在CPI高漲不下的今天，對個人所得稅進行合理籌劃成為一個很重要的任務(wù).

1 模型的初步分析

浙江水利水電?？茖W(xué)校絕大部分教工的收入有三塊構(gòu)成，每個月必發(fā)的基本工資(N1);每個月發(fā)的基礎(chǔ)崗位津貼(N2)和課時酬金(對行政人員來說，就是一次性補發(fā)的津貼)(N3).不妨稱每個月發(fā)的基礎(chǔ)崗位津貼(N2)的總數(shù)和課時酬金(N3)這一部分錢為年終獎(12N2+N3).目前學(xué)校先預(yù)發(fā)，然后在年終根據(jù)實際情況多還少補.根據(jù)學(xué)校過去幾年的收入狀況以及今年的預(yù)算，對12N2+N3這部分錢每人都有一個預(yù)算額.對這部分錢的發(fā)放，有兩個選擇:(1)每個月發(fā)若干，分12月發(fā)完;(2)12個月中每月發(fā)部分，剩余部分按照全年一次性獎金發(fā)放，假設(shè)這一部分錢在每年的12月份發(fā)放.

而全年一次性發(fā)放的年終獎，根據(jù)在2005年2月國家稅務(wù)總局下達(dá)的《關(guān)于調(diào)整個人取得全年一次性獎金等計算征收個人所得稅方法問題的通知》［2］，納稅人取得全年一次性獎金，單獨作為一個月的工資.適用稅率的確認(rèn)方法是，先將當(dāng)月取得的全年一次性獎金除以12個月，按其商數(shù)確定適用稅率和速算扣除數(shù);且在一個納稅年度，對每一個納稅人，該計稅辦法只能采用一次.按照7級超額累進稅率表確定適用稅率和速算扣除數(shù)并按以下辦法計稅:如果雇員當(dāng)月工資薪金所得高于(或等于)稅法規(guī)定的扣除費用，適用公式為:應(yīng)納稅額=全年一次性獎金×適用稅率－速算扣除數(shù);如果雇員當(dāng)月工資薪金所得低于稅法規(guī)定的扣除費用，適用公式為:應(yīng)納稅額=(全年－次性獎金－當(dāng)月工資所得與法定扣除費用的差額)×適用稅率－速算扣除數(shù).

根據(jù)目前個稅的規(guī)定，按照方案1還是方案2發(fā)錢，會直接導(dǎo)致個人納稅額產(chǎn)生很大的不同.在介紹完這些后，我給學(xué)生布置了一個大作業(yè)(不用做作業(yè)本上，但是必須回去認(rèn)真思考的)，針對浙江水利水電?？茖W(xué)校教工的收入狀況，給出一個模型，算出一年所交的最少稅額.

2 個人所得稅模型的建立

設(shè)法定扣除費用為x0.顯然若當(dāng)月總收入 ＜x0或當(dāng)月總收入雖大于x0但是兩者的差 ＜3500元的，則不用交稅.所以，以下設(shè)x為扣除法定費用和3500元的免征額之后剩下的金額，按照新稅法，個人應(yīng)當(dāng)繳納的個人所得稅函數(shù)t(x)為:

設(shè)全年一次性獎金為X，該獎金在12月份發(fā)放，設(shè)12月份的總收入為x12，則年終獎的納稅函數(shù)為:

3 模型的深層分析和求解

納稅總額S分成兩個部分，每個月發(fā)的一部分以及年終一次性發(fā)的一部分.根據(jù)優(yōu)化理論［3］，求最小S的一個必要條件是每月發(fā)的一部分納稅最少.為此，有以下的定理.

定理1 假設(shè)沒有年終獎，在稅前年收入為定值N元時，將N平均分配到12個月，即每月發(fā)能使得應(yīng)繳稅額最少.

證明:稅法規(guī)定分檔計算個人所得稅.稅前12個月的總收入為N，平均分配總收入，每個月發(fā)，月收入稅率計算到某一級，假設(shè)稅率為p%，稅收為S.假設(shè)月收入中有A元用稅率p%級別計算，則用p%之前的稅率計算.

假設(shè)從第i個月中取出B元分到其它月，分配狀態(tài)發(fā)生變化，則有如下4種情況:

(1)B≤A

將B分到除第i個月以外的其它月，某個月j(j≠i)分到B元，則第j個月的收入為+Bj.若 Aj+ Bj仍在p%這個稅率級別內(nèi)，在新狀態(tài)下應(yīng)繳稅S':

即在這種狀況下，所繳稅不變.

(2)B≤A

同樣將B分到除第i個月以外的其它月，某個月j(j≠i)分到Bj元，則第j個月的收入為+Bj.若至少有一個月，假設(shè)第k個月的總收入A+Bk超出稅率p%所在的級別，進入到p%之后的某個稅率q%所在的級別(q% ＞p%).在新狀態(tài)下應(yīng)繳稅S'，則

在這種狀況下，所繳稅增加了.

(3)B＞A

第i月中B－A的稅率所在的級別降低，假設(shè)現(xiàn)在的稅率為t%(p% ＞t%)，同樣將B分到除第i個月以外的其它月，某個月j(j≠i)分到Bj元，則第j個月的收入為+B.若A+B仍在p% 這個稅率級jj別內(nèi)，在新狀態(tài)下應(yīng)繳稅S'＞S，證明跟(1)類似.

(4)B＞A

則第i月中B－A的稅率所在的級別降低，假設(shè)現(xiàn)在的稅率為t%(p% ＞t%)，同樣將B分到除第i個月以外的其它月，某個月j(j≠i)分到Bj元，則第j個月的收入為+B.若至少有一個月，假設(shè)第k個j月的總收入A+Bk超出稅率p%所在的級別，進入到p%之后的某個稅率q%所在的級別(q% ＞p%).在新狀態(tài)下應(yīng)繳稅S'＞S，證明跟(2)類似.

綜上所述，在沒有年終獎下，將一年總收入按照12月份均發(fā)，所繳稅收最少.

而在有年終獎時，有MATLAB編程［4］，得出:

定理2 在有年終獎時，崗位津貼和課時酬金每月均發(fā)大部分，余下的錢作為年終獎金一次性發(fā)放，所交的個人所得稅會最少，每月均發(fā)多少因總收入N的不同而不同，見圖1.

圖1 年終獎

4 實證分析

筆者以自己的收入，運行了一下，基本工資算2300元，每月養(yǎng)老金等免交稅算800元，崗位津貼算21600元，課時酬金算28000元(以年400當(dāng)量學(xué)時，課時酬金70元當(dāng)量學(xué)時).如果按照崗位津貼均發(fā)，課時津貼均發(fā)，在新稅制下，一年交稅1299.6元;利用上面的模型，年終獎發(fā)10000，余下的錢 12月均發(fā)，只要交 768元的稅，少交533.6 元!

在分段函數(shù)的教學(xué)中，通過引入個人所得稅模型，一方面讓學(xué)生領(lǐng)略了數(shù)學(xué)建模的過程，同時也讓他們感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用就在身邊，從而極大的激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)《微積分》的興趣.

［1］新華社.中華人民共和國個人所得稅法實施條例［EB/OL］.2011 －07 －27［2012 －07 －27］.http://news.ifeng.com/mainland/detail_2011_07/27/7981824_0.shtml.

［2］國家稅務(wù)總局.中華人民共和國國家稅務(wù)總局關(guān)于調(diào)整個人取得全年一次性獎金等計算征收個人所得稅方法問題的通知［EB/OL］.2005 －01 －29［2012 －07 －27］.http://www.chinatax.gov.cn/n8136506/n8136593/n8137681/n11620715/n11649202/11649918.html.

［3］陳 陳.優(yōu)化方法和最優(yōu)控制［M］.3版.北京:北京機械工業(yè)出版社，2008.

［4］王沫然.MATLAB與科學(xué)計算［M］.2版.北京:電子工業(yè)出版社，2003.