仿射變換對(duì)二維蕨類(lèi)形狀控制的研究

包 曄

(浙江水利水電專(zhuān)科學(xué)校，浙江 杭州 310018)

0 引言

傳統(tǒng)幾何學(xué)研究對(duì)象主要是規(guī)則幾何體的形狀，而新興的分形幾何學(xué)研究對(duì)象是非規(guī)則的幾何形體，即分?jǐn)?shù)維物體或圖形.事實(shí)上，自然界中許多景物，包括樹(shù)、花、草等植物以及地形、山脈、云彩等都是分?jǐn)?shù)維的，所以研究植物、地形等的計(jì)算機(jī)圖形顯示方法具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.目前國(guó)內(nèi)外對(duì)此都已有研究［1－2］.

但是，在經(jīng)典的二維蕨類(lèi)植物模擬方面對(duì)形狀控制方法目前還缺乏研究，本文將重點(diǎn)對(duì)二維蕨類(lèi)植物生成的形狀及彎曲方向控制方法進(jìn)行研究，其主要思想是通過(guò)對(duì)仿射變換矩陣系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)分析.

1 基本概念

1.1 仿射變換

仿射變換是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中幾何變換的重要研究?jī)?nèi)容，也是函數(shù)迭代系統(tǒng)(IFS)中經(jīng)常用到的重要概念.仿射變換包括對(duì)圖形做繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)、放縮、平移以及更一般的變換等.

定義1 二維歐氏空間中的仿射變換為ω:R2→ R2，X= ［x，y］T是此二維空間中的一點(diǎn)，則定義其仿射變換映射像為 X'= ［x'，y］T，即:

其中:參數(shù) a，b，c，d，e，f均為實(shí)系數(shù)，它們完全確定一個(gè)仿射變換.可以將其分解為平移、旋轉(zhuǎn)和放縮等，用下式表示:

其中，e和f—x和y方向上的平移分量;

θ和φ—分別是繞x、y軸的轉(zhuǎn)角;

r和q分別是x和y方向上的放縮比例因子.

1.2 隨機(jī)迭代算法

設(shè){X;ω1，ω2，ω3，…，ωN}是一個(gè)(雙曲)IFS，其中每一個(gè)ωi具有一個(gè)概率pi＞0，且p1+p2+…+pN=1.選取任一點(diǎn)X0∈X為初始點(diǎn)，然后遞歸地隨機(jī)選取下述集合中的一個(gè)點(diǎn)作為xn，n=1，2，…，于是有:xn∈ {ω1(xn－1)，ω2(xn－1)，ω3(xn－1)，…，ωN(xn－1)}.

最終得到序列{xn}?X，收斂于IFS的吸引子.

2 形狀控制方法

若取仿射變換序列中各仿射變換的系數(shù)及該仿射變換被選取的概率見(jiàn)表1.

表1 仿射變換系統(tǒng)選取概率表

其中，迭代次數(shù)itn為50000次，仿射變換的個(gè)數(shù)為 4 個(gè)，sx，sy為 x，y 方向的比例系數(shù)，r=a，q=b，θ =c，φ =d，e，f即為仿射變換矩陣的相應(yīng)的值，p為各仿射變換被選取的幾率.sx=30，sy=30，count=15.運(yùn)行后得圖1.

若仿射變換的旋轉(zhuǎn)變量c，d相應(yīng)的值都取反，即見(jiàn)表2.

表2 仿射變換旋轉(zhuǎn)變量選取概率表

則運(yùn)行后可得圖2.可見(jiàn)，蕨類(lèi)植物的生成方向可由旋轉(zhuǎn)變量θ，φ來(lái)控制.

圖1 表1仿射變換效果圖 圖2 旋轉(zhuǎn)后效果圖圖

可以對(duì)a，b，c，d這四個(gè)系數(shù)逐一分析研究，即保持其他的三個(gè)量不變，而讓其中的一個(gè)系數(shù)變化.因?yàn)榈诙€(gè)仿射變換出現(xiàn)的幾率大，所以在對(duì)各仿射變換系數(shù)的分析中，只對(duì)第二個(gè)仿射變換的數(shù)據(jù)進(jìn)行變化.

2.1 對(duì)系數(shù)r進(jìn)行分析

將數(shù)據(jù) a 分別取為:0.851 －0.08，0.851 －0.06，0.851 － 0.04，0.851 － 0.02，0.851，0.851+0.02，0.851+0.04，可得圖3.

由圖3可知:

x軸上的比例放縮量r

(1)決定蕨類(lèi)植物葉片繞x軸的旋轉(zhuǎn)(或伸展)幅度，也決定葉片的彎曲程度.

(2)決定各子葉片的間隙的大小.

(3)決定各子葉片的大小.

圖3 系數(shù)r對(duì)蕨類(lèi)形狀控制效果圖

2.2 對(duì)系數(shù)q進(jìn)行分析，保持其他量不變

將 b 分別取為:0.851 － 0.04，0.851 － 0.02，0.851，0.851+0.02，0.851+0.04，可得圖 4.

圖4 系數(shù)q對(duì)蕨類(lèi)形狀控制效果圖

由圖4可知:

(1)y軸上的比例放縮量q決定蕨類(lèi)植物葉片在x軸、y軸方向(即屏幕的上下、左右)的伸展幅度，也即決定葉片在x軸、y軸上的放縮.

(2)當(dāng)q太小時(shí)，蕨類(lèi)植物的葉片會(huì)出現(xiàn)脫節(jié)現(xiàn)象.

(3)y軸上的比例放縮量q在一定程度上決定葉片的彎曲程度.

2.3 對(duì)系數(shù)θ進(jìn)行分析，保持其他量不變

將 c分別取為:0.0 －0.08，0.0 －0.04，0.0，0.0+0.04，0.0+0.08;可得圖 5.

由圖可知:

(1)θ決定蕨類(lèi)植物葉片隨著從葉根部到葉尖，葉片繞葉莖的扭轉(zhuǎn)程度.即越到葉尖，葉片繞葉莖扭轉(zhuǎn)得越厲害.

(2)θ決定蕨類(lèi)植物葉片隨著從葉根部到葉尖，葉片往哪里偏，即決定莖左右葉子向葉莖的靠攏程度.

(3)θ決定蕨類(lèi)植物葉片的彎曲程度.

(4)θ決定蕨類(lèi)植物葉片左右子葉片的尖細(xì)(或?qū)捳?程度.

圖5 系數(shù)θ對(duì)蕨類(lèi)形狀控制效果圖

2.4 對(duì)系數(shù)φ進(jìn)行分析，保持其他量不變

將 d 分別取為:0.0 －0.02，0.0，0.0+0.02，0.0+0.04，0.0+0.06，0.0+0.08;可得圖6.

由圖可知:

(1)φ決定蕨類(lèi)植物的葉片莖的生成方向，即蕨類(lèi)植物葉片的方向.

(2)φ決定蕨類(lèi)植物的葉莖與生長(zhǎng)在其上的葉片的莖的角度的大小.

(3)φ決定蕨類(lèi)植物的葉片的彎曲程度.

圖6 系數(shù)φ對(duì)蕨類(lèi)形狀控制效果圖

3 結(jié)語(yǔ)

本文給出了通過(guò)調(diào)節(jié)仿射變換系數(shù)來(lái)控制二維蕨類(lèi)植物生成的形狀和彎曲方向的方法，能較好地控制蕨類(lèi)植物葉片的生成形狀.但目前的方法還不能做到精確控制，即不能夠控制葉片生成的精確角度和葉片的精確大小，這個(gè)問(wèn)題還有待于進(jìn)一步研究.

［1］金以文.分形幾何原理及其應(yīng)用［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，1998.

［2］倪明田，吳良之.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1999.

［3］向世明.OpenGL編程與實(shí)例［M］.北京:北京電子工業(yè)出版社，1999.

［4］林 勇，宋 征.VisualC++6.0應(yīng)用指南［M］.北京:人民郵電出版社，1999.