OFDM系統(tǒng)中一種雙選擇性稀疏信道壓縮感知方法

劉開華，陳偉凱，馬永濤

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津 300072)

正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing，OFDM)是下一代移動通信的核心技術(shù)，所采用的多載波高速傳輸技術(shù)允許子信道的頻譜相互重疊，從而可以實(shí)現(xiàn)極高的頻譜利用率．然而，OFDM 系統(tǒng)對相位噪聲和載波頻偏非常敏感，這對子載波之間的正交性提出了嚴(yán)格的要求．因此，在OFDM 系統(tǒng)接收端，往往需要知道精確的信道狀態(tài)信息(channel state information，CSI)才能有效對抗信道衰落，實(shí)現(xiàn)信號的準(zhǔn)確接收．

在實(shí)際的無線信號傳輸中，雙選擇性的多徑信道通常由少數(shù)的主要路徑簇所主導(dǎo)，因此所呈現(xiàn)的物理信道常具有稀疏特性．而當(dāng)信號的傳輸帶寬較大或天線個數(shù)較多時(shí)，信道的稀疏特性尤為明顯[1]． 由于稀疏信道只有少數(shù)非零抽頭，傳統(tǒng)的基于導(dǎo)頻序列的方法(如基于導(dǎo)頻的線性插值和 FFT插值法)極有可能采樣到信道的零抽頭，而無法準(zhǔn)確地插值出信道響應(yīng)[2]．為了突破傳統(tǒng)算法的瓶頸，近幾年來，國內(nèi)外相繼有一些學(xué)者將壓縮感知技術(shù)[3-6]應(yīng)用到對稀疏信道的估計(jì)[7-12]中，其中包括 OFDM 系統(tǒng)[9-10]、超寬帶(ultra wide band，UWB)系統(tǒng)[11]和水聲通信系統(tǒng)[12]等．作為應(yīng)用數(shù)學(xué)和信號處理領(lǐng)域的一大突破，壓縮感知(compressive sensing，CS)理論表示當(dāng)信號是可壓縮的或是在某個變換域具有稀疏性時(shí)，通過采樣少量信號就能實(shí)現(xiàn)信號的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)[3]．在該理論框架下，壓縮感知技術(shù)可以充分挖掘信道的稀疏特性，能利用非常有限的導(dǎo)頻有效地恢復(fù)稀疏的信道脈沖響應(yīng)，在實(shí)現(xiàn)對稀疏信道準(zhǔn)確估計(jì)的同時(shí)，還能極大減少導(dǎo)頻數(shù)目，提高系統(tǒng)的頻譜利用率．

在已有的研究成果中，文獻(xiàn)[7]最先提出將壓縮感知的方法應(yīng)用到對稀疏信道的估計(jì)中去，并具體采用匹配追蹤(matching pursuit，MP)算法實(shí)現(xiàn)了信道估計(jì)．文獻(xiàn)[8]研究了在頻率選擇性條件下對信道進(jìn)行壓縮感知，但是并未將其應(yīng)用到多載波系統(tǒng)，也并未考慮到信道的時(shí)間選擇性．文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]分別應(yīng)用群匹配追蹤(group matching pursuit，GMP)和子空間追蹤(subspace pursuit，SP)的方法對 OFDM 系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì)，但是二者都沒有考慮到時(shí)間和頻率的雙選擇性對信道估計(jì)的影響．為此，本文重點(diǎn)研究了 OFDM 系統(tǒng)在雙選擇性衰落下的信道模型，并利用基追蹤(basis pursuit，BP)算法[13]實(shí)現(xiàn)對稀疏信道的準(zhǔn)確重構(gòu)．在模型的建立過程中，將 OFDM 系統(tǒng)的雙選擇性信道模型轉(zhuǎn)化為 CS可解的 BPIC(basis pursuit inequality constraint)模型，并利用導(dǎo)頻處的信道響應(yīng)作為 CS重構(gòu)所需的測量值．仿真結(jié)果顯示，新方法可以大大減少 OFDM 系統(tǒng)的導(dǎo)頻數(shù)，且在FFT-Linear和 FFT-FFT二維插值算法無法準(zhǔn)確估計(jì)出信道響應(yīng)的同時(shí)，BP算法仍能實(shí)現(xiàn)較高的估計(jì)精度．

1 壓縮感知理論

壓縮感知技術(shù)是針對稀疏信號的新型數(shù)據(jù)采樣和壓縮技術(shù)，其理論核心可以簡述為：對于一個長度為N的一維離散信號 x，若 x是K(K?N)稀疏的(即只有K個非零元素)，則通過選取合適的測量矩陣以獲得x在該矩陣下的線性測量值為

那么僅利用y中的M個測量值就能以很大概率重構(gòu)原始信號x．由于y的維數(shù)要遠(yuǎn)低于x的維數(shù)，因此式(1)有無窮多個解，即該問題是不適定的．然而，Candès等[6]證明，若測量次數(shù)M能滿足M＝O(Klog(N))，且測量矩陣Φ能滿足約束等距條件，則可以通過求解一個最小l0范數(shù)問題來重構(gòu)信號x，即

但 Donoho[14]指出，最小l0范數(shù)問題仍然是個NP-Hard問題，因而難以求解．為此，研究人員提出了一系列可求得近似最優(yōu)解的算法，包括MP系列算法[15-17]、BP算法[13]、迭代閾值法[18]以及專門用于圖像處理的最小全變分法[3]等．其中，以 MP系列算法和 BP算法最為常用．MP系列算法以貪婪迭代為核心思想，其運(yùn)算量相對較小，但其理論保證比基追蹤算法要弱，并非對所有的信號都能重構(gòu)，且對測量矩陣的要求比約束等距性更加嚴(yán)格．再者，MP系列算法對維數(shù)較低的小尺度信號問題運(yùn)算速度很快，但對于噪聲存在的大尺度問題，重構(gòu)結(jié)果不是很準(zhǔn)確，也不具有魯棒性．考慮實(shí)際信道中的噪聲條件，為保證OFDM 系統(tǒng)中所有的雙選擇性衰落信道都能采用壓縮感知的方法進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，本文采用精度更高的BP算法．

BP算法用l1范數(shù)替代了l0范數(shù)，即得到如下問題：

可以證明式(3)和式(2)在理論上是等價(jià)的[13].由于問題式(3)實(shí)際上是凸優(yōu)化問題，可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題加以求解．如果考慮重構(gòu)誤差及噪聲，則可以將式(3)轉(zhuǎn)化為BPIC模型，即

該問題可以利用二階圓錐規(guī)劃來求解．

2 雙選擇性衰落條件下 OFDM系統(tǒng)的信道模型

考慮單天線 OFDM 通信系統(tǒng)，通常情況下該系統(tǒng)可以建模為線性時(shí)變系統(tǒng)．在不考慮噪聲的情況下，其基帶的發(fā)射和接收信號的關(guān)系為

式中：x(t)和y(t)分別表示系統(tǒng)的發(fā)射和其對應(yīng)的接收信號；h(t，τ)代表信道的時(shí)變沖激響應(yīng)；S(υ，τ)是時(shí)延-多普勒分布函數(shù)；X(f)和H(t，f)分別是對應(yīng)x(t)和h(t，τ)的傅里葉變換；τmax和υmax是刻畫信道特性的重要參數(shù)，τmax代表信道所引入的最大時(shí)延擴(kuò)展，而υmax/2則代表信道的最大單邊多普勒頻移．假設(shè)碼元的符號寬度為T，基帶信號的帶寬為W，若信道為時(shí)間和頻率雙選擇性信道，則系統(tǒng)的符號寬度和信號帶寬都將大于其對應(yīng)的相干時(shí)間 1/υmax和相干帶寬 1/τmax，因此存在Wτmax≥1 和Tυmax≥1．

離散的信道時(shí)延-多普勒分布函數(shù)可用來表征雙選擇性信道的多徑效應(yīng)和多普勒頻移特性，即

式中：Npath表示多徑信道中存在的路徑總數(shù)；αi∈C代表第i個路徑的路徑增益；υi∈[－υmax/2，υmax/2]和τi∈[0，τmax]分別代表第i個路徑中的時(shí)延和多普勒頻移．因此，雙選擇性信道的信道響應(yīng)可以表示為

雖然式(6)很好地刻畫了物理多徑信道的傳輸特性，但由于它與信道參數(shù) [αi，υi，τi]之間的非線性關(guān)系，當(dāng)存在大量的信道參數(shù)時(shí)，很難用式(6)進(jìn)行分析．一般情況下，由于傳輸系統(tǒng)的帶寬及符號時(shí)間有限，因此，運(yùn)用采樣定理，信道響應(yīng)H(t，f)可以用離散參數(shù)來近似積分，即

由式(8)可以看出，時(shí)延域和多普勒域的最小采樣間隔分別為1/T和1/W，而L和K分別代表信道中存在的最大時(shí)延數(shù)和單邊頻移數(shù)．一個最小采樣間隔內(nèi)的時(shí)延分布或頻移分布可視為一個時(shí)延簇或多普勒頻移簇．式(9)中Lτ,l∈{i：τi∈[l/W－1/2,W，l/W＋1/2,W)}和Lυ,k∈{i：υi∈[k/T－1/2,T，k/T＋1/2,T)}分別代表第l個時(shí)延簇和第k個多普勒頻移簇的路徑集合．根據(jù)文獻(xiàn)[19]所提出的方法，可利用短時(shí)傅里葉(short time Fourier，STF)變換基來表征雙選擇性信道．由于 STF脈沖的持續(xù)時(shí)間和帶寬可以完全擬合雙選擇性信道的時(shí)延和多普勒頻移，因此，可將信道響應(yīng)完全轉(zhuǎn)化為離散形式．設(shè) STF基的最小時(shí)域和頻域間隔分別為T0和F0，則在時(shí)頻域內(nèi)分別有Nt＝T/T0個時(shí)域間隔和Nf＝W/F0個頻域間隔．設(shè)t＝nT0，f＝mF0，則有

式中：?代表矩陣的克羅內(nèi)克積運(yùn)算；H是L×(2,K+1)的信道系數(shù)矩陣；h＝vec(H)∈CN是信道系數(shù)向量，其元素是由H的每行依次銜接而成，即h＝[h0,-K，…，h0,K，h1,-K，…，h1,K，…，hL-1,-K，…，hL-1,K]，由于在雙選擇衰落條件下，信道呈現(xiàn)稀疏特性，因此，h為稀疏向量，即只有少數(shù)非零元素．

基于式(10)，由 Hn,m組成的一維信道響應(yīng)向量H′可以表示為

式中：H′含有 NtNf個元素；U為 NtNf×L(2,K＋1)維矩陣，其每一行由組成．對于基于導(dǎo)頻的信道估計(jì)，假設(shè)導(dǎo)頻插入位置(n，m)∈P，則在接收端可直接估計(jì)出在P處的信道響應(yīng)

式中：Rn,m和 Sn,m分別代表接收符號和導(dǎo)頻符號；Zn,m為高斯噪聲．設(shè)Hp是由導(dǎo)頻處信道響應(yīng)組成的H′的子向量，Up為所對應(yīng)的維子矩陣，Z為由組成的|P|維向量，則結(jié)合式(15)，式(14)可轉(zhuǎn)化為

通過式(16)恢復(fù)出信道系數(shù)向量h，則最終可通過式(14)得到信道響應(yīng)向量H′．

3 基于基追蹤的信道壓縮感知

3.1 傳統(tǒng)的二維插值算法

傳統(tǒng)的二維插值算法主要分為兩步：①先估計(jì)插入導(dǎo)頻符號處的信道響應(yīng)(見式(15))；②在①的基礎(chǔ)上，根據(jù)導(dǎo)頻位置的信道估計(jì)值進(jìn)行整個信道的二維內(nèi)插重構(gòu)．目前最常用的方法包括線性插值和FFT插值．線性插值算法每次估計(jì)只用兩個相鄰的導(dǎo)頻子信道的信道估計(jì)值，內(nèi)插得到兩個導(dǎo)頻之間的數(shù)據(jù)子載波的信道響應(yīng)．線性算法原理簡單且易于實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際應(yīng)用中非常有效，但估計(jì)精度比較粗略.

基于 FFT的信道估計(jì)算法是目前計(jì)算復(fù)雜度和性能最為均衡的選擇．該算法實(shí)現(xiàn)的主要思想是利用在時(shí)域補(bǔ)零等效于在頻域進(jìn)行內(nèi)插的原理，來恢復(fù)信道的頻率響應(yīng)．設(shè)導(dǎo)頻數(shù)量為Np，接收端估計(jì)出的導(dǎo)頻子信道處的信道響應(yīng)為 Hp(k)，k＝0，1，…，Np－1，將導(dǎo)頻子信道處的頻率響應(yīng)變換到時(shí)域的沖激響應(yīng) hp(n)，n＝0，1，…，Np－1，并在序列 hp(n)的尾部補(bǔ)零得到

將h(n)變換到頻域，則得到信道的頻域響應(yīng)

式中N0為符號總數(shù)，m＝0，1，…，N-1．

3.2 基于BP算法的稀疏信道估計(jì)

本文第 2節(jié)已逐步將雙選擇性衰落條件下的OFDM信道模型轉(zhuǎn)化為基于CS的信號重構(gòu)模型．令Hp＝y(tǒng)為線性測量值，Up＝Φ 為測量矩陣，并將 Up中的每一列歸一化，使其具有單位 l2范數(shù)．令 h＝x為待重構(gòu)的稀疏向量，則式(16)可轉(zhuǎn)化為式(1)中的CS重構(gòu)模型

式中Z是未知的噪聲向量．用BP算法求解考慮了重構(gòu)誤差及噪聲的線性規(guī)劃問題，即將式(19)轉(zhuǎn)化為BPIC模型

文獻(xiàn)[14]已證明式(20)與式(2)的解是等效的，因此應(yīng)用 BP算法即可求解出稀疏向量 x，即雙選擇性衰落條件下的信道系數(shù)向量 h．由于 BP算法采用內(nèi)點(diǎn)法求解 l1范數(shù)最小化問題，其重構(gòu)精度較高，且只需少量測量值(即導(dǎo)頻處的信道響應(yīng)值)即可重構(gòu)信道響應(yīng)，因而可以有效地減少導(dǎo)頻數(shù)量，實(shí)現(xiàn)頻譜利用率的大幅提升．然而，BP算法的算法復(fù)雜度也相對較高，設(shè)待重構(gòu)信號長度為 N，測量次數(shù)為 M，則算法復(fù)雜度為 O(23/2M N )．在本模型中測量矩陣U為NtNf×L(2,K＋1)維矩陣，因此，基于BP算法的信道估計(jì)復(fù)雜度為

4 仿真結(jié)果與分析

在仿真實(shí)驗(yàn)中，將基于壓縮感知的BP算法與傳統(tǒng)的FFT-Linear和FFT-FFT二維聯(lián)合插值算法進(jìn)行比較．采用英屬哥倫比亞大學(xué)(University of British Columbia，UBC)發(fā)布的 Matlab SGPL1[19]工具箱中的spg_bpdn(·)函數(shù)模擬 BP算法，并將重構(gòu)誤差ε設(shè)為1×10-3．FFT-Linear插值算法由兩個級聯(lián)的一維插值算法組成，即先在頻率軸上采用 FFT算法插值出信道響應(yīng)，再利用線性算法在時(shí)域軸上進(jìn)行插值，從而實(shí)現(xiàn)整個時(shí)頻域的信道估計(jì)．類似地，F(xiàn)FT-FFT插值算法則是在時(shí)頻域上皆采用 FFT插值算法，其性能要略好于 FFT-Linear算法，但同時(shí)也具有較高的計(jì)算復(fù)雜度．

假設(shè)OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)為512，循環(huán)前綴長度為 128，系統(tǒng)的載波頻率為 5,GHz，且每個符號采用64QAM 調(diào)制．利用基于空間幾何結(jié)構(gòu)的信道仿真工具包IlmProp(IlmProp工具包是由德國伊爾默瑙工業(yè)大學(xué)電子系開發(fā)的功能強(qiáng)大的信道模擬工具包，能根據(jù)現(xiàn)實(shí)場景參數(shù)，如移動臺速度、用戶場景(農(nóng)村或城市)等，產(chǎn)生與真實(shí)信道逼近的大規(guī)模系統(tǒng)級仿真模型)[20]產(chǎn)生模擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境的雙選擇性衰落信道，所模擬的OFDM傳輸幀每幀有24個符號．在仿真環(huán)境中，設(shè)發(fā)送端和接收端之間距離 1,500,m，有 10個多徑路線并形成3個路徑簇(信道稀疏度約為3)，每個路徑的時(shí)延在(0，τmax)上隨機(jī)分布，每個路徑復(fù)增益服從復(fù)高斯分布，而且隨著路徑時(shí)延的增大，路徑復(fù)增益的功率以指數(shù)衰減．接收端的移動速度為20,m/s，且與路徑簇具有獨(dú)立同分布的路徑導(dǎo)向．

本次仿真實(shí)驗(yàn)中，在不同信噪比(SNR)和導(dǎo)頻數(shù)下，對以上 3種算法的歸一化均方誤差(MSE)進(jìn)行了比較，其中導(dǎo)頻在傳輸符號中的插入方式服從均勻分布．圖1～圖3分別是導(dǎo)頻開銷為6.25%、12.5%和25%時(shí)，各算法的SNR-MSE曲線．

從圖中可以看出，無論導(dǎo)頻開銷是多少，BP算法的估計(jì)性能都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于 FFT-Linear和 FFT-FFT插值算法．當(dāng)導(dǎo)頻開銷較大且信噪比較小時(shí)(見圖2(導(dǎo)頻開銷12.5%)和圖3(導(dǎo)頻開銷25%))，BP算法的優(yōu)越性并非十分明顯，但隨著信噪比的不斷增加，BP算法的MSE曲線不斷下降，而傳統(tǒng)的兩種算法的估計(jì)誤差則趨于一條水平的直線，因此 BP算法的性能優(yōu)勢越來越明顯．例如，當(dāng)導(dǎo)頻開銷為 12.5%、信噪比為40,dB時(shí)，BP算法的 MSE可達(dá)-42,dB，而傳統(tǒng)的插值算法仍只能維持在-16,dB左右．當(dāng)導(dǎo)頻開銷僅為6.25%(見圖1)時(shí)，BP算法在低信噪比時(shí)就表現(xiàn)出了算法性能的優(yōu)越性．當(dāng)信噪比僅為 5,dB時(shí)，傳統(tǒng)算法的MSE僅約為-13.5,dB，而BP算法則能達(dá)到-16.8,dB．隨著信噪比的增大，F(xiàn)FT-Linear和 FFTFFT算法的估計(jì)性能仍然沒有太大提升，而BP算法在信噪比為22,dB時(shí)，其MSE就能達(dá)到-21,dB．

圖1 BP與FFT-Linear、FFT-FFT算法MSE性能比較(導(dǎo)頻開銷6.25%)Fig.1 MSE performance comparison between BP and FFTLinear、FFT-FFT algorithms(Pilot cost is 6.25%)

圖2 BP與FFT-Linear、FFT-FFT算法MSE性能比較(導(dǎo)頻開銷12.5%)Fig.2 MSE performance comparison between BP and FFTLinear，F(xiàn)FT-FFT algorithms(Pilot cost is 12.5%)

圖3 BP與FFT-Linear、FFT-FFT算法MSE性能比較(導(dǎo)頻開銷25%)Fig.3 MSE performance comparison between BP and FFT-Linear，F(xiàn)FT-FFT algorithms(Pilot cost is 25%)

上述實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)物理信道存在強(qiáng)烈的雙選擇性衰落的情況下(即信道呈現(xiàn)稀疏特性)，傳統(tǒng)的 FFTLinear和 FFT-FFT二維插值算法已經(jīng)不能準(zhǔn)確地估計(jì)出信道響應(yīng)，而本文所提出的 BP算法則能利用極少的導(dǎo)頻(導(dǎo)頻開銷僅為 6.25%)實(shí)現(xiàn)對雙選擇性信道的準(zhǔn)確估計(jì)．因此，可見 BP算法可以極大地減少OFDM 系統(tǒng)中的導(dǎo)頻開銷，從而實(shí)現(xiàn)頻譜利用率的大幅提高．

5 結(jié) 語

本文提出了一種基于壓縮感知技術(shù)的OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)方法．該方法針對雙選擇性衰落信道多為稀疏信道的特性，將OFDM的信道模型轉(zhuǎn)化為CS可解的重構(gòu)模型，并利用 BP算法實(shí)現(xiàn)了對稀疏信道的準(zhǔn)確估計(jì)．該法克服了傳統(tǒng)二維插值算法無法準(zhǔn)確估計(jì)稀疏信道的瓶頸，并可大大減少 OFDM 系統(tǒng)的導(dǎo)頻數(shù)量，提高系統(tǒng)的頻譜利用率．仿真實(shí)驗(yàn)表明，BP算法的信道估計(jì)性能要遠(yuǎn)高于 FFT-Linear和FFT-FFT二維插值算法，并能在導(dǎo)頻數(shù)量極其有限的情況下實(shí)現(xiàn)對雙選擇性稀疏信道的精確估計(jì)．

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