素GPI-環(huán)中心閉包的本原性

游松發(fā),曹明,馮怡君

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院,湖北 武漢 430062)

1 素環(huán)的中心閉包

當(dāng)R是素環(huán)時,我們可斷言Q也是素環(huán).事實上,若0≠q∈Q,0≠p∈Q,有qQp=0,則?0≠I1ΔR,0≠I2ΔR,有qI1?R且qI2?R,又q≠0,p≠0,?a∈I1,b∈I2使qa≠0且pb≠0,因此(qa)R(pb)?qQpb=0,此與R的素性相矛盾.

我們還可斷言Q的中心C是域.事實上,令0≠c∈C,選取R的非零理想I,使cI?R,因cI是R的非零理想.考慮d∶cI→R,使ca→a(?a∈I),我們有d∈Q,且dca=a(?a∈I),故dc=1,即C是域.

令S=RC,它是包含R的Q的一個子環(huán),我們稱C為R的廣義形心,且稱S為R的中心閉包,若1∈R,則C是S的中心,此時R的中心閉包為R的中心擴張.用證明Q是素環(huán)同樣的方法可證S是素的.我們有

定理1令S=RC是素環(huán)R的中心閉包,對于a,b∈S,若?x∈R,有axb=bxa,則a和b是C-相關(guān)的.

又f{(axy)r}=xbyr=f(xay)r,其中x,y∈I,r∈R,故f是R-模同態(tài),即f∈F.

令q是Q中由f確定的元,p是Q中任一元,且對0≠WΔR有pW?R.對?x,y∈I,w∈W,有

qp(wxay)=q{(pw)xay}=(pw)xby=p{wxby}=pq(wxay).

即(qp-pq)WJ=0.因此,qp=pq,即q∈C.特別地,對?x,y∈I,我們有x(qa-b)y=qxay-xby=0,從而J(qa-b)J=0,據(jù)R的素性,我們有qa=b,即a,b是C-相關(guān)的.

(a)B≠0;

(b)S有一個極小右理想eS;

(c)eSe是C上有限維可除代數(shù).

由歸納法,定理獲證.

2 GPI-環(huán)及主要結(jié)果

令S=RC是素環(huán)R的中心閉包,C[x1,…,xn,…]是非交換未定元x1,…,xn,…的自由C-代數(shù),我們構(gòu)造C-代數(shù)S的C-泛積S,S中元具有形式f=∑βkai0xj1ai1…ain-1xjnain(βk∈C,aik∈S).若?0≠f(x1,…,xn)∈S,對?s1,…,sn∈S,有f(s1,…,sn)=0,則稱S滿足非平凡的廣義多項式恒等式(C上),亦稱S是GPI-環(huán).稱單項a0xi1a1xi2…an-1xinan(所有ai≠0)的次數(shù)為n,且稱f(∈S)的次數(shù)為f的所有單項中最高次單項的次數(shù).若S滿足n次廣義多項式恒等式,且n是最小的,我們可用多重線性化的程序[1]獲得一個以x1,…,xn為未定元的非平凡的n次廣義齊次多重線性恒等式：∑βiai0xj1ai1…ain-1xjnan=0,其中每一單項有固定的次數(shù)n,我們有下面的定理.

定理3若S=RC是素環(huán)R的中心閉包,則S是GPI-環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)S有一個極小右理想eS(因此S是本原的),且eSe是C上有限維可除代數(shù),其中,e是S的冪等元.

定理3的證明(?)若dimCeSe

(?)若S滿足j最小次數(shù)為n的非平凡廣義多項式恒等式,不失一般性,可假設(shè)S滿足n次齊次多重線性恒等式：

其中a1,…,am是S中C-無關(guān)的元,fi是n-1次非零的廣義齊次多重線性多項式,g是f中x1不作為第一個變元的所有單項的和,再在g中把x1作為最后一個變元的所有單項(若存在)分離出來,得到

(1)

其中b1,…,bk是S中C-無關(guān)的元,gi是n-1次廣義多項式,pi,qi是正整數(shù)次廣義多項式.

(1)式右乘tb1(?t∈S)得到

(2)

(1)式中用s1b1t(?t∈S)代替x1得到

(3)

由(2)～(3)得到

(4)

若?s2,…,sn,t∈S,有f1tb1-b1tf1=0,由定理1,有

f1(s2,…,sn)=λ(s2,…,sn)b,λ(s2,…,sn)∈C.

(5)

上述由恒等式(1)式推導(dǎo)到恒等式(4)式的過程中,某些單項可能消掉了,但單項中變元x1,…,xn的順序并未改變,重復(fù)上述過程最多k次,我們可將(1)式變成形式

(6)

其中x1不作為g的所有單項的最后一個變元.

下面我們假設(shè)x1,x2,…,xr(r≤n)分別是最初恒等式中所有單項中的第一個變元,對{x1,x2,…,xr}(r≤n)中每一個變元,應(yīng)用上述過程,經(jīng)有限步,可由最初的恒等式得到恒等式

∑aix1fi+∑bix2gi+…+∑dixihi=0

(7)

其中{ai},{bi},…,{di}是S中C-無關(guān)的集,fi,gi,…,hi是非零的n-1次廣義多項式,且x1不作為fi的所有單項的最后一個變元,x2不作為gi的所有單項的最后一個變元,…,xr不作為hi的所有單項的最后一個變元.

由于一定有變元作為最后一個變元出現(xiàn)在單項中,因而r

……

我們有n-1次恒等式

(8)

[1] Rowen L H. Polynomial identities in ring theory[M].New york:Academic Press,1980.

[2] Zheng yumei,You Songfa. A note on radicals in hypercentral extensions of rings[J]. SEA Bull Math,1993,17(1):105-108.

[3] 游松發(fā).素GPI-環(huán)廣義形心擴張的本原性[J].數(shù)學(xué)進展,2000,29(4):331-336.

[4] 游松發(fā),鄭玉美,胡幼剛.歐拉圖與矩陣環(huán)的多項式恒等式[J].數(shù)學(xué)進展,2003,32(4):425-428.