基于對角廣義反射矩陣的線性微分系統(tǒng)及其周期解

孫長軍

(連云港職業(yè)技術(shù)學院數(shù)學教研室， 江蘇 連云港 222006)

0 引言

1981年，前蘇聯(lián)數(shù)學家Mironenko，在研究微分系統(tǒng)

(1)

(X(t+2ω，x)=X(t，x)，其中ω>0)的周期解與穩(wěn)定性時，就首次引入了反射函數(shù)F(t，x)=φ(-t;t，x)[1]，并在1986年出版了世界上第一部反射函數(shù)理論專著，其思想是在通解未知的情況下，通過研究微分系統(tǒng)的反射函數(shù)，尋找其Poincaré 映射T(x)=F(-ω，x)=φ(ω;-ω，x)，從而解決它的周期解及穩(wěn)定性[2].后來，Musafirov， Alisevich， Veresovich和周正新等又繼續(xù)努力并研究出了新的成果[3-8].

筆者已將反射函數(shù)推廣為廣義反射函數(shù)[9]

F(t，x)=φ(α(t);t，x)

(2)

其中α(t)連續(xù)可微并滿足α(α(t))=t，α(0)=0，把反射函數(shù)的研究成果進行拓展，為的是更好地研究微分系統(tǒng)(1)解的存在性和穩(wěn)定性，并且已取得了一些成果[9-13].筆者用廣義反射函數(shù)理論研究其周期解及穩(wěn)定性，為了敘述方便，回顧一下已有的相關(guān)概念和結(jié)論.

(3)

其中P(t)是n×n連續(xù)可微，該微分系統(tǒng)的矩陣函數(shù)的廣義反射函數(shù)為

F(t，x)=φ(α(t);t，x)=X(α(t))X-1(t)x=F(t)x

(4)

其廣義反射矩陣為F(t)=X(α(t))X-1(t).

性質(zhì)1[10，13]F(t)為系統(tǒng)(3)的廣義反射矩陣的充要條件為

(5)

定義1線性微分系統(tǒng)(3)的廣義反射函數(shù)矩陣F(t)，若滿足F(t)P(t)=P(t)F(t)

(6)

則稱(3)為可交換的線性微分系統(tǒng).

引理1(基本引理) 已知X(t+2ω，x)=X(t，x)，如?τ∈R，滿足α(τ)=2ω+τ，則微分系統(tǒng)(1)的Poincaré 映射T(x)可以定義為T(x)=F(τ，x)=φ(α(τ);τ，x)，且微分系統(tǒng)(1)在區(qū)間[τ，τ+2ω]上有定義的解φ(t;τ，x)都為2ω-周期解.

1 主要結(jié)果

考慮線性微分系統(tǒng)

(7)

何時具有形如

(8)

的廣義反射矩陣，這里M(t)，A(t)為n1×n1階矩陣，D(t)，N(t)為n2×n2階矩陣，B(t)為n1×n2階矩陣，C(t)為n2×n1階矩陣，n1+n2=n.

定理1的證明由廣義反射矩陣性質(zhì)(5)式有

F′(t)+F(t)P(t)=α′(t)P(α(t))F(t) ?

M′(t)+M(t)A(t)=α′(t)A(α(t))M(t)

(9)

M(t)B(t)=α′(t)B(α(t))N(t)，N′(t)+N(t)D(t)=α′(t)D(α(t))N(t)，N(t)C(t)=α′(t)C(α(t))M(t)

(10)

定理2對線性微分系統(tǒng)(7)，如A(t)，B(t)，C(t)，D(t)滿足

(11)

(12)

則矩陣(8)為線性微分系統(tǒng)(7)的廣義反射矩陣，此時

且

(13)

(14)

-A(t)M(t)+α′(t)A(α(t))M(t)，

又M(t)A(t)=A(t)M(t)，從而

M′(t)+M(t)A(t)-α′(t)A(α(t))M(t)=M′(t)+A(t)M(t)-α′(t)Α(α(t))M(t)=
-A(t)M(t)+α′(t)A(α(t))M(t)+A(t)M(t)-α′(t)A(α(t))M(t)=0.

由定理1得矩陣(8)為線性系統(tǒng)(7)的廣義反射矩陣，且(13)，(14)式成立．

(1)當|T1-E1|=0或|T2-E2|=0時，線性微分系統(tǒng)(7)有無窮多個2ω-周期解；

(2)當|T1-E1|≠0且|T2-E2|≠0時，線性微分系統(tǒng)(7)有唯一2ω-周期解．

1)當|T1-E1|=0或|T2-E2|=0時，此時W=0，有無窮多個2ω-周期解；

2)當|T1-E1|≠0且|T2-E2|≠0時，|T1-E1|·|T2-E2|≠0時，即W≠0，此時線性系統(tǒng)(7)有唯一2ω-周期解.

由穩(wěn)定性理論知結(jié)論成立.

推論1線性微分系統(tǒng)

(15)

若滿足

則線性微分系統(tǒng)(15)的廣義反射函數(shù)為

若P(t+2ω)=P(t) 則

[1] Mironenko V I. On the method that allows one to determine the initial data of periodic solution of differential systems and to compare the mappings for a period[J].Differential Equations， 1980，14 (11):1985-1994.

[2] Mironenko V I. Reflecting function and periodic solution of the differential equations[M].Minsk：University Press，1986:12-26.

[3] Alisevich L A.On linear system with triangular reflective function[J]．Differ Eq，1983，19(8)：1446-1449.

[4] Veresovich P P．Nonautonomous second order quadratic system equivalent to linear system[J]．Differ Eq，1998，14(12):2257-2259.

[5] Musafirov E V．Differential systems，the mapping over period for which is represented by a product of three exponential matrixes[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，229(1)：647-654.

[6] Mironenko V V. Time symmetry preserving perturbations of differential systems[J].Differential Equations，2004，40(10):1395-1403.

[7] Zhou Zhengxin. On the Poincaré mapping and periodic solutions of nonautonomous differential systems[J].Communications on Pure and Applied Analysis，2007，60(2):541-547.

[8] 周正新．微分系統(tǒng)的反射函數(shù)與周期解[J]．數(shù)學進展，2003，32(4)：396-405.

[9] 孫長軍．廣義反射函數(shù)的性態(tài)與應用[J]．數(shù)學的實踐與認識，2010，40(10)：222-228.

[10] 孫長軍，周正新．具有相同廣義反射函數(shù)的微分系統(tǒng)的等價性[J]．數(shù)學的實踐與認識，2010，40(13)：182-186.

[11] 孫長軍．基于一階線性廣義反射函數(shù)的非線性微分方程及周期解[J]．華中師范大學學報:自然科學版，2010，44(2):207-209.

[12] 孫長軍．基于廣義反射函數(shù)與自治系統(tǒng)等價的非自治系統(tǒng)[J]．數(shù)學的實踐與認識，2010，40(19):231-235.

[13] 孫長軍，周正新．線性微分系統(tǒng)的廣義反射函數(shù)[J].大學數(shù)學，2010，26(6)：93-97.