運(yùn)用數(shù)學(xué)史的“全等三角形應(yīng)用”教學(xué)

● (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 上海 200241) ● (華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 上海 200241)

運(yùn)用數(shù)學(xué)史的“全等三角形應(yīng)用”教學(xué)

●王進(jìn)敬(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 上海 200241) ●汪曉勤(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 上海 200241)

“全等三角形”是初中幾何的重要內(nèi)容，新課程標(biāo)準(zhǔn)要求“探索并掌握2個(gè)三角形全等的條件”，但前后并未涉及歷史背景和實(shí)際應(yīng)用，這種處理方法與“相似三角形”并不一致.從歷史上看，和相似三角形一樣，古人對(duì)全等三角形的認(rèn)識(shí)也源于測(cè)量.為了與“相似三角形的應(yīng)用”[1-2]相呼應(yīng)，又考慮到知識(shí)本身的價(jià)值，筆者于2011年5月在講完全等三角形知識(shí)后，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合數(shù)學(xué)史開(kāi)設(shè)了一堂全等三角形應(yīng)用課.

教學(xué)目標(biāo)：(1)使學(xué)生能靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法；(2)讓學(xué)生在討論中互相啟發(fā)、形成自己的方法；(3)應(yīng)用全等三角形思想解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，感受全等三角形知識(shí)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活并服務(wù)于生活的道理；(4)結(jié)合數(shù)學(xué)史的故事，了解古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程.

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 情境引入

我們知道數(shù)學(xué)是源于生活并為生活服務(wù)的，那么怎樣應(yīng)用全等三角形的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題呢？這節(jié)課，我們就從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，體會(huì)全等三角形在現(xiàn)實(shí)中的作用.

大家一定聽(tīng)說(shuō)過(guò)拿破侖的名字，這位法國(guó)著名的軍事家曾在戰(zhàn)場(chǎng)上指揮千軍萬(wàn)馬，可謂風(fēng)云一時(shí).在向埃及的遠(yuǎn)征中，拿破侖下達(dá)過(guò)這樣的一個(gè)命令：“讓學(xué)者走在隊(duì)伍中間.”這句話就成了拿破侖愛(ài)護(hù)學(xué)者的一句名言.他這么愛(ài)護(hù)學(xué)者是有原因的：原來(lái)，拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一湍急的河流所阻，“逢山開(kāi)路，遇河架橋”.但架橋需要材料，這些材料不可能隨身帶著，要去找，找多少，需要知道河的大致寬度，這位首領(lǐng)急得團(tuán)團(tuán)轉(zhuǎn)，怎樣測(cè)河寬？他自己不知道，你能幫他想想辦法嗎？

教師作了以下預(yù)設(shè)：只提出問(wèn)題，但不束縛學(xué)生的思維；學(xué)生實(shí)在想不出來(lái)，再提示能否運(yùn)用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題.可能教學(xué)中所謂的“學(xué)以致用”僅僅限于解題，一位學(xué)生課后在接受訪談時(shí)說(shuō):“當(dāng)老師提出問(wèn)題時(shí)，有點(diǎn)束手無(wú)策.”

看到這種尷尬局面，教師提示：“能否運(yùn)用全等三角形的知識(shí)進(jìn)行解決？”學(xué)生的思維似乎找到了方向，而且一發(fā)不可收拾，提出了各種各樣的方法.其中一位學(xué)生提出如下方法：A為河對(duì)岸的參照物，BD為垂直于地面的竹竿，利用視線使∠ABD=∠CBD，則△ABD≌△CBD，于是河寬AD=CD.這正是古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯的方法！但由于這位學(xué)生刻畫(huà)得不夠清晰，一些學(xué)生對(duì)該方法不甚了了.這時(shí)，教師所準(zhǔn)備的教具就派上了用途.

接著，教師告訴學(xué)生：一名隨軍工程師運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測(cè)得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎(jiǎng)和重視[3].

介紹泰勒斯及其測(cè)量方法：泰勒斯(Thales,公元前6世紀(jì))，古希臘幾何學(xué)鼻祖，是古希臘第一位數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，年輕時(shí)曾游歷埃及，利用相似三角形的知識(shí)測(cè)得金字塔的高度；因預(yù)測(cè)出日食而阻止過(guò)一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)；利用全等三角形和相似三角形2種不同方法測(cè)量出輪船與海岸的距離.

圖1

如圖1，泰勒斯在高丘(或懸崖、燈塔)上利用一種簡(jiǎn)單的工具進(jìn)行測(cè)量.直竿EF垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以固定在任一位置上.將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到河對(duì)岸的某一位置，然后轉(zhuǎn)動(dòng)EF(保持與底面垂直)，將細(xì)竿對(duì)準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)C,則根據(jù)角邊角(ASA)定理可知DC=DB.

1.2 情境再現(xiàn)

現(xiàn)在，我們一起將泰勒斯的方法在教室中演示一遍：運(yùn)用全等三角形的思想測(cè)量講臺(tái)到后黑板的距離，教師事先準(zhǔn)備好教具(由筆者之一所任教學(xué)校的數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)制作，空心斜竿通過(guò)圓規(guī)固定在直竿上，斜竿可以固定于任一角度上)，讓學(xué)生完全理解泰勒斯的方法.進(jìn)而提出問(wèn)題：你還能想出其他的方案嗎？

基于前面的引領(lǐng)，學(xué)生不斷提出新方法：其他全等三角形方法(如圖2～4)、直角三角形方法、相似三角形的方法(包括射影定理).學(xué)生的知識(shí)面很廣，思維很靈活，大大超出了筆者的預(yù)設(shè).由于時(shí)間關(guān)系，筆者只能讓學(xué)生課后將他們所想出的方法進(jìn)行整理和交流.值得注意的是，圖3所示的方案2正是數(shù)學(xué)史家所推測(cè)的泰勒斯的另一種方法.

圖2

圖3

圖4

1.3 定理應(yīng)用

問(wèn)題1抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)期間，中國(guó)志愿軍在行軍途中發(fā)現(xiàn)美國(guó)軍營(yíng)，于是想炮轟敵軍，苦于無(wú)法確定敵我兩軍的大致距離，一位志愿軍戰(zhàn)士想出了如下方法：如圖5，他站在A處調(diào)整自己的帽子，使其視線恰好擦著帽檐看到敵軍軍營(yíng)的B處，然后，他一步步小心翼翼地后退，一直退到自己視線恰好落在剛才站立的A處，于是，他們就按照這個(gè)距離炮轟敵軍軍營(yíng)，你覺(jué)得能擊中目標(biāo)嗎？為什么？

圖5

圖6

問(wèn)題2如圖6，公園里有一條Z字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB和BC段的路邊各有小石凳E和M，M恰為BC的中點(diǎn)，在AB道路上停放著一排小汽車，從而無(wú)法直接測(cè)量B,E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請(qǐng)說(shuō)明其中的道理.

問(wèn)題3一個(gè)初中課外活動(dòng)小組，想運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)搞一次有意義的活動(dòng)，他們發(fā)現(xiàn)學(xué)校附近的公園有一個(gè)池塘，他們想測(cè)量該池塘兩端A,B之間的距離，你能幫他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)可行的測(cè)量方案嗎？

1.4 教學(xué)小結(jié)

(1)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)你對(duì)全等三角形有什么新的認(rèn)識(shí)？

(2)你覺(jué)得本節(jié)課最大的收獲是什么？

1.5 作業(yè)布置

整理學(xué)生所設(shè)計(jì)的方案，體會(huì)全等三角形在生活中的應(yīng)用.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

全等三角形的應(yīng)用讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活并為生活服務(wù)的道理，這一點(diǎn)從筆者對(duì)學(xué)生的訪談中顯而易見(jiàn).然而，本節(jié)課的意義并不僅僅在于理論與實(shí)踐的結(jié)合、素質(zhì)與分?jǐn)?shù)的分離等方面，還在于提供了一種理念，一種在以往學(xué)習(xí)過(guò)程中本應(yīng)重視、但實(shí)際教學(xué)中卻常常忽略的多元文化理解.另外，還為學(xué)生提供了一種交流思想方法的平臺(tái)，尤其是不同時(shí)空數(shù)學(xué)思想的對(duì)比,有利于拓寬學(xué)生的視野.

2.2 理論與實(shí)踐之關(guān)系

全等三角形的應(yīng)用絕不是彰顯實(shí)踐，輕視理論.它好比萬(wàn)綠叢中一點(diǎn)紅，為我們帶來(lái)不一樣的視覺(jué)體驗(yàn).用學(xué)生的一句話說(shuō)：“像這樣的課絕不是可有可無(wú)的，而是有多有少的問(wèn)題.這樣或許在追求考試分?jǐn)?shù)之余，更能體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的目的吧！”

2.3 教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖

(1)“拿破侖遇河”的情景主要讓學(xué)生明白：現(xiàn)實(shí)生活中只要善于觀察、思考，你總會(huì)遇到一些無(wú)法直接測(cè)量的距離.如何利用手邊僅有的工具，運(yùn)用你所學(xué)到的知識(shí)，解決問(wèn)題是學(xué)習(xí)的根本.在這個(gè)情景中，筆者無(wú)意將學(xué)生直接帶入全等三角形的知識(shí)范疇，而是讓學(xué)生“天馬行空”自己想辦法解決.

讓想出測(cè)量方法的學(xué)生上臺(tái)來(lái)演示，難點(diǎn)自然迎刃而解，進(jìn)而介紹泰勒斯，這位角邊角(ASA)定理的創(chuàng)始人，又為以后“相似三角形的應(yīng)用”埋下了伏筆.

(2)讓學(xué)生思考其他解決方案，目的是讓學(xué)生解放思想，舉一反三，同時(shí)通過(guò)討論，學(xué)生之間互相啟發(fā)，取長(zhǎng)補(bǔ)短，形成合作意識(shí).

(3)定理應(yīng)用中問(wèn)題2和問(wèn)題3的設(shè)計(jì)意圖：本想以前面的歷史故事為背景，讓學(xué)生明白如何解決無(wú)法直接測(cè)量的距離問(wèn)題，但教學(xué)中由于對(duì)問(wèn)題2的處理不是很妥當(dāng)，導(dǎo)致時(shí)間比較緊張，問(wèn)題3的作用沒(méi)有完全發(fā)揮出來(lái).問(wèn)題3的目的也是解放學(xué)生的思想，提醒他們不要將所有距離測(cè)量問(wèn)題都訴諸全等三角形來(lái)求解.

采用SPSS 17.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，計(jì)量資料以（均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差）表示，采用t檢驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料以（n，%）表示，采用χ2檢驗(yàn)，以P＜0.05表示差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3 師生訪談

針對(duì)“全等三角形的應(yīng)用”一課，筆者主要從以下5個(gè)方面對(duì)部分學(xué)生及教師進(jìn)行了訪談.

3.1 對(duì)部分學(xué)生的訪談

(1)上了“全等三角形應(yīng)用”一課后，你有什么感受？

生1:課很有趣，老師的語(yǔ)調(diào)也很吸引人.實(shí)際問(wèn)題很生動(dòng)，很實(shí)用，與做題完全不同，大家的討論還可以互相啟發(fā).很新穎，學(xué)數(shù)學(xué)的同時(shí)還可以學(xué)到很多別的知識(shí).在聯(lián)系到生活中時(shí)就實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行討論，不拘泥于理論.

生2:所有的話題都讓學(xué)生感興趣，提高了上課的效率，多年之后故事會(huì)永遠(yuǎn)留在頭腦中.在校外上輔導(dǎo)班時(shí)，用類似的問(wèn)題去問(wèn)其他學(xué)校的學(xué)生，他們都對(duì)“全等三角形如何用”沒(méi)概念，感覺(jué)很驕傲，有種博士生的感覺(jué)，在向其他學(xué)生講授時(shí)，津津樂(lè)道.

生3:課的內(nèi)容很豐富，若全等三角形的應(yīng)用從測(cè)距問(wèn)題推廣到其他問(wèn)題，則學(xué)生會(huì)更期待.

(2)你認(rèn)為這種類型的課有用嗎？用處何在？

生4:把課本上的理論與實(shí)際生活完全結(jié)合起來(lái)，以前從未想過(guò)長(zhǎng)度與角度可以轉(zhuǎn)化，連不可測(cè)的問(wèn)題都可以解決，本節(jié)課讓我對(duì)數(shù)學(xué)有不一樣的認(rèn)識(shí).

生5:它讓我們對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的事物更加好奇，以后會(huì)更加關(guān)注身邊的事物，拓展視野.感覺(jué)現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題原來(lái)沒(méi)有那么難解決，只要有了一個(gè)例子，就可以舉一反三.

生6:增加對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，而以前了解很少，這樣的知識(shí)一定要講的.從考試的角度來(lái)看好像用處不大，但從現(xiàn)實(shí)的角度看卻很有用，增加了更多的知識(shí)，記憶也深刻，創(chuàng)造性思維會(huì)突然增加，還會(huì)增加求知欲，當(dāng)老師提出問(wèn)題時(shí)，特別想知道答案.

(3)課上其他學(xué)生的方法對(duì)你有幫助嗎？主要幫助在哪里？

生7:有幫助.掌握多種方法當(dāng)然更好，若只有一種方法，一下子可能會(huì)忘記.若一個(gè)人的方法行不通還可以借鑒別人的方法.如果自己的方法被別人講出來(lái)，就恨不得再去想出更好的方法，比比哪個(gè)更好，形成良性競(jìng)爭(zhēng).

(4)你希望上這樣的課嗎？這樣的課以什么方式呈現(xiàn)給你，你會(huì)更愿意接受？你認(rèn)為上這樣的課會(huì)影響你的學(xué)習(xí)成績(jī)和學(xué)習(xí)時(shí)間嗎？

生8:不會(huì)影響學(xué)習(xí)成績(jī)，更不會(huì)影響學(xué)習(xí)時(shí)間，讓我們多了一種知識(shí)的了解，而且這個(gè)了解不是可有可無(wú)的,而是有多有少的.在正課當(dāng)中，無(wú)論從哪個(gè)角度講解都會(huì)讓我們對(duì)知識(shí)印象更深，增加對(duì)知識(shí)的理解，當(dāng)然一定要以正課為主.

(5)對(duì)這種類型的課有怎樣的建議？

生9:希望學(xué)校專門開(kāi)設(shè)這樣一門課程，每周上一次，或者成立這樣一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組，讓我們來(lái)參加.特別希望多一些機(jī)會(huì)上類似的課.

3.2 對(duì)部分教師的訪談

(1)上了“全等三角形的應(yīng)用”一課后，你有什么感受？

師1:氣氛活躍，有助于學(xué)生開(kāi)拓思路.對(duì)學(xué)生的影響還是比較大的，當(dāng)然對(duì)考試的幫助不大，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)還是比較簡(jiǎn)單的，重要的是看重學(xué)生的態(tài)度和學(xué)習(xí)熱情.

師2:本節(jié)課是我第一次接觸到數(shù)學(xué)歷史中的人物以及歷史中數(shù)學(xué)對(duì)于經(jīng)濟(jì)文化的重要地位.我非常喜歡并嘗試去實(shí)踐.

師3:這樣的課，教師和學(xué)生都很感興趣、很生動(dòng)，學(xué)生的積極性完全調(diào)動(dòng)起來(lái)，是數(shù)學(xué)與實(shí)際結(jié)合的最好范例，但教師準(zhǔn)備起來(lái)難度很大.

(2)你認(rèn)為這種類型的課有用嗎？用處何在？

師4:應(yīng)該說(shuō)是很有用的.這樣的課對(duì)提高學(xué)生的“學(xué)以致用”思想有很大的幫助.

師5:對(duì)學(xué)生非常有用，有著實(shí)際操作的可能性，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有重新的認(rèn)識(shí)并熱愛(ài)這門學(xué)科.

師6:正是由于與實(shí)際相結(jié)合，因此價(jià)值更高，靈活運(yùn)用了全等的方法.

(3)你認(rèn)為把這樣的課放在什么位置更合適？為什么？

師7:這樣的課放在拓展課或探究課更合適.因?yàn)橐嗟牟僮鲗?shí)踐，局限于教室里的話效果不一定好，若有類似的場(chǎng)景效果會(huì)更好.

師8:放在課外拓展的位置比較好，也可以在課間穿插一個(gè)小故事，給學(xué)生一些思考空間.

師9:正課和拓展課效果都會(huì)很好.興趣是最好的老師嘛！

(4)對(duì)這種類型的課有怎樣的建議？

師10:更切合學(xué)生的生活實(shí)踐，討論出的結(jié)果會(huì)更多.

師11:既然是這種類型的課，在座位安排上可以更加靈活，也可以事先在教室里布置一下場(chǎng)景，讓學(xué)生活動(dòng)起來(lái).

師12:最好能資源共享，多展示幾節(jié)這樣的課，讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密相關(guān)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決它.如果所有的課都能以這種形式來(lái)上，那么學(xué)生都會(huì)喜歡數(shù)學(xué)課.

4 結(jié)論與反思

4.1 結(jié)論

本節(jié)課中，數(shù)學(xué)史的價(jià)值主要體現(xiàn)在：(1)讓學(xué)生了解泰勒斯，了解幾何學(xué)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的悠久歷史及其與人類文明的密切關(guān)系；(2)讓學(xué)生掌握ASA定理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用；(3)為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維和發(fā)散性思維創(chuàng)造契機(jī)；(4)激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；(5)體現(xiàn)“主題之必要性”，創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).對(duì)師生的訪談和對(duì)學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查都表明，本節(jié)課完成了教學(xué)目標(biāo)，達(dá)到了理想效果，取得了較大成功，受到了一致認(rèn)可.

對(duì)教師而言，本節(jié)課促進(jìn)了教師對(duì)教育目標(biāo)的理解、對(duì)多元文化理念的落實(shí)，加深了對(duì)教學(xué)內(nèi)容的研究.依據(jù)數(shù)學(xué)史，筆者之一在教授全等三角形知識(shí)時(shí)，在定理的呈現(xiàn)順序和證明方法上做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，也取得了良好的效果.還有如筆者在本文開(kāi)頭提出的，全等與相似并駕齊驅(qū).全等的應(yīng)用同相似一樣重要，建議在教材編排上考慮這一點(diǎn)，設(shè)置一節(jié)全等三角形應(yīng)用課.

4.2 教學(xué)反思

(1)預(yù)設(shè)與生成的矛盾.

在問(wèn)題2的講解過(guò)程中，教師完全可以根據(jù)學(xué)生前面的表現(xiàn)，將該題作為口答題解決.在處理過(guò)程中，教師還是根據(jù)預(yù)設(shè)進(jìn)行了安排，導(dǎo)致時(shí)間緊張，問(wèn)題3的作用未能得到全部發(fā)揮.

(2)若干細(xì)節(jié)上的不足.

本節(jié)課在若干細(xì)節(jié)上處理得并不是很到位，導(dǎo)致學(xué)生直接用竹竿來(lái)測(cè)量的錯(cuò)誤解法；“情景再現(xiàn)”中的圖形、部分線段應(yīng)該用虛線，讓學(xué)生體會(huì)“目光如炬”；學(xué)生上臺(tái)用實(shí)物演示泰勒斯的方法時(shí)，個(gè)別學(xué)生仍然心存疑問(wèn)，此時(shí)教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)目測(cè)與直接連接的區(qū)別，在轉(zhuǎn)動(dòng)竹竿時(shí)保持不變的是什么，有什么要求，最終讓每位學(xué)生明白ASA定理的測(cè)量原理；如果能將竿子轉(zhuǎn)動(dòng)180°，使得2個(gè)直角三角形在一個(gè)平面上，則可降低學(xué)生的認(rèn)知難度.

(3)數(shù)學(xué)史與考試成績(jī).

筆者多堂課的教學(xué)實(shí)踐結(jié)果都表明：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，無(wú)論從哪個(gè)角度融入，都不會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，相反，還會(huì)促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，最終提高學(xué)習(xí)成績(jī).對(duì)學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查、訪談以及學(xué)生所寫(xiě)的感想都能說(shuō)明這一點(diǎn)，筆者所任教班級(jí)的期末考試成績(jī)更能證明這一點(diǎn).

(4)筆者本人的感受.

筆者親身體驗(yàn)到，同時(shí)受訪師生也都普遍認(rèn)為，像本節(jié)課這樣的數(shù)學(xué)課，其價(jià)值是無(wú)窮的.正如一位受訪教師所說(shuō)：“如果所有的課都能以這種形式來(lái)上，那么學(xué)生一定都會(huì)喜歡數(shù)學(xué)課.”當(dāng)然，這幾乎是不可能的.實(shí)際上，這樣的課上起來(lái)很難，數(shù)學(xué)史功底的薄弱是一線教師充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史教育功能的最大障礙.

[1] 汪曉勤.相似三角形:從歷史到課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版,2007(9):54-55.

[2] 王進(jìn)敬,汪曉勤.運(yùn)用數(shù)學(xué)史的“相似三角形應(yīng)用”教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2011(8):22-25.

[3] 汪曉勤,王甲.全等三角形的應(yīng)用:從歷史到課堂[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:初中版,2008(10):55-57.