一道競(jìng)賽模擬試題引發(fā)的探究

● (漳州市第一中學(xué) 福建漳州 363000)

一道競(jìng)賽模擬試題引發(fā)的探究

●林新建(漳州市第一中學(xué) 福建漳州 363000)

本刊2012年第6期給出了如下一道競(jìng)賽模擬試題：

本文對(duì)此作一般性的探究，給出頂點(diǎn)斜率積為定值的三角形面積取得最值的幾個(gè)結(jié)論，茲介紹如下.

(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0.

由Δ>0，得a2k2+b2>m2.設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，則

于是

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

當(dāng)點(diǎn)A為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)A(a,0)，則

因?yàn)閗AM·kAN=t，所以

即

亦即

化簡(jiǎn)得

從而

因此直線MN的方程為

當(dāng)點(diǎn)A為短軸端點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)A(0,b)，則

因?yàn)閗AM·kAN=t，所以

即

亦即

化簡(jiǎn)得

從而

運(yùn)用性質(zhì)1，原競(jìng)賽題的解為：

特別地，當(dāng)t=-1時(shí)，AM⊥AN，可得：

(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0.

由Δ>0，得

a2k2-b2

設(shè)M(x1，y1)，N(x2,y2),則

于是

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

因?yàn)锳(a,0)，所以

因?yàn)閗AM·kAN=t，所以

即

亦即

化簡(jiǎn)得

從而

因此直線MN的方程為

因此△AMN的面積不存在最大值與最小值.

當(dāng)MN不與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，代入y2=2px并整理,得

k2x2+2(km-p)x+m2=0.

由Δ>0，得2km

于是

因?yàn)锳(0,0)，所以

因?yàn)閗AM·kAN=t，所以

即

特別地，當(dāng)t=-1時(shí)，AM⊥AN，得到：

推論2設(shè)A為拋物線E：y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)，點(diǎn)M，N在拋物線E上，且滿足AM⊥AN，則△AMN面積存在最小值，且最小值為4p2.△AMN面積不存在最大值.