一道課本習題的探索性學習與類比

● (孝感高級中學 湖北孝感 432000)

一道課本習題的探索性學習與類比

●王國濤(孝感高級中學 湖北孝感 432000)

探索性學習是培養(yǎng)學生能力的有效途徑之一.筆者從一道課本習題(普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》必修4第144頁第5題)出發(fā)，引導學生在課堂上積極探索、突破和創(chuàng)新，課后忘我參與，興趣盎然，驚喜地得到了2個實用而優(yōu)美的結(jié)論，教學取得了良好的效果.

1 原題呈現(xiàn)

原題設(shè)f(α)=sinxα+cosxα,x∈{n|n=2k,k∈N+},利用三角變換，估計f(α)在x=2,4,6時的取值情況，進而對x取一般值時f(α)的取值范圍作出一個猜想.

(1)

倘若僅滿足把答案猜想出來，則無異于“入寶山而空返”，學生也意猶未盡.那么，猜想是否正確，該怎樣證明呢？筆者在課堂上讓學生自己探索證明思路和方法.

2 猜想的多角度證明

生1：既然是2k次方，可以考慮用二項式定理將其展開，但不能合并，用二倍角公式即可.

證法1利用二倍角公式和二項式定理證明

因為

又-1≤cos2α≤1,所以0≤cos22α≤1.由不等式和組合數(shù)的性質(zhì)得

因此

生2：我是從函數(shù)角度考慮的，通過同角關(guān)系式構(gòu)造冪函數(shù)，再利用導數(shù)知識證明.

證法2構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)知識證明

令x=sin2α,0≤x≤1,則

f(α)=sin2kα+cos2kα=g(x)=xk+(1-x)k.

當k=1時，g(x)=1,式(1)成立.當k≥2,k∈N+時，由

g′(x)=kxk-1-k(1-x)k-1=k[xk-1-(1-x)k-1]=0，

又因為g(0)=g(1)=1,所以

生3：我考慮到要證明的結(jié)論與正整數(shù)有關(guān)，故可以利用數(shù)學歸納法證明.

證法3利用數(shù)學歸納法證明

當n=1時，sin2α+cos2α=1,即式(1)成立;

假設(shè)n=k和n=k+1時，式(1)成立，即

則當n=k+2時，注意到

一方面

另一方面

故

即當n=k+2時，式(1)也成立.

師：還有沒有其他證明方法呢？能否從凸函數(shù)的性質(zhì)考慮呢？

生4：哦！我明白了，可以利用不等式的性質(zhì)和下凸函數(shù)的性質(zhì)證明.

證法4利用不等式的性質(zhì)和凸函數(shù)的性質(zhì)證明

3 類比探究

f(α)=sinxα+cosxα(x∈{n|n=2k,k∈N+})的取值范圍已經(jīng)得到完美解決，那么sinmα,cosnα的差、商、積與倒數(shù)和的最值情況怎樣？此時下課鈴響了，此問題留給學生課后思考.學生們興致都很高，第2天便將成果展示給筆者，其中2個優(yōu)美的結(jié)論如下：

證明

因此

4 結(jié)論應(yīng)用

(2012年《數(shù)學通訊》問題99)

(2010年聯(lián)盟杯高中數(shù)學競賽預賽試題)

5 延伸思考

通過本例的證明與拓展，學生掌握了相關(guān)的知識與技能，體會到知識的聯(lián)系與綜合.這說明只要我們重視教材的使用，在處理教材問題時不淺嘗輒止，注意引導學生吃透課本典型問題的內(nèi)涵，挖掘這些問題的潛在價值，并鼓勵學生對它們進行力所能及的類比，就可以讓學生學得更輕松、更主動，并使他們在創(chuàng)造性思維方面得到發(fā)展的同時，體會到學習數(shù)學的樂趣.課本上的不少例題、習題背景豐富深刻，解題思想耐人尋味，是最好的探究素材.若教師能有意識地去引導學生進行探究和挖掘，則往往會得到一些有價值的結(jié)論和重要的解題思想，同時對激發(fā)學生的探究興趣、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和理性思維大有裨益.