直齒變位齒輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)及優(yōu)化

余志永，鄭清春，郭津津，李紀(jì)峰

(天津理工大學(xué)，復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津市 300384)

0 前言

Pro/ENGINEER(Pro/E)是由美國(guó)PTC公司開(kāi)發(fā)的三維CAD/CAM/CAE系列參數(shù)化軟件，主要用于產(chǎn)品外觀設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、仿真、模具設(shè)計(jì)、分析優(yōu)化、NC加工等產(chǎn)品研發(fā)領(lǐng)域。

齒輪在機(jī)械行業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，但在Pro/E軟件中卻不能直接生成，需進(jìn)行復(fù)雜的建模過(guò)程。同時(shí)，齒輪建模過(guò)程中，模數(shù)、齒數(shù)不同，其齒根圓與基圓的大小關(guān)系將發(fā)生變化，則相關(guān)的建模過(guò)程也略有不同。本文基于齒輪漸開(kāi)線的生成原理，應(yīng)用Pro/E中的Program程序，研制出同步變位直齒圓柱齒輪實(shí)體造型的自動(dòng)化設(shè)計(jì)程序。程序可根據(jù)中心距、模數(shù)、齒數(shù)等參數(shù)計(jì)算出變位系數(shù)，并可進(jìn)行建模過(guò)程的判斷選擇，建立齒輪的三維模型。同時(shí)，論文應(yīng)用Pro/M對(duì)齒輪進(jìn)行了有限元分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 基于Pro/Program的變位齒輪的建模技術(shù)

Pro/Program是一個(gè)記錄文件，記錄著模型的成型步驟等信息，其大部分內(nèi)容是由Pro/E程序自動(dòng)產(chǎn)生的，即每建立一個(gè)特征，Pro/E就會(huì)產(chǎn)生該特征的程序代碼，用戶則可以根據(jù)設(shè)計(jì)意圖對(duì)其進(jìn)行編輯。Pro/E中Program的內(nèi)容都有相同的格式，大致可分為五個(gè)部分。

(1)標(biāo)題;

(2) 輸入．．．結(jié)束輸入 (INPUT．．．END INPUT);

(3)關(guān)系式．．．結(jié)束關(guān)系式 (RELATION．．．END RELATION);

(4) 添加特征．．．結(jié)束添加 (ADD FEATURE．．．END ADD);

(5)質(zhì)量程序．．．結(jié)束質(zhì)量程序 (MASSPROP．．．END MASSPROP) 。

其中 (1)和 (4)部分是由Pro/E自動(dòng)產(chǎn)生，其余部分由用戶自行輸入。通過(guò)對(duì)Program的編輯，可以實(shí)現(xiàn)Pro/E自動(dòng)控制特征的創(chuàng)建，生成不同的模型。

1.1 齒輪的參數(shù)化建模背景

變位齒輪的齒廓形狀與齒輪齒數(shù)、模數(shù)、變位系數(shù)和壓力角有關(guān)。根據(jù)齒輪的基圓與齒根圓的關(guān)系，齒輪的齒廓結(jié)構(gòu)有兩種，如圖1a所示的基圓大于齒根圓的情況以及如圖1b所示的基圓小于齒根圓的情況。

圖1 變位齒輪齒廓的兩種情況Fig.1 Two phenomena of teeth outlines of modified gear

為了能使pro/E中建立的變位齒輪的參數(shù)化模型同時(shí)滿足上述兩種情況，本文在program中添加關(guān)系以計(jì)算齒輪的齒根圓、基圓等參數(shù)的大小，并根據(jù)齒根圓和基圓的大小判斷并選擇不同的建模程序，生成符合參數(shù)要求的齒輪模型。建立的模型可實(shí)現(xiàn)在后面的Pro/M分析中，能對(duì)其施加載荷進(jìn)行分析。表1為建模時(shí)各參數(shù)的初始值。

表1 齒輪各參數(shù)初始值Tab.1 Initial valuesof each parameter of gear

1.2 參數(shù)化建模的步驟

(1)在Pro/E中，建立出Df＞Db的齒廓模型 (A=305 mmZ=30個(gè)，M=10 mm。先創(chuàng)建基圓與齒頂圓之間的部分再創(chuàng)建齒根圓與基圓之間的部分);

(2)編輯系統(tǒng)生成的Program程序，添加相關(guān)的程序語(yǔ)句。包括:添加輸入模塊和關(guān)系模塊并且在程序中添加if……end if語(yǔ)句。根據(jù)關(guān)系語(yǔ)句計(jì)算出來(lái)的Df和Db的值來(lái)判斷是否執(zhí)行齒根圓和基圓之間部分齒形所生成的特征。如果Df＜Db則生成齒根圓和基圓之間部分齒形，否則不生成。

1.3 齒輪參數(shù)化建模結(jié)果

圖2a和圖2b分別為齒根圓小于和大于基圓的情況，其齒形分別與圖1的兩種情況吻合。說(shuō)明在本模型中齒廓能根據(jù)情況顯示，對(duì)齒輪分析優(yōu)化提供了強(qiáng)大的支持。

圖2 兩種情況的齒輪模型Fig.2 Gear models under two conditions

2 基于Pro/Mechanica的齒輪分析及優(yōu)化

很多大型有限元分析軟件的建模功能都比較弱，主要是創(chuàng)建一些簡(jiǎn)單的三維模型;對(duì)于復(fù)雜的零件或組件的分析，通常是先在CAD軟件中建模，再用軟件接口或者是將工作圖形通過(guò)IGES或者STEP等格式導(dǎo)入分析軟件。這樣導(dǎo)致CAE工程師要花很多的時(shí)間和精力來(lái)對(duì)這些模型進(jìn)行簡(jiǎn)化和修補(bǔ)，降低了工作效率?；赑ro/E基礎(chǔ)上的有限元分析軟件Pro/Mechanica(Pro/M)，實(shí)現(xiàn)了與Pro/E的無(wú)縫連接，將幾何建模和有限元的分析集成在一起。

本文分析中的材料、邊界條件及優(yōu)化目標(biāo)和變量是根據(jù)項(xiàng)目的要求進(jìn)行設(shè)置。當(dāng)模數(shù)為10 mm時(shí)，在最大應(yīng)力小于170 MPa以及最大應(yīng)變小于0.03 mm的情況下要求總質(zhì)量最小。

2.1 創(chuàng)建材料、約束、載荷

在Pro/E中切換到Pro/M模塊:

(1)設(shè)置材料為steel(參數(shù)修改部分略);

(2)設(shè)置約束。本文中設(shè)置軸孔面完全約束

(3)設(shè)置載荷。齒輪分析時(shí)，其載荷為線載荷，添加載荷的直線為齒廓面與齒頂圓面的交線。載荷方向線為在齒輪寬度的中間平面上做過(guò)添加載荷直線做一條直線，并使這直線垂直于齒廓，大小為1 000 N。

(4)網(wǎng)格的劃分。本文進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，網(wǎng)格要選擇控制線。其控制線的選擇及劃分的網(wǎng)格如圖3所示。

圖3 網(wǎng)格控制線及網(wǎng)格Fig.3 Grid control line and grid

2.2 靜態(tài)分析

靜態(tài)分析可對(duì)模型的應(yīng)力、應(yīng)變等靜態(tài)特性進(jìn)行分析，也叫做設(shè)計(jì)驗(yàn)證。本文分別對(duì)模型的應(yīng)力和應(yīng)變進(jìn)行分析，并進(jìn)行優(yōu)化。圖4所示為模型所受的應(yīng)力和變形。系統(tǒng)在監(jiān)控窗口顯示出齒輪的質(zhì)量，當(dāng)前的總質(zhì)量21.59757 kg。

圖4 初始條件下模型的應(yīng)力和應(yīng)變圖Fig.4 Stress and strain of model under initial condition

圖4 a、圖4b分別為模型所受的應(yīng)力和應(yīng)變?cè)茍D。其中最大應(yīng)力為134.6 MPa;最大變形為0.001957 mm。滿足設(shè)計(jì)要求，但有一定的裕度，因此對(duì)齒輪的結(jié)構(gòu)及參數(shù)進(jìn)行分析優(yōu)化，確定質(zhì)量為最小的情況下的優(yōu)化參數(shù)。

2.3 敏感度分析

通過(guò)靈敏度分析，可在眾多設(shè)計(jì)參數(shù)中確定應(yīng)力、應(yīng)變等隨一些參數(shù)變化而變化情況和趨勢(shì)。敏感度分析能更完整地了解變更造型對(duì)模型的影響。圖5為模型敏感度分析的結(jié)果。

圖5 敏感度分析結(jié)果Fig.5 Result of sensitivity analysis

圖5a為最大應(yīng)力隨齒數(shù)變化的曲線，當(dāng)齒數(shù)為31時(shí)最大應(yīng)力最大，當(dāng)齒數(shù)為30時(shí)最大應(yīng)力最小;圖5b為最大應(yīng)變隨齒數(shù)變化的情況，其中當(dāng)齒數(shù)為31時(shí)模型的最大應(yīng)變最大;圖5c為質(zhì)量隨齒數(shù)變化的情況當(dāng)齒數(shù)為30時(shí)質(zhì)量最大。

2.4 優(yōu)化及分析

優(yōu)化設(shè)計(jì)就是指由用戶指定研究目標(biāo)、約束條件和設(shè)計(jì)參數(shù)等，然后在參數(shù)的指定范圍內(nèi)求出可滿足研究目標(biāo)的最佳目標(biāo)。本文中優(yōu)化分析的目標(biāo)是使得齒輪的質(zhì)量最小，約束條件是最大應(yīng)力小于170 MPa，最大應(yīng)變小于0.03 mm，參數(shù)為齒數(shù)Z3和K1、K2、K3其設(shè)置見(jiàn)表2。

表2 參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameter setting

運(yùn)用Pro/M優(yōu)化分析產(chǎn)生最優(yōu)結(jié)果其優(yōu)化后的結(jié)果與優(yōu)化前參數(shù)對(duì)比見(jiàn)表3。

表3 優(yōu)化結(jié)果和初始值的對(duì)比Tab.3 Contrast between optimization results and initial values

由表3可知最優(yōu)化的結(jié)果出現(xiàn)在當(dāng)K1=15 mm、K2=20 mm、K3=25 mm、Z3=28 mm時(shí)。此時(shí)的總質(zhì)量為11.605 kg，最大應(yīng)力為146.9 MPa，最大應(yīng)變?yōu)?.002012 mm。優(yōu)化設(shè)計(jì)后的齒輪較優(yōu)化前的齒輪重量減少了46%。

3 結(jié)論

本文基于Pro/Program對(duì)直齒變位齒輪進(jìn)行參數(shù)化建模，可根據(jù)相關(guān)參數(shù)的變化，自動(dòng)建立出相應(yīng)的模型。

文中運(yùn)用Pro/M對(duì)齒輪模型進(jìn)行了靜態(tài)分析，得出應(yīng)力分布及應(yīng)變的力學(xué)特性;論文利用Pro/M的敏感度分析功能，研究了齒數(shù)對(duì)最大應(yīng)力、最大應(yīng)變及總體質(zhì)量的影響;應(yīng)用優(yōu)化功能，優(yōu)化了齒輪的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

通過(guò)對(duì)直齒變位齒輪的Pro/Program的程序開(kāi)發(fā)，使得設(shè)計(jì)人員在利用Pro/M進(jìn)行優(yōu)化分析時(shí)，能夠更快速精確的獲得齒輪的優(yōu)化模型。

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