一道典型力學(xué)習(xí)題的新解

蔣 濤 (長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434020；長江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 荊州 434023)

朱 科 (長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434020)

一道典型力學(xué)習(xí)題的新解

蔣 濤 (長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434020；長江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 荊州 434023)

朱 科 (長江大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，湖北 荊州 434020)

在求解力學(xué)問題的過程中，建立適當(dāng)?shù)膮⒖枷蹬c坐標(biāo)系將給解題帶來極大方便。從一道典型力學(xué)習(xí)題出發(fā) ，介紹了2種新解法，分別在非慣性系中建立直角坐標(biāo)系、在慣性系中利用直角坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)約束方程進(jìn)行了求解。并對新解法的求解思路和方法作了簡單點(diǎn)評(píng)。

慣性系；非慣性系；慣性力；運(yùn)動(dòng)約束方程

如圖1所示，一輕繩2端分別連接小球A和小環(huán)B，球與環(huán)質(zhì)量相等，環(huán)B可在拉緊的水平鋼絲上作無摩擦的滑動(dòng)。現(xiàn)使小球在鋼絲所在的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，求小球擺離鉛垂線最大角度時(shí)小環(huán)B和小球A的加速度aB和aA[1]。

圖1 球A和環(huán)B 組成的系統(tǒng)

文獻(xiàn)[2]中介紹了3種典型的解法：第1種采用非慣性系求解，利用了小球A的法向(沿A、B連線方向)加速度為零這樣一個(gè)輔助條件；后2種解法采用地面參考系求解，利用了在地面參考系中A和B的加速度在它們連線的方向上的分量相等這個(gè)輔助條件。通觀這些解法，一方面深感這些輔助條件不太容易被人想到，另一方面覺得這些解法都稍顯麻煩。筆者經(jīng)過深入思考，提出2種簡便新穎的解法。

圖2 球A的受力分析、加速度分解及環(huán)B的受力分析圖

于是有：

由以上方程可解得：

所以A相對于地面的加速度為：

圖3 A、B在 XOY坐標(biāo)中的位置

從上述可見，筆者的方法是在非慣性系中建立直角坐標(biāo)系求解，這里關(guān)鍵的一點(diǎn)是得到加速度與偏角的關(guān)系式。較之文獻(xiàn)[2]中標(biāo)準(zhǔn)解法是在非慣性系中建立自然坐標(biāo)系求解，顯然筆者的方法更簡單。這表明不同坐標(biāo)系的選擇對求解的繁簡程度有很大的影響，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求解過程更簡單。

解法2選擇輕繩為參考系，在慣性參考系中求解。建立如圖3直角坐標(biāo)系，其中輕繩長度為l，A、B任意時(shí)刻在鉛錘面XOY坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(xA,yA)、(xB，yB)。

可得到如下的運(yùn)動(dòng)約束方程：

方程兩邊對時(shí)間求導(dǎo)，整理后得：

(1)

當(dāng)小球擺離鉛垂線最大角度時(shí)有:

(2)

(3)

即:

υAx=υBx

(4)

再將方程(1)兩邊對時(shí)間求導(dǎo)，整理得：

(5)

(6)

對環(huán)A、球B受力分析如圖4所示，其中T為繩子中的張力,N為水平鋼絲對B的支撐力。列出如下動(dòng)力學(xué)方程：

Tsinθ=maBxTsinθ=-maAxmg-Tcosθ=maAy

可以解出：

圖4 球A、環(huán)B的受力分析圖

從上述可見，筆者的方法是在慣性系中建立直角坐標(biāo)系求解，這里關(guān)鍵利用了運(yùn)動(dòng)約束方程得到一個(gè)加速度與偏角的關(guān)系式(6)，比文獻(xiàn)[2]解法2、3的輔助條件來得簡單直接，后者必須加以詳細(xì)闡述(事實(shí)上利用從運(yùn)動(dòng)約束方程導(dǎo)出的式(4)及向心力公式能夠滿意地得出文獻(xiàn)[2]中解法2、3的輔助條件)。雖然看上去解答過程似乎有點(diǎn)長，但是思路簡單。

綜合上述，筆者給出了文獻(xiàn)[2]之外的2種新穎簡便的解法，由此可以看出深入發(fā)掘題目內(nèi)涵、建立適當(dāng)?shù)膮⒖枷蹬c坐標(biāo)系將給解題帶來極大方便。

[1]吳錫瓏.大學(xué)物理教程(第2冊)[M].第2版.北京：高等教育出版社，1999.

[2]李銅忠,董占海,袁曉忠,等.一道典型力學(xué)習(xí)題的多種解法[J].物理與工程，2007，17(3)：59-60.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.02.045

O3-4

A

1673-1409(2012)02-N134-02

2011-10-25

蔣濤(1978-)，男，2002年大學(xué)畢業(yè)，講師，博士生，現(xiàn)主要從事大學(xué)物理方面的教學(xué)與研究工作。