錯解立體幾何題后的反思
——利用錯后反思提高學(xué)習(xí)效率

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(古邳中學(xué) 江蘇睢寧 221241)

●武瑞雪

(城北中學(xué) 江蘇睢寧 221200)

錯解立體幾何題后的反思
——利用錯后反思提高學(xué)習(xí)效率

●沈恒顏

(古邳中學(xué) 江蘇睢寧 221241)

●武瑞雪

(城北中學(xué) 江蘇睢寧 221200)

學(xué)生在解答立體幾何題目時，因解題不規(guī)范、空間想象能力差、“想當(dāng)然”、概念模糊、考慮不周、誤將平面幾何中的結(jié)論類比到空間等，導(dǎo)致錯誤.下面列舉幾例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯解后反思，以幫助學(xué)生走出解題誤區(qū)，提高學(xué)習(xí)效率.

圖1

1 只計(jì)算不證明導(dǎo)致錯誤

例1如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，E，F(xiàn)，G分別為棱AA1，AB，BC的中點(diǎn)，求二面角E-FG-A的正弦值.

錯解作AH⊥FG，交FG的延長線于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)EH.由△AHF∽△GBF，得

即

從而

反思在立體幾何中求角或距離等問題，應(yīng)做到“一作(或找)二證三求”.上述解答忽略了證明∠EHA就是二面角E-FG-A的一個平面角，應(yīng)補(bǔ)上.

2 因畫錯圖形而導(dǎo)致錯誤

在立體幾何的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生因空間想象能力差，在頭腦中難以形成較為準(zhǔn)確、直觀的幾何模型，從而在做題時不會畫圖，甚至畫出錯誤的圖形，導(dǎo)致解題出錯.

例2求半徑為R的球的內(nèi)接正方體的體積.

錯解畫出過球心的球的截面及相應(yīng)的正方體的截面圖(如圖2). 設(shè)正方體的棱長為x，則

x2+x2=(2R)2,

解得

從而

圖2 圖3 圖4

圖5

3 “想當(dāng)然”導(dǎo)致錯誤

例3由二面角α-l-β內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于點(diǎn)B， 作AC⊥β于點(diǎn)C，若∠BAC=60°，求二面角α-l-β的大小.

錯解如圖5，過點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DC.因?yàn)锳B⊥α，AC⊥β，所以

AB⊥l,AC⊥l.

又因?yàn)锳B∩AC=A，所以

l⊥平面ABC,而BD,CD?平面ABC,

從而

l⊥BD,l⊥CD，

故∠BDC為二面角α-l-β的一個平面角.由四邊形的內(nèi)角和為360°，∠ABD=∠ACD=90°且∠C=60°知∠BDC=120°，因此二面角α-l-β的大小為120°.

反思上述解法中想當(dāng)然地認(rèn)為BD?平面ABC，CD?平面ABC.事實(shí)上，應(yīng)先證明A，B，C，D共面，但證明較麻煩.而下述解法可避免證明A，B，C，D共面.

正解設(shè)平面ABC∩l=D，聯(lián)結(jié)BD,CD，則BD?平面ABC,CD?平面ABC.因?yàn)锳B⊥α，AC⊥β，所以

AB⊥l,AC⊥l.

又因?yàn)锳B∩AC=A，所以

l⊥平面ABC,

從而

l⊥BD,l⊥CD，

故∠BDC為二面角α-l-β的一個平面角.由四邊形的內(nèi)角和為360°，∠ABD=∠ACD=90°且∠BCA=60°知∠BDC=120°，因此二面角α-l-β的大小為120°.

4 概念模糊導(dǎo)致錯誤

一些立體幾何題往往是圍繞概念設(shè)置的，如對概念掌握不牢或理解有偏差，則往往容易出錯.

圖6

∠NEM=120°,

即異面直線AB，CD所成的角為120°.

反思上述解法忽視了異面直線所成角的范圍為(0°，90°].

∠NEM=120°.

又異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，因此異面直線AB，CD所成的角為60°.

5 考慮不周導(dǎo)致錯誤

例5已知圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2與4的矩形，則圓柱的體積是________.

錯解由題意知圓柱底面周長為4，高為2，得

反思在解決該題時，因思維不全面而漏掉了“當(dāng)圓柱底面周長為2，高為4”這種可能的情況.

6 誤用平面幾何中的結(jié)論導(dǎo)致錯誤

圖7

例6如圖7，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為C1D1，AB的中點(diǎn)，求證：四邊形A1ECF為菱形.

錯證因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為C1D1，AB的中點(diǎn)，所以

△A1D1E≌△A1AF≌△CBF≌△CC1E，

從而

A1E=A1F=CF=CE，

故四邊形A1ECF為菱形.

反思在空間幾何中，當(dāng)一個四邊形的4條邊相等時，此四邊形不一定是菱形.如在正四面體A-BCD中，四邊形ABCD的4條邊雖然相等，但四邊形ABCD不是菱形.上面的解法應(yīng)補(bǔ)證四邊形ABCD是平面四邊形.

證明取A1B1的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)C1G，F(xiàn)G， 則C1E∥GA1且C1E=GA1，即四邊形C1EA1G為平行四邊形，從而

A1E∥GC1.

又因?yàn)镚F∥B1B∥C1C，GF=B1B=C1C，所以

GF∥C1C，GF=C1C，

因此四邊形C1GFC為平行四邊形，即

GC1∥FC，

從而

A1E∥FC，

故四邊形A1ECF是平面四邊形.

事實(shí)上，一些命題在平面幾何中成立，但在空間幾何中不一定成立，舉例如下：

(1)2組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)垂直于同一條直線的2條直線平行；

(3)過一點(diǎn)作直線的垂線有且僅有1條；

(4)到一條線段2端距離相等的點(diǎn)的集合是線段的中垂線.

而下面的幾個結(jié)論在平面幾何和空間幾何中均成立：

(1)2條邊對應(yīng)相等的2個三角形全等；

(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；

(3)一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形；

(4)2組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

(5)過直線外一點(diǎn)作直線的平行線有且僅有1條；

(6)平行于同一條直線的2條直線平行；

(7)如果一個角的2條邊分別與另一個角的2條邊平行且方向都相同或相反，則這2個角相等.