對2012年江西省數(shù)學高考理科第20題的研究

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(彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

對2012年江西省數(shù)學高考理科第20題的研究

●王伯龍

(彭陽縣第三中學 寧夏彭陽 756500)

例1已知3個點O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，曲線C上任意一點M(x,y)滿足

(1)求曲線C的方程.

(2)動點Q(x0,y0)(-2

(2012年江西省數(shù)學高考理科試題)

本題綜合的考查了圓錐曲線上的動點、切線及其三角形面積等相關知識.當筆者看到該題后的第一感覺是第(2)小題在設置上立意新穎，獨具匠心，凝聚了命題專家的靈感與智慧，值得繼續(xù)學習與研究.

易得曲線C的方程為：x2=4y.對于第(2)小題，探究的結果是存在定點P(0,-1)，使得△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)2.仔細分析題中的條件和得出的結論，不難發(fā)現(xiàn)：點P(0,-1)恰是拋物線C的準線y=-1與對稱軸的交點，已知點A與點B的連線過拋物線的焦點(0,1)，容易驗證PA，PB恰是拋物線的2條切線，因而第(2)小題得到的結論是特殊的情形，一般化可得：

圖1

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)，式(2)代入式(4)化簡得

(5)

y2-2ny-p2=0，

由根與系數(shù)的關系得

y1+y2=2n,y1y2=-p2.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-p2，

將其代入式(5)化簡得

(6)

由式(3)和式(6)得

將結論1中“過準線l上任意一點”推廣為“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點”，結論是否成立？經(jīng)過嘗試，便有如下的結論.

證明如圖1，設動點Q(2pt2,2pt)，P(-m,n)，A(x1,y1)，B(x2,y2),則切點弦

PA：y1y=p(x+x1)，PB:y2y=p(x+x2),AB:ny=p(x-m).

又DE:2pty=p(x+2pt2)，即

DE:2ty=x+2pt2.

(7)

將式(1)，式(2)代入式(7)化簡得

(8)

y2-2ny-2pm=0,

又由根與系數(shù)的關系得

y1+y2=2n,y1y2=-2pm.

因此

(2pt-y1)(2pt-y2)=4p2t2-2pt(y1+y2)+y1y2=4p2t2-4ptn-2pm,

將其代入式(8)化簡得

(9)

由式(3)和式(9)得

將結論中的“過定直線l:x=-m(m>0)上任意一點”，換成“過拋物線外的任意一點P(s,q)”，結論是否成立？

圖2

結論3的證明,可仿結論2的證法，有興趣的讀者可自行證明.筆者經(jīng)過演算，上述結論是拋物線特有的性質，對于橢圓、雙曲線不成立.

上述結論體現(xiàn)了拋物線切點三角形的面積和外切三角形面積之間的一個定比關系，如果從斜率的角度出發(fā)去研究也會得到有趣的結論.關于這方面的研究文獻[1]已給出相應的結論.

定理[1]過拋物線C:y2=2px(p>0)外任意一點P作拋物線的2條切線PA,PB,切點分別為A,B,動點Q為拋物線C上在A,B之間部分上的任意一點，拋物線C在點Q處的切線分別交PA,PB于點D,E(如圖2).用kAB,kBQ,kQA分別表示直線AB,BQ,QA的斜率，用kA,kB,kQ分別表示拋物線上切于點A,B,Q處的切線的斜率，則

[1] 苗相軍，孫勝田.圓錐曲線外切三角形和切點三角形邊的斜之關系[J].數(shù)學通訊，2012(5)：48-49.