一道浙江省數(shù)學(xué)高考試題的解法賞析

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(蒙自高級中學(xué) 云南蒙自 661100)

一道浙江省數(shù)學(xué)高考試題的解法賞析

●蘇保明

(蒙自高級中學(xué) 云南蒙自 661100)

在解題中常會遇到一類帶條件的最值問題，此類問題的解決難度不大，只要認(rèn)真審題仔細(xì)推敲，便會找到許多解法，這也充分體現(xiàn)了高考試題考查學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的功能.

例1若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是 ( )

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

該題是一道很具靈活性與挑戰(zhàn)性的高考試題，它蘊含著多種解題方法.本文介紹8種方法，僅供參考.

解法1常數(shù)代換法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

3x+4y≥5,

故3x+4y的最小值是5.

解法2三角法

因為x+3y=5xy,且x>0,y>0，所以

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評根據(jù)已知條件適當(dāng)引入三角變量，再利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.

因為x+3y=5xy，且x>0，y>0,所以

即

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

解法4向量法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

從而

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評通過構(gòu)造向量，利用向量數(shù)量積不等式|m·n|≤|m|·|n|解不等式最值問題，能使運算過程簡潔明了.

解法5柯西不等式法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

由柯西不等式，得

即

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評根據(jù)試題本身的結(jié)構(gòu)特征，通過柯西不等式，可使解決過程簡便，解答通俗易懂，值得推廣和應(yīng)用.

解法6導(dǎo)數(shù)法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

即

又因為

所以

令f′(x)=0，則

解得

故3x+4y的最小值是5.

點評構(gòu)造一元函數(shù)，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再通過求導(dǎo)和利用函數(shù)的單調(diào)性，使問題得到圓滿解決，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)法的解題功能.

解法7巧用數(shù)學(xué)期望EX2≥(EX)2

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

構(gòu)造離散型隨機變量X的分布列(見表1)：

表1 X的分布列

3x+4y，

由EX2≥(EX)2得

3x+4y≥5，

故3x+4y的最小值是5.

點評構(gòu)造離散型隨機變量X的分布列，再根據(jù)方差的性質(zhì)EX2≥(EX)2，使問題順利解決，利用方差的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是能正確構(gòu)造離散型隨機變量X的分布列.

解法8極坐標(biāo)法

因為x+3y=5xy，且x>0,y>0，所以

把X=ρcosθ,Y=ρsinθ(0≤θ<2π)代入X+Y=5,得