由一道“變態(tài)”高考題的幾組解法引起的教學(xué)反思

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(安豐中學(xué) 江蘇東臺 224221)

由一道“變態(tài)”高考題的幾組解法引起的教學(xué)反思

●崔志榮

(安豐中學(xué) 江蘇東臺 224221)

1 一道“變態(tài)”的高考題

圖1

(1)求橢圓的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)A,B是橢圓上位于x軸上方的點(diǎn)，且AF1∥BF2，點(diǎn)P為AF2與BF1的交點(diǎn).

②求證：PF1+PF2是定值.

(2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

筆者對這道高考題的解法作了一些研究，得到了一些有關(guān)解析幾何復(fù)習(xí)的教學(xué)體會，和讀者交流.

2 幾組解法的評析

第Ⅰ組 ①解設(shè)直線AF1的方程為

x=my-1，

聯(lián)立

消去x整理得

(m2+2)y2-2my-1=0，

解得

同理

因此

解得

m2=2,

②證明由AF1∥BF2，知

△PAF1∽△PF2B，

從而

即

同理

因此

由第①小題知

故

點(diǎn)評第①小題通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求長度，也可以設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，求點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)(可由AF1>BF2，利用xA>-1，xB>1來舍根).這種方法是容易想到的，但很多學(xué)生未付諸于行動，擔(dān)心難于運(yùn)算，這也與平時(shí)教學(xué)有關(guān)，很多教師不重視這種方法.第②小題充分利用了轉(zhuǎn)化思想，抓住相似三角形，把PF1+PF2轉(zhuǎn)化為AF1與BF2表示，在第①小題的基礎(chǔ)上才能完成.

y=k(x+1)，

聯(lián)立

消去y整理得

(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

從而

(因AF1∥BF2且AF1>BF2，易知x2<-1

解得

即

設(shè)P(x,y)，則

式(1)-式(2)得

解得

代入式(2)，得

化簡得

因此點(diǎn)P的軌跡為橢圓，焦點(diǎn)正好為F1與F2，故

點(diǎn)評第①小題巧用對稱性，只需要考慮直線AF1與橢圓聯(lián)立來研究點(diǎn)A與點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)關(guān)系，使運(yùn)算量大大減少.第②小題的解答與第①小題沒有必然的關(guān)聯(lián)，如何思考使用軌跡的方法呢？結(jié)論要證明PF1+PF2為定值，而F1,F2為定點(diǎn)，那么動點(diǎn)P的軌跡應(yīng)是橢圓，故設(shè)點(diǎn)P(x,y)，再利用相似把它轉(zhuǎn)移到點(diǎn)A,B的坐標(biāo)后代入橢圓方程，最后消去參數(shù)λ，求出點(diǎn)P的軌跡方程.

第Ⅲ組 ①解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

由焦半徑公式,得

從而

因?yàn)锳F1∥BF2，所以

從而

即

化簡得

2x1x2+3(x2-x1)-4=0.

解得

從而

即

②證明設(shè)△APF1與△F2PB的相似比為λ，則

若x1=-1,則x2=1,λ=1,結(jié)論成立.若x1>1，則x2>1(若x1<1，則x2<1)，因?yàn)?/p>

(k為直線AF1的斜率),所以

3 幾點(diǎn)教學(xué)反思

解析幾何作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，一直都是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，這部分內(nèi)容也格外受到教師和學(xué)生的重視.但一個(gè)不容否認(rèn)的事實(shí)是：教師感到這部分內(nèi)容的教學(xué)效果不如人意，學(xué)生似懂非懂，解題出錯(cuò)率非常高.結(jié)合以上3組解答，筆者對解析幾何的教學(xué)提幾點(diǎn)建議：

(1)重基本思路，重基礎(chǔ)運(yùn)算

比較第①小題的3種方法可以發(fā)現(xiàn)，第Ⅰ組為基本方法，學(xué)生容易理解，教學(xué)中不可輕視這種基本思路的講解，但它的運(yùn)算量偏大，學(xué)生不敢動筆，說明基礎(chǔ)運(yùn)算是教學(xué)中的一個(gè)大問題.在平時(shí)教學(xué)中，教師若走捷徑，走技巧運(yùn)算，則會造成學(xué)生眼高手低，基礎(chǔ)不牢，使學(xué)生在考場上總想容易的方法，容易導(dǎo)致失敗.據(jù)此，筆者認(rèn)為在解析幾何教學(xué)中，要重視基本方法的剖析，淡化技巧方法的講解，淡化特技運(yùn)算，重視基礎(chǔ)運(yùn)算.

(2)代數(shù)方法為主，幾何方法為輔

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題，解題結(jié)構(gòu)為：幾何問題→代數(shù)問題→代數(shù)研究→幾何結(jié)果，幾何法不應(yīng)是解析幾何的教學(xué)重點(diǎn).

從3組解法中可以看出，第Ⅱ組的第①小題用到了幾何對稱性，第②小題由于AF1∥BF2都用到了三角形相似的知識，但這些幾何知識在解答過程不起主導(dǎo)作用，也是基礎(chǔ)知識，是必要的輔助.有些經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，了解不少解析幾何題的幾何背景，課堂上能把問題一步剖析到最簡潔的幾何方法，但實(shí)際上是效果不大，原因是很少有學(xué)生了解高考題的背景，還是要腳踏實(shí)地用好代數(shù)方法.

(3)重分析，重比較

在解析幾何中，很多題是有多種方法的，它們的思路不相同，實(shí)際計(jì)算效果也不一樣.因此，教學(xué)中要做到2點(diǎn)：一是重思路的分析,如本文中的第②小題，第Ⅰ組解答建立在第①小題的基礎(chǔ)上，將PF1+PF2轉(zhuǎn)化為AF1和BF2,第Ⅱ組則是由結(jié)論分析到軌跡思路,第Ⅲ組是借助焦半徑后運(yùn)用轉(zhuǎn)化，都是合理的分析;二是重視方法的比較是必要的，如第①小題的3種方法，第Ⅱ組方法靈活，運(yùn)算簡便,第Ⅰ、Ⅲ組是基本方法，運(yùn)算量都大.只有通過比較，才能使不同層次的學(xué)生有他們自己的選擇，才能使他們更準(zhǔn)確的認(rèn)識問題的本質(zhì)，才能使他們在解題時(shí)游刃有余.

(4)重過程的步驟，重針對性的訓(xùn)練