距離問題求解新探

王麗芳

（廣州工程技術(shù)職業(yè)學(xué)院 廣東 廣州 510726）

距離問題求解新探

王麗芳

（廣州工程技術(shù)職業(yè)學(xué)院 廣東 廣州 510726）

本文通過從幾何角度對距離問題再認(rèn)識，將距離與相切這兩個概念溝通起來，形成一套求解距離問題的新辦法，使優(yōu)化思想在微分學(xué)中得以延伸。

距離;曲線族;曲面族;相切

引言

微分學(xué)中常把兩個相離圖形之間的距離問題歸結(jié)為一個條件極值問題:即以兩點間距離公式構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)，以兩個圖形所滿足的方程(或不等式)作為約束條件.這樣的問題用拉格朗日乘數(shù)法足以解決。

本文另辟蹊徑，抓住距離問題的實質(zhì)，在幾何上給予充分科學(xué)合理的解釋，將問題予以適當(dāng)轉(zhuǎn)化，輔以微分學(xué)知識，提出了一種求解距離問題的直觀準(zhǔn)確的新解法.這種解法在理論上將導(dǎo)數(shù)與相切、距離與極值(含最值)等高等數(shù)學(xué)中幾個核心概念進(jìn)一步有機結(jié)合起來，令人更如深刻地領(lǐng)略數(shù)學(xué)領(lǐng)域里數(shù)形合一的無窮奧妙.同時將距離問題的求解與優(yōu)化理論相溝通，使優(yōu)化思想得到延伸，開拓了優(yōu)化論更廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域.這種解法在解決實際問題方面也是十分有效的，還可以讓初學(xué)者拓廣思路，開闊視野，提高學(xué)習(xí)興趣。

1 距離問題的新解法

1.1 點到曲線的距離

定理1空間中的一點P到一條曲線L的距離等于以該點P為球心的球族中的一個與曲線L相外切的球的半徑。

定理1為點到曲線距離問題提出了這樣一個思路:首先以已知點為球心，取半徑為參數(shù)K，構(gòu)造球面族方程;再求球面與已知曲線的切點，最后求出相切球面的半徑，即得所求距離。

實例 已知點P取為(x0,y0,z0),已知曲線L取為x=x(t),y=y(t),z=z(t),以P為球心的同心球面族方程為:

據(jù)微分學(xué)知識:已知曲線L上任一點(x,y,z)處切線的方向向量T={x'(t),y'(t),z'(t)},由球面與已知曲線相切，即得

其中x=x(t),y=y(t),z=z(t)

顯然，這是一個關(guān)于t的一元方程，求解可得，t=t1

進(jìn)而可得切點為(x(t1),y(t1),z(t1)),

再代入球面方程中可得出球面半徑K，從而得所求的點到曲線距離.

注:待別地，若點P在曲線L上，則所求半徑為0且切點恰是已知點.

推論：平面上一點P到一條曲線L的距離等于以點P為圓心的圓族中的一個與曲線L相外切的圓C。的半徑.

定理2：空間中一點P到一條曲線L的最長距離等于以點P為球心的球族中的一個與曲線L相外切的球的半徑.

注:1)若點P在曲線L上，則所求的點到曲線的最長距離仍可用定理2表述.

2)若曲線L延伸至無窮遠(yuǎn)處，則定理2中提及的“與曲線L相外切的球”實際是半徑為無窮大的一個“球”。此時點P到曲線的距離為正無窮大.

推論：平面上一點P到一條曲線L的最長距離等于以點P為圓心的圓族中的一個與曲線L相內(nèi)切的圓的半徑.

例1拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點到這個橢圓的最長距離和距離.

解：以原點為球心的球面方程為:x2+y2+z2=k2

其上任一點發(fā)向量為：{x，y，z}

據(jù)微分學(xué)知識，已知橢圓上任一點處的切向量為{2y十1，一2x-1,2x-y}

要求切點，則得方程:

x(2y+1)-y(2x+1)+z(2x-2y)=0

與z=x2+y2x+y+z=1聯(lián)立

1.2 點到曲面的距離

定理3：空間中一點P到一個曲面的距離等于以點P為球心的球族中的一個與曲面相外切的球的半徑.

實例 已知點P取為〈x。，y。，z。)已知曲面取為F(x,y,z)=o以P為球心的同心球面方程為(x-x。)2十(y-y。)2十('z-z。)2=0.其上任一點(x,y,z)處的切平面法向量已知曲面上任一點(x,y,z)處切平面法向量由球面與曲面S相切，即得，

與曲面方程聯(lián)立可求出切點，代入球面方程中可得球面半徑K，即為所求的距離.

例2．求原點到曲面z2=xy+x-y+4的距離。

解:以原點為球心的球面萬程為

x2+y2+z2=k2

其上任一點法向量為：{x，y，z}

又已知曲面上任一點處法向量

{y+1，x-1,-2z}

由“兩相切曲面在切點處有同一切平面”

與z2=xy+x-y+4聯(lián)立

解得x1=-1,y1=1,z1=-1;x2=-1,y2=1,z2=1代入球面方程得即所求距離。

2.距離問題新解法與優(yōu)化思想的聯(lián)系

本文所提諸法都是以某一已知圖形為基準(zhǔn)擴張生成的曲線(面)族，向另一圖形搜索至相切位置，從而找出切點并得出結(jié)果的.這里進(jìn)行擴張搜索的曲線(面)實質(zhì)上是與基準(zhǔn)圖形距離相等的等值線(面),這種搜索方法與最優(yōu)化問題圖解法是一致的。這表明本文提出的距離問題新解法不失為優(yōu)化思想又一新應(yīng)用。

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編高等數(shù)學(xué)上冊第六版2006.154~158

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編高等數(shù)學(xué)下冊第六版2006.59~68

[3]李德錢頌迪 運籌學(xué)[M]北京:清華大學(xué)出版社 1982.70~81

New Exploration of the Distance Problem sSolving

WANGLi-fang
（Guangzhou Institute ofTechnology，Guangzhou 510726，Guangdong）

This paper fromthe perspective ofdistance geometryproblems,distance and tangent tothe twoconcepts ofcommunication,forma set ofnew approaches tosolvingproblems ofdistance,sothat the idea ofoptimization in differential calculus can be extended;

distance;curve;tangent surface family;tangent to

D157.3

A

1671-5004（2012） 01-0051-01

2012-2-19

王麗芳（1966-），女，廣州工程技術(shù)職業(yè)學(xué)院高級講師。