導引頭動力學滯后下帶落角約束的最優(yōu)制導律

李宏宇，王旭剛

(南京理工大學 能源與動力工程學院, 南京 210094)

自20世紀末高新技術的大量應用以來，制導炮彈應運而生。制導炮彈與普通炮彈相比有突出的精確性與首發(fā)命中性，與導彈相比有良好的經濟性以及毫不遜色的打擊命中能力，所以近些年制導炮彈在軍事領域中的地位越來越重要，被應用到許多常規(guī)彈藥的領域甚至某些戰(zhàn)術導彈原有的作戰(zhàn)領域[1-3]，這就要求制導炮彈的作戰(zhàn)能力不斷提高，使其在實現(xiàn)遠距離攻擊的同時，依然可以做到在發(fā)射后實現(xiàn)精確打擊。對于一定的初始條件，假設制導炮彈開始制導時的初始高度不變。制導的初始彈目相對的水平距離稱為制導距離。本文通過研究發(fā)現(xiàn)制導距離是有一定范圍的，超過最大制導值，脫靶量將不斷增大，落點發(fā)散，本文將最大制導值稱為制導范圍。不同末制導初始條件，制導范圍不同，本文通過改變制導律里的導航系數(shù)改變制導范圍。

為了提高導彈的發(fā)射價值，Kim于1973年首次推導了具有落角約束形式的末制導律，此后國內外對帶落角約束的末制導律的設計進行了廣泛的研究，部分研究成果已經得到了實際應用[4,5]。加入落角約束是希望導彈能以大角度擊中目標，但是大多數(shù)文獻在研究、推導帶落角約束的制導律時，過程中出現(xiàn)的俯仰角或者彈目連線角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)時，為了計算與推導的方便性，均將其近似。本文為了增強制導律的準確性，在帶落角的最優(yōu)制導律的推導過程中，俯仰角與彈目連線角的三角函數(shù)與反三角函數(shù)均采用不近似原則。最優(yōu)制導律在關于落角約束的制導中應用最廣泛、最簡單。近年來關于最優(yōu)制導律的設計中考慮滿足落點、落角和末端攻角的研究很多，但是由于實際測量中，存在各種滯后與測量誤差，使落點與落角存在誤差。許多人研究在自動駕駛儀動力學滯后和導引頭測量滯后等方面減小誤差[6]。因為在制導律計算時，速度矢量前置角由導引頭提供，若想得到準確的制導律，一定要考慮滯后問題[7,8]。本文主要針對導引頭引起的動力學滯后問題進行研究，將由導引頭引起的時間滯后加入制導過程中，提高制導精度。

1 動力學模型

為設計一種提高制導炮彈能力的末制導律，首先要構建其動力學模型。本文所設計的制導炮彈一般攻擊海上靜止或者運動緩慢的目標。以制導系統(tǒng)開始工作時，炮彈與目標的連線在海平面的投影為x軸建立慣性坐標系，彈目基本關系如圖1所示[9]。

圖1中MT線為當前時刻的彈目連線，vm為制導炮彈飛行速度，θ為彈道傾角，q為彈目視線角，η為前置角，r為視線距離。

根據(jù)彈目基本幾何關系：

(1)

(2)

(3)

q(t)=θ(t)+η(t)

(4)

(5)

假設目標靜止，制導炮彈的速度為vm，加速度為am,且始終am⊥vm，ac表示輸出控制。在不考慮各種滯后的情況下，am=ac[10]。如果制導律成立,根據(jù)Razumikhin理論在制導炮彈最后階段即末制導階段始值很小且線性ηm接近于零，所以上述式子可寫成[11]：

(6)

(7)

圖1 彈目基本關系

2 帶落角的最優(yōu)制導律

根據(jù)圖1所示的彈目關系，可寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(8)

(9)

aM=u

(10)

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)運方程，運用拉式反變換與Schwartz不等式可得到最基本的最優(yōu)制導律公式[12]：

(11)

因為本文尋求大落角、大毀傷，為了增加系統(tǒng)的準確性，本文在帶落角的最優(yōu)制導律的推導與計算過程中q、θ的三角和反三角函數(shù)值采用不近似原則，定義：

sin(q(t))=w

(12)

(13)

(14)

將式(13)、式(14)代入式(11)，得：

(15)

變換式(13)、式(14)得到：

(16)

(17)

將式(17)代入式(15)：

(18)

將式(13)、式(14)代入式(18)，得到：

(19)

3 擴展帶落角約束最優(yōu)制導律

傳統(tǒng)的對固定目標最優(yōu)的落角約束制導律，想達到滿足約束條件的制導結果只能改變初始條件。而每個初始條件都有一個制導范圍，超過這個范圍制導律將達不到制導效果。相比之下制導炮彈的速度對制導結果影響不大。制導炮彈速度一般在一定范圍內，而且在末制導階段默認制導炮彈速度大小不變。所以本文討論影響制導效果的主要因素為制導炮彈的初始俯仰角與制導距離。

當制導炮彈初始俯仰角不變，制導范圍的最大值隨末端約束的角度增大而減小。當制導炮彈的末端約束角不變，制導范圍的最大值隨初始俯仰角的增大而減小。根據(jù)最基礎的帶落角約束的最優(yōu)制導律，當距離超出某值，帶落點的制導律為滿足落角約束，當達到tf制導結束時，落角達到落角約束誤差1°以內，但制導炮彈距離目標還遠遠大于1 m，本文通過其變化特點，通過調節(jié)導航參數(shù)即約束比重，使擴大制導范圍。

假定制導炮彈的初始條件為：初始制導炮彈俯仰角為30°，落角約束為75°，通過仿真計算得到，當制導距離達到3 150 m時，當制導炮彈時間到達tf時，制導結束時脫靶量線性增大，以5 m為基本單位，制導炮彈脫靶量隨xr0的變化而變化規(guī)律如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)的帶落角約束的最優(yōu)末制導律不同初始制導距離對應的脫靶量

可見在超出制導范圍之后的脫靶量線性增長。根據(jù)脫靶量變化情況，可知在一定范圍內，傳統(tǒng)的對固定目標最優(yōu)的落角約束制導律可以達到制導要求，但是超過這個范圍，由于落角的影響，制導律能很好完成制導約束，但是脫靶量隨著初始距離的增大而增大，所以為了在較遠距離實現(xiàn)末制導，可以通過調整控制落點與落角的導航系數(shù)。因為落角隨制導范圍變化不大，所以保持控制落角的導航系數(shù)不變，將控制落點的導航系數(shù)設為變量b，隨xr0的變化而變化。傳統(tǒng)的對固定目標最優(yōu)的落角約束制導律擴展為：

(20)

(21)

(22)

經實驗可得到改進導航系數(shù)之后的制導律，制導范圍明顯增大。

雖然制導范圍增大了，但是制導精度不夠。因為制導律計算的原始數(shù)據(jù)來自于導引頭，導引頭導致動力學滯后，所以在改進落角約束最優(yōu)制導律時，要考慮由導引頭引起的動力學滯后。

圖3 改進后帶落角約束的最優(yōu)末制導律不同初始制導距離對應的脫靶量

4 導引頭動力學滯后下的制導律

導引頭引起的動力學滯后，即在測量角度時有時間滯后。本文考慮在測量彈道角(炮彈速度矢量與基準線之間的夾角)時的時間滯后。用延遲的η(t-τ)代替理想的η(t)，τ為延遲時間，因為t時刻的q(t)是從η(t)得到的，根據(jù)式(7)：

q(t)、η(t)代表理想t時刻的彈目視線角與前置角；

q(t-τ)、η(t-τ)代表實際滯后情況下的彈目視線角與前置角。

(23)

所以η(t-τ)對應的q(t-τ)為：

(24)

根據(jù)式(6)，η(t-τ)對應的r(t-τ)為：

r(t-τ)=r(t)+vm·τ

(25)

將式(23)、式(24)、式(25)代入式(19)，有：

(24)

再根據(jù)式(1)、式(10)，可得到：

(25)

在計算、求其他制導炮彈的信息時，注意：

(27)

5 仿真

為了驗證制導律的正確性，給定初始條件如表1所示。xm0、ym0表示制導炮彈初始制導位置坐標，xT、yT表示目標的位置坐標，θ0表示初始彈道傾角，qf表示末制導的落角約束。

當不考慮動力學滯后的時候，給定彈目坐標以及制導炮彈速度以及初始彈道傾角，傳統(tǒng)的制導律能很好的求得落角，但脫靶量精度大于1。在考慮滯后時間因素后，圖4表明，增加滯后時間項之后，通過調節(jié)滯后時間，脫靶量有明顯的優(yōu)化，從1.072減小到 0.020 513。

表1 制導系統(tǒng)初始條件

圖5、圖6表示，本文推導的制導律可以實現(xiàn)在增大落點精度的同時，落角精度基本保持不變。

圖4 彈目運動軌跡對比

圖5 彈目相對距離變化對比

圖6 制導炮彈彈道傾角變化對比

6 結論

1) 本文針對擴大的制導炮彈的應用領域對制導炮彈提出的新要求，在大角度的三角函數(shù)與反三角函數(shù)不近似的情況下對傳統(tǒng)的最優(yōu)制導律的基礎上加入了落角約束，提高了制導炮彈的打擊效果。

2) 為了增大制導炮彈的射擊自由度與初始狀態(tài)的靈活選擇度，在制導律中通過改變導航系數(shù)增大了制導距離。

3) 因為制導計算推導的原始數(shù)據(jù)來源于導引頭，制導精度不足，考慮了滯后因素，通過調節(jié)滯后時間滿足了落角要求，達到很好的落點。