巖石節(jié)理在固定法向壓力剛度條件下的剪切理論研究

史 玲，蔡美峰

（1. 北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；2. 北京科技大學(xué) 金屬礦山高效開采與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083）

1 引 言

CNS（constant normal stiffness）剪切試驗(yàn)是指試件在剪切過(guò)程中，存在一固定法向剛度Kn，所施加的法向壓應(yīng)力隨著法向剪脹位移的變化而變化。Goodman通過(guò)試驗(yàn)及圖解方式說(shuō)明了巖塊在滑落過(guò)程中，若通過(guò)不斷施加法向壓力限制其剪脹為0，節(jié)理在剪切過(guò)程中就會(huì)需要更大的剪力[1]。

這一節(jié)理剪切狀態(tài)通常出現(xiàn)在地下巷道圍巖中松散巖體的下滑過(guò)程。此時(shí)若要使巖石滑落首先要使石塊在滑落過(guò)程中具備足夠的剪脹空間，否則因?yàn)橹車鷰r塊的法向位移限制，而使節(jié)理摩擦阻力增大，巖石要想滑落，所需下滑主動(dòng)力也相應(yīng)增大。

目前對(duì)節(jié)理在 CNS條件下的剪切研究主要以試驗(yàn)為主，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果提出半經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度公式[2－3]。理論上主要根據(jù)Goodman的圖解法，提出法向位移方向的剪切剛度 kns、剪切位移方向的法向剛度 ksn來(lái)預(yù)測(cè)CNS剪切過(guò)程[4－6]。但這一方法較為復(fù)雜，不易理解。本文從剪切過(guò)程中法向剪脹位移與剪切位移的關(guān)系出發(fā)，將該問(wèn)題簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型，并假設(shè)最大剪切應(yīng)力與殘余剪切應(yīng)力出現(xiàn)時(shí)的剪切位移為定值，根據(jù)模型中塊體相對(duì)位移不變，算出某剪切位移條件下的壓應(yīng)力值與剪切應(yīng)力值，通過(guò)不斷的循環(huán)迭代得到整個(gè)過(guò)程的剪切應(yīng)力變化曲線。

2 節(jié)理在CNS條件下的剪切模型

2.1 基本假設(shè)

根據(jù)大量的試驗(yàn)結(jié)果[4]，普通直剪試驗(yàn)所得曲線如圖1所示，對(duì)于剪切應(yīng)力與剪切位移關(guān)系曲線，當(dāng)剪切位移u從0增大到up時(shí)，假設(shè)剪切應(yīng)力線性增大到τp，當(dāng)upur，保持τr不變。而對(duì)剪脹與剪切位移關(guān)系曲線，法向剪脹位移從0線性增大的最大值（u

式中：c為節(jié)理凝聚力；σn為法向壓應(yīng)力；φ為節(jié)理基礎(chǔ)摩擦角；in為剪脹角。

圖1 普通直剪試驗(yàn)曲線Fig.1 Curves of ordinary direct shear test

對(duì)于不同法向壓應(yīng)力下的直剪試驗(yàn)曲線，一般有兩種形式[4]，如圖2所示：一種是剪切剛度不變，即ks為定值，剪切應(yīng)力表達(dá)式為

另一種是剪切應(yīng)力達(dá)到最大值和殘余強(qiáng)度時(shí)的剪切位移不變，即up、ur為定值，此過(guò)程中剪切應(yīng)力表達(dá)式為

式中：u為剪切位移；up為達(dá)到最大剪切應(yīng)力時(shí)的位移；ur為達(dá)到殘余強(qiáng)度時(shí)的位移。

第1種形式計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，很多軟件在處理節(jié)理強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)都采用此種形式；第2種形式較第 1種形式更能真實(shí)反映大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果，Goodman[1]、Seab[4]在研究CNS剪切過(guò)程中均采用此種形式。因此，本文也用第2種形式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

圖2 不同壓應(yīng)力下剪切應(yīng)力與剪切位移曲線形式Fig.2 Curves of shear stress vs. shear displacement

2.2 物理模型的建立

根據(jù)圖1剪切過(guò)程中法向位移與剪切位移的關(guān)系簡(jiǎn)化曲線，本文采用兩塊相配的楔形體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)表示，如圖3所示。

圖3(a)中，對(duì)于初始?jí)簯?yīng)力σ0，剪脹角為i0，直剪試驗(yàn)中剪脹曲線的變化可以由塊體A以傾角i0沿塊體B運(yùn)動(dòng)過(guò)程來(lái)表示，楔形體寬度為ur。若壓應(yīng)力增大為σn，如圖3(b)所示，假設(shè)在剪切過(guò)程中，均先施加壓力再施加剪力，由于彈簧Kj，塊體B會(huì)下降一段距離，相對(duì)于圖3(a)，剪脹角減小為i，但塊體A和B的相對(duì)運(yùn)動(dòng)角度仍為i0。Kj表示的是節(jié)理在剪切過(guò)程中因法向壓應(yīng)力增大而使法向位移減小的狀況，包括節(jié)理的法向壓縮與剪脹角的磨損，很明顯Kj不是定值，這將在2.3節(jié)中討論。

因此，對(duì)于CNS條件下的剪切過(guò)程，在塊體A上加一彈簧 Kn即可控制法向壓應(yīng)力的變化，如圖3(c)所示。若CNS剪切試驗(yàn)時(shí)所施加的初始?jí)簯?yīng)力為σ0，初始剪脹角為i0，則在任意狀態(tài)（u

當(dāng)u>ur時(shí)，法向壓應(yīng)力保持不變。

式中：σ0為初始?jí)簯?yīng)力；i0為初始剪脹角；Kn為控制壓應(yīng)力的法向剛度；Kj為控制節(jié)理法向變形的剛度，此處應(yīng)為絕對(duì)值。

將式（7）代入式（1）～（4）即可得到該時(shí)刻剪切應(yīng)力的值。

圖3 楔形塊體模擬剪切過(guò)程示意圖Fig.3 Sketches of wedge block simulating shear progress

2.3 模型中具體參數(shù)確定及運(yùn)算方法

CNS試驗(yàn)式（4）～（7）中，初始?jí)簯?yīng)力σ0、i0、up、ur、Kn為定值。但對(duì)于Kj，它表示壓應(yīng)力增大使得剪切過(guò)程中節(jié)理法向剪脹位移減小的變化。由圖3(b)可以看出，節(jié)理剪脹法向位移由兩部分組成，一是單純的節(jié)理法向位移隨著壓應(yīng)力的增大而減小量f(σn)：另一部分表示剪切過(guò)程中由于節(jié)理齒的磨損 f(in)，剪脹角由i0減小為in。故總的法向位移可以表示為

式（8）中節(jié)理法向單調(diào)加載本構(gòu)關(guān)系 f(σn)項(xiàng)由于接觸結(jié)構(gòu)面的強(qiáng)度性質(zhì)和接觸狀態(tài)，存在不同的經(jīng)驗(yàn)公式[1,7－9]。此處采用 Bandis的雙曲模型來(lái)代入計(jì)算[9]。將σ0定為初始?jí)簯?yīng)力，如圖4(a)所示，則其關(guān)系式可寫為

式中：Vm為節(jié)理的最大閉合位移；Kni為雙曲線模型中的最初斜率，此處假設(shè)為常數(shù)。

圖4 不同法向壓應(yīng)力下節(jié)理法向位移與剪脹角變化曲線Fig.4 Variation curves of normal displacement and dilatancy angle (tangent value) with different normal compressive stresses

同理，式（8）中剪脹角的磨損項(xiàng)，根據(jù)Ladanyi和Archambault得出的經(jīng)驗(yàn)公式[10]，也引入初始?jí)簯?yīng)力σ0和初始剪脹角i0，則由剪脹角引起的法向位移變化可寫為

式中：σT為節(jié)理在直剪過(guò)程中不發(fā)生剪脹現(xiàn)象時(shí)的最大壓應(yīng)力；m為系數(shù)，一般情況下，m=4。

將式（10）、（11）代入式（9），同時(shí)使Kj取正值得：

將式（12）代入式（7），即可用迭代法解得壓應(yīng)力與剪切位移在CNS剪切條件下的關(guān)系式，得到σn，進(jìn)而可得到剪切應(yīng)力與剪切位移的關(guān)系。注意當(dāng) σ0=σT時(shí)，式（11）不成立，此時(shí)初始剪脹角i0=0，無(wú)剪脹，為Kn=0的情況。且在CNS剪切過(guò)程中，可能出現(xiàn) σn=σT的情況，這時(shí)剪脹角的磨損量即為初始剪脹角，也無(wú)剪脹，故在迭代計(jì)算時(shí)要考慮σn（包括σ0）與σT的關(guān)系。計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 計(jì)算流程圖Fig.5 Flow chart of calculation

3 算例及各參數(shù)影響

取初始值如表 1所示，設(shè)所有應(yīng)力單位均為MPa，剛度單位為 MPa/mm，位移單位為 mm，位移變量u從0到15，所得結(jié)果如圖6所示。

表1 初始參數(shù)Table 1 Initial values

圖6 節(jié)理在CNS條件下的剪切應(yīng)力曲線Fig.6 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions

由計(jì)算得 CNS剪切過(guò)程中壓應(yīng)力的變化從5 MPa到10 MPa左右，故在圖6中分別畫出壓應(yīng)力為5～11 MPa時(shí)直剪狀態(tài)（CNL）下的剪切應(yīng)力曲線。通過(guò)對(duì)比可得，初始?jí)簯?yīng)力為5 MPa時(shí)，CNS條件下剪切應(yīng)力隨著剪切位移的增大而增加，其值明顯大于壓應(yīng)力5 MPa時(shí)CNL條件下的剪切應(yīng)力值。而且在此算例中，與CNL直剪曲線相比，CNS的剪切應(yīng)力曲線沒有明顯的衰減過(guò)程，到達(dá)最大強(qiáng)度后，幾乎一直保持該強(qiáng)度到最后。因此，在CNS條件下，剪切應(yīng)力曲線更加平緩。

由式（7）得 CNS條件下壓應(yīng)力的變化由 Kn與 Kj協(xié)調(diào)控制，Kn的確定較為簡(jiǎn)單，而 Kj的取值則較為復(fù)雜。決定Kj取值的式（10）與式（11）中的參數(shù)值不僅與巖石強(qiáng)度有關(guān)，還與節(jié)理風(fēng)化程度、接觸狀態(tài)、節(jié)理粗糙度及實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)條件有關(guān)，其值存在很大的離散性。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，即使同一種巖石，試驗(yàn)所得節(jié)理強(qiáng)度參數(shù)也不盡相同[11]。

為簡(jiǎn)單計(jì)，本文只討論式（7）與式（12）中參數(shù)單獨(dú)變化時(shí)的剪切應(yīng)力曲線。

3.1 不同Kn條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

初始?jí)簯?yīng)力仍為5 MPa，對(duì)于Kn值，分別取2、10、50、500 MPa/mm，其他參數(shù)同表1中所列，所得剪切應(yīng)力曲線如圖 7所示。當(dāng) Kn很小時(shí)（圖中Kn=2 MPa/mm曲線），其變化趨勢(shì)類似于CNL條件下的剪切應(yīng)力曲線，隨著Kn的增加，其曲線逐漸變的平滑。當(dāng)Kn無(wú)限大時(shí)，通過(guò)式（7）可得，壓應(yīng)力變化由Kn與 Kj相互協(xié)調(diào)控制，在此情況下其壓應(yīng)力增量則取決于 Kj（Kj此處可看為定值），故其剪切應(yīng)力曲線隨著Kn的無(wú)限增大而趨于穩(wěn)定。

圖7 不同Kn條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.7 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Kn

3.2 不同Vm條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

取不同的Vm值0、3、5、10 mm，其余參數(shù)保持不變，所得結(jié)果如圖8所示。當(dāng)Vm=0 mm 時(shí)，不存在式（10）代表的節(jié)理法向變形，剪切過(guò)程中只有剪脹角的磨損。因?yàn)橹淮嬖诩裘?，所引起的壓?yīng)力值較大，故剪切應(yīng)力值也較大。隨著Vm的增加，緩解了法向的變形，剪切應(yīng)力值逐漸減小。

圖8 不同Vm條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.8 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Vm

3.3 不同σT條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

當(dāng) σn=σT時(shí)，式（11）所代表的變形為-u tani0，此時(shí)剪脹角的磨損量為原剪脹角，即不存在剪脹。同理當(dāng) σn＞σT時(shí)，剪切過(guò)程中也不存在剪脹，法向壓應(yīng)力維持不變，且此時(shí)因?yàn)榧裘浗菫?0，最大剪切應(yīng)力值同殘余剪切應(yīng)力值。故參考表1中相關(guān)數(shù)值，取不同的σT值分別為2、5、10、50 MPa，其余參數(shù)保持不變，結(jié)果如圖9所示。由圖9可看出，隨著σT的增加，其剪切應(yīng)力也逐漸增大。

當(dāng)σT=2 MPa與σT=5 MPa時(shí)，因?yàn)槌跏級(jí)簯?yīng)力σ0=5 MPa，剪切過(guò)程中不存在剪脹，最大剪切應(yīng)力值與殘余剪切應(yīng)力值相同，且兩條曲線重合，如圖9所示。對(duì)于圖中σT=10 MPa的曲線，其剪切應(yīng)力在從剪切位移約為5 mm時(shí)即維持不變。這表明在CNS剪切過(guò)程中，在剪切位移為5 mm附近，壓應(yīng)力 σn≥ σT，剪脹角為0，此后將不在發(fā)生剪脹，法向壓應(yīng)力保持不變。

圖9 不同σT條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.9 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of σT

3.4 不同Kni條件下的CNS剪切應(yīng)力變化

表1中，取不同的Kni值3、5、9、13 MPa/mm，其余參數(shù)保持不變，得到的結(jié)果如圖 10所示，Kni值越大，其剪切應(yīng)力強(qiáng)度越大。Kni表示式（10）雙曲線的最初斜率，其數(shù)值越大，表示節(jié)理越不易壓縮，它與Vm的作用相反。

圖10 不同Kni條件下CNS剪切應(yīng)力曲線Fig.10 Shear stress vs. shear displacement curves under CNS conditions with different values of Kni

4 結(jié) 論

本文以節(jié)理剪切過(guò)程中法向剪脹位移與剪切位移的關(guān)系為基礎(chǔ)，通過(guò)一個(gè)楔形物理模型來(lái)模擬節(jié)理在CNS條件下的剪切過(guò)程，同時(shí)討論了節(jié)理主要參數(shù)對(duì)CNS剪切曲線的影響。

（1）增大法向壓應(yīng)力剛度Kn，其CNS剪切強(qiáng)度也增大，但并不是無(wú)限增大，而是隨著Kn的增加而趨于穩(wěn)定。

（2）對(duì)于影響節(jié)理法向變形的參數(shù)（包括單軸壓縮變形及剪脹角的磨損），其值的改變所引起的剪切應(yīng)力變化規(guī)律表現(xiàn)為，節(jié)理在剪切過(guò)程中越不易發(fā)生壓縮變形，其剪切應(yīng)力值也就越大。

所提出的計(jì)算模型能準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)節(jié)理在 CNS條件下的剪切過(guò)程，使得研究各參數(shù)的影響變得更加容易，為以后的研究奠定基礎(chǔ)。

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