軸、橫向荷載下基于局部彼得羅夫-伽遼金法的超長樁受力分析

吳 鳴，鐘永國

(汕頭大學 土木工程系，廣東 汕頭 515063)

隨著國民經濟的持續(xù)穩(wěn)健發(fā)展，高層、超高層建筑及大跨徑、新結構橋梁的大量涌現，超長樁在工程建設中的應用越來越廣泛，給樁基理論研究與實踐提出了新的課題與挑戰(zhàn).但迄今對超長樁的承載性能研究大都局限于豎向或水平荷載的單獨作用，而對軸、橫向荷載共同作用下超長樁樁土相互作用的研究文獻甚少，且大多集中在單層土中的中短樁.然而，由于風荷載、地震作用、輪船的撞擊荷載及車輛的動力荷載，實際工程中樁基礎常常處于軸、橫向荷載(即傾斜荷載)的共同作用，僅受豎向或橫向荷載作用的情況很少.目前，在已有文獻中有關超長樁的承載變形機理研究大多基于比較成熟的有限元法，然而有限元法在處理諸如大變形、樁土接觸面等問題時將會遇到網格畸變、網格移動等難題，超長樁承載變形機理研究的突破很大程度上依賴于引入合適的數值計算方法，超長樁在軸、橫向荷載作用下，不僅其水平力將使樁身產生較大的彎矩和撓曲變形，豎向力也將由于樁身撓曲變形的出現而產生一附加彎矩(即所謂的“P-Δ”效應)，而這一附加彎矩又將促進樁身撓曲變形的增加.此外，樁側土體的彈性抗力分布也非常復雜，因此至今尚無成熟的計算方法.目前，各規(guī)范均采用簡化的計算方法，難以準確評價軸、橫向荷載下樁身內力和位移的變化情況，只適用于線彈性小變形情況，具有一定的局限性.對橫向荷載較大，且土質較軟的橋梁樁基，尤其是在無縫橋梁的大變形條件下，該問題更為突出.

對于軸、橫向荷載同時作用下基樁的內力和位移分析，日本學者橫山幸滿(1984年)、我國范文田(1986年)、趙善銳(1987年)以及文獻[1—2]等分別在“張氏法”和“m”法假設前提下進行過探討，國外Meyerhof、Sastry等[3-4]對該項研究進行了大量卓有成效的工作，尤其是其試驗研究為該領域的開展做出了突出的貢獻.盡管國內外一些學者對該問題進行了研究，但從目前的研究文獻看，對于軸、橫向荷載下超長樁的研究都基于冪級數解答或有限元等傳統(tǒng)的數值計算方法，無論從設計分析理論上，還是在工程實踐中尚存在較多的問題和不足，有待進一步完善和發(fā)展.

筆者將引入無網格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)，以期實現軸、橫向荷載下超長樁樁土相互作用的數值模擬，提出針對超長樁在軸、橫向荷載共同作用下既能滿足計算精度又便于工程應用的新的計算分析模型和計算方法，為無網格法在樁基工程及土木工程領域的應用打下基礎，也為分析超長樁承載性能的數值計算方法提供另外一種選擇.這里尤其值得一提的是文獻[5—7]對無網格彼得羅夫-伽遼金法在樁基工程領域的應用做了大量的工作，但是都基于單一承受水平或豎向荷載的情況，用于軸、橫向荷載下超長樁的研究分析還尚未見報道.

1 軸橫向荷載及大變形下超長樁分析的無網格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)

1.1 無網格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)

目前，在工程實踐中，軸、橫向荷載共同作用下超長樁的受力分析與計算大都采用以文克爾假設為基礎的彈性地基梁法[2-3]，其將樁周土看作為一個個孤立的橫向彈簧，不易考慮地基土的層狀構造，以及土應力-應變關系的非線性特性，并忽略了土體的連續(xù)性，因而不能充分反映樁-土共同作用的實際情況，尤其是大變形條件下更是如此.

當前，用于超長樁分析中的無網格法都是基于使用移動最小二乘近似函數進行插值的無網格伽遼金法(EFGM)或者無網格局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)進行數值模擬，前者需要利用全局背景網格進行數值積分以計算系統(tǒng)矩陣，不能算作真正的無網格法；后者無論是函數近似還是積分均不需要全局網格，其分析過程與基于強式的數值方法，如有限差分法(FDM)很相似[8].

筆者采用 MLPG法，同時考慮軸、橫向力共同作用，考慮材料的不連續(xù)性以及基樁的大變形 P-Δ效應.地基采用層狀橫向各向同性彈性半空間地基模型，A類邊界條件，具體可參見文獻[7—8].

局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)離散格式[8]如下，彈性力學中 MLPG的局部弱式可通過以下加權殘量法得到

式中：wi為權函數矩陣，第二項積分用于施加位移邊界條件，這是因為 MLPG中的 MLS(moving leastsquare approximation，移動最小二乘近似)形函數不具備 Kroneker δ 函數性質，從而采用罰函數法施加位移邊界條件；Ωq是結點i的局部積分域；Γqu是與積分域Ωq相交的那部分位移邊界；α 是懲罰因子，文中統(tǒng)一采用相同的懲罰因子；ui及分別為接觸面上兩邊的域內的位移.

采樣點X處的位移可采用MLS形函數，近似表示為

式中：Φi為MLS形函數；Φ 為有MLS形函數所組成的矩陣.

對(1)式左邊第一項第一部分進行分部積分得

式中：nj為邊界上單位外法線向量的第j個分量.

把(2)、(3)式代入(1)式進行離散、合并整理后可以得到

式中：Ki為第i個場節(jié)點的結點剛度矩陣；fi為節(jié)點力向量，具體計算公式如下

式中： Γqt為與積分域相交的表面力邊界；Vi為權函數導數矩陣；D、B分別為彈性常數矩陣和應變矩陣；n為邊界上的單位外法線向量為表面力向量，b為外力向量.

然后對問題域內所有 N個場節(jié)點應用(4)式，組裝即可得到總體系統(tǒng)方程.MLPG的系統(tǒng)方程為離散線性代數方程形式，即

解此方程可得到結點位移參數，進而利用(2)式可求得問題域內任意點的真實位移，從而可求得應力和應變.

1.2 材料不連續(xù)問題的處理

Cordes等人提出了一種處理材料不連續(xù)問題的可視性準則[9]，按照這種方法用 MLS 構造的試探函數和檢驗函數及其導數在材料界面處是不連續(xù)的，因此需要在材料界面處施加約束條件.兩側樁、土兩種材料所占據的區(qū)域分別記為Ω-和Ω+并已有學者在無網格法當中應用.在離散式中表現為式(1)左邊第二項所采用的罰函數法.ui及分別為接觸面上相應于土域Ω+和樁域Ω-內的位移.

1.3 基樁大變形的MLPG法處理方法

按文獻[7]所述基樁大變形問題的處理方法，即采用完全的拉格朗日法，以初始時刻構形為參考構形，增量迭代進行計算.每級荷載增量為ΔPi，在第 i個增量步迭代收斂后，可由第i個增量步開始時的切向剛度矩陣[K]i-1(其中包含了第i個增量步以前所有加載過程中各種非線性因素對樁土系統(tǒng)剛度矩陣的貢獻)提取線性荷載值，相應的提取非線性荷載值的方程可表示為

式中：[K]i-1為第 i個增量步開始時系統(tǒng)的切向剛度矩陣；[ΔK]σ 為系統(tǒng)幾何剛度矩陣；{Δd}為增量位移；{Δf }為增量外荷載、體力和面力矩陣.

針對MLPG法(7)式最終簡化為

式中：[K]為對樁土分析域各節(jié)點按權重和形函數在其定義域積分得到的剛度矩陣.這樣，無網格法具有了和有限元法相似的平衡方程形式.計算當中將計入樁頂P-Δ效應對樁身內力的影響.

2 計算結果分析

為進一步分析軸、橫向荷載下橋梁基樁的 P-Δ效應及驗證本文方法的正確性，采用 MLPG法對文獻[10]中的算例進行了計算，如圖 1所示.圖中E2＝19333 MN/m2，E1＝18000 MN/m2.樁端支于土中(非嵌巖)，樁側土地基比例系數 m＝10 MN/m4，計算結果如表1所示.表中同時列出了冪級數及有限元法相應的各種解答，以資比較.

筆者還給出了考慮和不考慮軸向力時樁身彎矩及位移隨深度的變化圖，如圖2-3所示.

從表1可見，本方法計算結果與冪級數和有限元法所得結果基本一致.由于P-Δ效應，樁身彎矩和位移值提高較大，當計入軸力時，其樁頂位移增大29.7%，地面處樁身位移增大27.3%，彎矩增大31.4%，樁身最大彎矩增大29.4%.如果軸向荷載再增加，樁身的內力和位移將增加更快，并呈非線性增加.因此，當基樁的自由長度及軸向荷載較大時，P-Δ效應是不可忽視的.

圖1 基樁受力圖

表1 內力位移計算比較

從圖2-3中還可以看出，隨著基樁入土深度的增加，P-Δ效應越來越不明顯，這是由于隨著入土深度的增加，樁身撓曲位移極小而導致P-Δ效應極微.由此可見，對于低承臺樁基的分析可不考慮P-Δ效應，以簡化計算.

圖2 樁身彎矩比較

圖3 樁身位移比較

3 結 語

(1)采用局部彼得羅夫-伽遼金法(MLPG)，能克服有限元法在處理諸如大變形、樁土接觸面出現滑移，脫開等問題時將會遇到的網格畸變、網格移動等難題，為無網格法在樁基工程領域的應用打下了基礎.

(2)該方法解決了超長樁大變形、材料不連續(xù)性等難題，在分析中考慮了層狀地基及 P-Δ效應，緊貼實際應用，它不需要全局背景網格，是一種真正的無網格法.

(3)在基樁自由長度和軸向荷載較大時，由于P-Δ效應，樁身最大彎矩和樁頂位移提高很大，在設計計算中不容忽視.

［1］趙明華.軸向和橫向荷載同時作用下的樁基計算[J].湖南大學學報，1987(2)：66-81.

［2］趙明華，侯運秋，曹喜仁.傾斜荷載下基樁的受力研究[J]. 湖南大學學報，1997(4)：98-102.

［3］SASTRY V V R N，MEYERHOF G G. Behavior of flexible piles under inclined loads[J]. Canadian Geotechnical Journal，1990，27：19-28.

［4］SASTRY V V R N，MEYERHOF G G. Behavior of flexible piles in layered clays under eccentric and inclined loads[J]. Canadian Geotechnical Journal，1995，32：387-396.

［5］趙明華，劉敦平，鄒新軍. 橫向荷載下樁-土相互作用的無網格分析[J]. 巖土力學，2008，9(29)：2476-2480.

［6］賀 煒，陳永貴，梁 斌. 超長樁承載性狀分析的無網格局部彼得羅夫-伽遼金法[J]. 南華大學學報，2009，23(2)：101-106.

［7］趙明華，汪 優(yōu)，王 靚. 水平受荷樁的非線性無網格分析[J]. 巖土工程學報，2007，29(6)：907-912.

［8］LIU G R. Mesh Free Methods-Moving Beyond the Finite Element Method[M]. New York：CRC Press.2003.

［9］CORDES L W，MORAN B. Treatment of material discontinuity in the element-free Galerkin method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1998，152：19-46.

［10］趙明華，吳 鳴，橋梁樁基計算與檢測[M]. 北京：人民交通出版社，2000.