分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性

王 林，張興秋

分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性

*王 林，張興秋

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東，聊城 252059）

利用不動點指數(shù)理論在相應(yīng)線性算子的第一特征值條件下，得到一類分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性定理。

分?jǐn)?shù)階微分方程；積分邊值問題；第一特征值；正解；不動點指數(shù)

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程成為人們研究的熱點，其廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、流變學(xué)、粘彈性力學(xué)等諸多學(xué)科。其中許多數(shù)學(xué)工作者對分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性做了大量研究[1-10]。

在文獻[1]中，王永慶等在Banach空間研究分?jǐn)?shù)階微分方程

在文獻[4]中，李等研究分?jǐn)?shù)階微分方程

在文獻[10]中，白等研究分?jǐn)?shù)階微分方程

目前，結(jié)合第一特征值研究分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解存在性的結(jié)果較少。

本文利用不動點指數(shù)理論結(jié)合相應(yīng)線性算子的第一特征值研究下面的分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性。

1 預(yù)備知識

其中

證 應(yīng)用引理1.2，將(1)中微分方程轉(zhuǎn)化為等價的積分方程

因此得到

將(1.3)式從0到1積分得

得

因此，

證畢。

證畢。

.

定義

由Krein-Rutmann定理，引入下面的引理。

2 主要結(jié)果及其證明

定理2.1設(shè)

則邊值問題(1)至少有一個正解。

我們斷言

下面證明是有界的。

則是有界的。

由引理1.9知

由(2.3)、(2.6) 得

證畢。

[1] 王永慶, 劉立山. Banach空間中分?jǐn)?shù)階微分方程點邊值問題的正解[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報, 2012(32):246-256.

[2] Xu Xiaojie, Jiang Daqing, Yuan Chengjun. Multiple positive solutions for the boundary value problem of a nonlinear fractional differential equation[J]. Nonlinear Analysis, 2009(71): 4676-4688.

[3] Bai Zhanbing. On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem [J]. Nonlinear Analysis, 2010 (72):916-924.

[4] Li C F, Luo X N, Yong Zhou. Existence of positive solutions of the boundary value problem for nonlinear fractional differential equations[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2010(59):1363-1375.

[5] Zhao Yige, Sun Shurong, Han Zhenlai, et al. The existence of multiple positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2011(16):2086-2097.

[6] Christopher S Goodrich. Existence of a positive solution to a class of fractional differential equations[J]. Applied Mathematics Letters, 2010(23):1050-1055.

[7] Wang Yongqing, Liu Lishan, Wu Yonghong. Positive solutions for a nonlocal fractional differential equation[J]. Nonlinear Analysis, 2011(74):3599-3605.

[8] Babakhani A, Varsha Daftardar-Gejji. Existence of positive solutions of nonlinear fractional differential equations[J]. J. Math. Anal. Appl., 2003(278) :434-442.

[9] Zhao Yige, Sun Shurong, Han Zhenlai, et al. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J].Applied Mathematics and Computation,2011(217):6950-6958.

[10] Bai Zhanbing, LüHaishen. Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation[J]. J. Math. Anal. Appl.，2005(311): 495-505.

[11] Guo D, Lakshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cones[M]. New York :Academic Press, 1988.

[12] 郭大鈞. 非線性泛函分析[M]. 濟南:山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004.

EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH INTEGRAL BOUNDARY VALUE PROBLEM

*WANG Lin，ZHANG Xing-qiu

(Department of Mathematics, Liaocheng University ,Liaocheng , Shangdong 252059, China )

In this paper, we are concerned with the existence of positive solutions for a class of fractional differential equations with integral boundary value problem. Furthermore, we obtain the existence of positive solutions by fixed point index theory under some conditions concerning the first eigenvalue with respect to the relevant linear operator.

fractional differential equations; integral boundary problem; the first eigenvalue; positive solution; fixed point index

O175.8

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2012.06.001

1674-8085(2012)06-0001-05

2012-06-12；

2012-07-28

國家自然科學(xué)基金項目（10971179）；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家獎勵基金項目(BS2010SF004)；山東省高等學(xué)?？萍及l(fā)展計劃項目(J10LA53)

*王 林(1985-)，男，山東茌平人，碩士生，主要從事非線性系統(tǒng)理論及應(yīng)用研究(E-mail:15020608675@163.com);

張興秋(1975-)，男，山東濟寧人，副教授，博士，主要從事微分方程理論及應(yīng)用研究(E-mail:zhxq197508@163.com).