乘法擾動下任意矩陣次酉極因子的擾動界

孔祥強

（菏澤學院 數(shù)學系，山東 菏澤274000）

乘法擾動下任意矩陣次酉極因子的擾動界

孔祥強

（菏澤學院 數(shù)學系，山東 菏澤274000）

利用矩陣的奇異值分解和廣義極分解，在乘法擾動下，研究了任意矩陣次酉極因子的擾動界，得到了全新的擾動上界定理，所得結(jié)論將文獻［3］中的列滿秩矩陣推廣到了非列滿秩矩陣．

次酉極因子；廣義極分解；擾動界

對矩陣次酉極因子擾動的研究是矩陣擾動問題研究的重要方向，國內(nèi)外學者已對其進行了許多研究，并取得了很多成果．在文獻［1］中給出了當A及其擾動矩陣均為列滿秩矩陣時矩陣次酉極因子的擾動界；文獻［2］研究了對于非滿秩且有唯一廣義極分解的矩陣，并進一步推廣了文獻［1］的結(jié)果；文獻［3］中給出了任意酉不變范數(shù)下矩陣次酉極因子的擾動界．本文利用矩陣的奇異值分解和廣義極分解，研究任意矩陣在乘法擾動下其次酉極因子的擾動上界，得到新的非滿秩矩陣次酉極因子的擾動界，所得結(jié)果推廣了文獻［3］中的結(jié)論．

1 幾個定義和定理

定義1［4］設(shè)A∈Cm×n，AHA的n個特征值的非負平方根為A的奇異值．若把AHA的特征值記作則A的奇異值為

定義2［4］如果1個定義在Cm×n上的非負實值函數(shù)‖·‖滿足下列條件：為酉陣滿足rank（A）＝1，其中A，B∈Cm×n，則這個非負實值函數(shù)‖·‖稱為Cm×n上的酉不變范數(shù)．

定義3［5］若Q∈Cm×n滿足QHQ＝I（n），則稱Q為m×n酉矩陣；若Q∈Cm×n滿足‖Q x‖2＝ ‖x‖2，?x∈R（QH）（（R（QH）表示由QH的所有列空間所張成的子空間），則稱Q為m×n次酉矩陣．

設(shè)Q∈Crm×n，則Q為次酉矩陣的充分必要條件是Q＝U1V1H，其中U1為m×r酉矩陣，V1為n×r酉矩陣［6］．

定義4［5］若A∈Cm×n有分解A＝QH，其中Q∈Cm×n為次酉矩陣，H∈Cn×n為半正定矩陣，則稱該分解為A的廣義極分解，稱Q為次酉極因子．

定理1［4］設(shè)分塊矩陣則對任一酉不變范數(shù)

定理2［4］設(shè)存在酉陣U及V，使得其中σr），σ1≥…≥σr＞0，稱此分解為矩陣A的奇異值分解．

定理3［4］設(shè) ‖·‖ 為Cm×n上的酉不變范數(shù)，則有 ‖AB‖ ≤ ‖A‖2‖B‖，?A∈Cm×m，?B∈Cm×n和 ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖2，?A∈Cm×n，?B∈Cn×n．

定理4［6］設(shè)A∈Cm×n，則在條件R（QH）＝R（H）限制下，A的廣義極分解A＝QH是唯一的，其中

2 主要結(jié)論

引理1［7］設(shè)M和N是2個Hermite（即MH＝M，NH＝N）矩陣，C是復矩陣且具有適當?shù)木S數(shù)，Δ＝［α，β］?R，Δ′＝R＼（α－δ，β＋δ），其中δ＞0，如果λ（M）?Δ，λ（N）?Δ′，則矩陣方程MXXN＝S存在唯一的解X，且對任意的酉不變范數(shù)‖·‖，有‖X‖≤‖S‖/δ．

引理2［3］設(shè)A當

由矩陣的分塊可得

所以有

所以有

對（1）式進行共軛轉(zhuǎn)置得

由（4）—（7）式得

由Σ1和均為非奇異矩陣及（2）和（3）式可得

由Σ1和1均為非奇異矩陣及（5）和（6）式可得

由（14）—（16）式可得

綜合（9）、（13）和（17）式可知結(jié)論成立．

［1］ Li R C．Relative perturbation bounds for the unitary polar factor［J］．BIT，1997，37（1）：67－75．

［2］ Chen X S，Li W，Sun W W．Some new perturbation bounds for the generalized polar decomposition［J］．BIT，2004，44（2）：237－244．

［3］ 陳小山，黎穩(wěn)．酉不變范數(shù)下極分解的擾動界［J］．計算數(shù)學，2005，27（2）：121－128．

［4］ 孫繼廣．矩陣擾動分析［M］．2版．北京：科學出版社，2001：12－49．

［5］ 孫繼廣，陳春暉．廣義極分解［J］．計算數(shù)學，1989，11（3）：262－273．

［6］ Ben－Israel A，Greville T．Generalized inverses：theory and applications［M］．New York：Springer－Verlag，2003：218－220．

［7］ Bhatia R．Matrix analysis［M］．New York：Springer，1997：152－157．

Multiplicative perturbation bounds of the sub－unitary polar factor for arbitrary matrices

KONG Xiang－qiang
（Department of Mathematics，Heze University，Heze 274000，China）

Using the singular value decomposition and generalized polar decomposition，the multiplicative perturbation bounds of the sub－unitary polar factor for arbitrary matrices are studied．Some new perturbation bounds are presented，the results extend the full column rank matrix of original conclusions to the non－full column rank matrix．

sub－unitary polar factor；generalized polar decomposition；perturbation bound

O241．6

A

1004－4353（2012）03－0196－04

20120302 作者簡介：孔祥強（1983—），男，助教，研究方向為應(yīng)用數(shù)學．

山東省統(tǒng)計局重點課題項目（KT11048）；山東省教育科學“十二五”規(guī)劃重點課題項目（2011GG049）