兩種情形下威布爾分布置信下限的確定

金永姬， 宋媛， 姜今錫

（延邊大學理學院 數(shù)學系，吉林 延吉133002）

兩種情形下威布爾分布置信下限的確定

金永姬， 宋媛， 姜今錫*

（延邊大學理學院 數(shù)學系，吉林 延吉133002）

采用樣本空間排序法，討論了在I型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)情形下和定時截尾情形下的數(shù)據(jù)服從威布爾分布時的可靠度置信下限問題，其中威布爾分布的形狀參數(shù)是在某有限區(qū)間內(nèi)．對給定的置信水平和任意大小的樣本，給出了威布爾分布下可靠度置信下限的確定方法．

威布爾分布；置信下限；I型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)；定時截尾

航空航天等領(lǐng)域的許多產(chǎn)品的壽命通常都服從威布爾分布，因此如何確定威布爾分布下的產(chǎn)品可靠度置信限成為這些領(lǐng)域的研究熱點．在討論置信限問題時，為提高估計精度，通常要求置信上限盡可能小而置信下限盡可能大．對于威布爾分布，如果我們知道形狀參數(shù)在某一小區(qū)間范圍內(nèi)，那么得到的可靠度的置信下限就會增大，得到的置信限的精度會有一定的提高．對于威布爾分布中形狀參數(shù)的確定，可以根據(jù)實際工作中的經(jīng)驗和數(shù)據(jù)的分析將其限定在某一范圍內(nèi)，比如軸承的壽命服從威布爾分布，其形狀參數(shù)在1到1．2之間，這樣得到的威布爾分布可靠度置信下限更符合實際需求．因此，本文采用樣本空間排序法［1］，討論了形狀參數(shù)在某一小區(qū)間范圍內(nèi)時威布爾分布可靠度置信限的問題，并給出了若干結(jié)果，這對系統(tǒng)地研究威布爾分布的數(shù)據(jù)分析具有一定的參考意義．

1 預備知識

威布爾分布為其中β＞0，θ＞0，β和θ分別稱為形狀參數(shù)和刻度參數(shù)．

1．1 I型區(qū)間刪失數(shù)據(jù)及其威布爾分布置信下限

引理1［2］是θ的嚴格減連續(xù)函數(shù)（k＝1，2，…，n），且，則對一切y≠ （0，0，…，0），方程Gn（y，θ）＝α恰有1個根θ＝θ（y）．

給定n個正數(shù)t1，…，tn，令Y＝（Y1，…，Yn），這里Yi＝I（Xi＞ti）（i＝1，2，…，n），其中X1，X2，…，Xn相互獨立同分布，其共同分布是F（x，θ，β）．給定T＞0，則可靠度為R（T）＝P（X＞T）＝1－F（T，θ，β）．基于以上數(shù)據(jù)，需要找出R（T）的1－α 水平的置信下限［3－4］．

設(shè)X1，X2，…，Xn是概率空間（Ω，F(xiàn)，Pθβ）上的獨立同分布隨機變量列，Pθβ（X1≤x）＝F（x，θ，β）．令或由此可知Pθβ（R（T）≥RL（Y））≥1－α（對一切α，β），即RL（Y）是可靠度為R（T）的1－α水平的置信下限．給定Y的觀測值（y1，…，yn）后需計算RL（y）．若假設(shè)對一切t＞0，β∈ ［β1，β2］，F(xiàn)（t，θ，β）是θ的嚴格遞減連續(xù)函數(shù)≠（0，…，0），有唯一的滿足

當y＝ （0，0，…，0） 時， 可 直 接 證 得RL（y）＝ 0． 當y＝ （1，1，…，1） 時，RL（y）＝其中的唯一根．

1．2 定時截尾情形下的威布爾分布置信下限

設(shè)X1，X2，…，Xn是概率空間（Ω，F(xiàn)，Pθβ）上n個獨立同分布的隨機變量（n≥2），這里θ＞0，β∈則Z 對應的似然函數(shù)為顯然，當y1，y2，…，yn不全相等時，最大似然估計存在且唯一，且＾θ＝其中是方程）的唯一解．上述方程的左端是β的嚴格遞減連續(xù)函數(shù)，用二分法容易求出其解．確定和，則可靠度R＝P（X的點估計為

為了尋找R的置信下限，取統(tǒng)計量＾R，令G（u，θ，β）＝Pθβ（＾R≥u）（0≤u≤1），這里Pθβ（A）表示參數(shù)真值是θ，β時的事件A的概率．令RL（u）＝inf ｛g（θ，β）∶θ ＞0，β ∈ ［β1，β2］且G（u，θ，β）＞α｝，其中g(shù)（θ，β）＝R．可知Pθβ（R≥RL（＾R））≥1－α（對一切θ，β），即RL（＾R）是可靠度為R的1－α水平的置信下限．下面計算RL（u）．通常，G（u，θ，β）作為θ，β的函數(shù)是十分復雜的，但是當參數(shù)θ，β經(jīng)過適當?shù)淖儞Q后，這個函數(shù)關(guān)于新的參數(shù)有單調(diào)性，從而大大簡化了RL（u）的計算．做參數(shù)變換：（θ，β）→（p，q），其中p＝由此易知．可見p的變化范圍是（0，1）；當T＜T0時，條件β∈ ［β1，β2］等價于q∈［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］；當T＞T0時，條件β∈ ［β1，β2］等價于q∈［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］．設(shè)T≠T0，令G~（u，p，q）＝G（u，θ，β），于是RL（u）＝inf｛e－q∶存在p∈ （0，1）及q使得G~（u，p，q）＞α｝＝e－q＊，其中q＊＝sup｛q∶存在p∈ （0，1）及q使得G~（u，p，q）＞α｝．

2 主要結(jié)果及其證明

引理2［5］對一切z∈A，方程f（z，λ）＝0在（0，∞）中恰好有1個根，即λ＊＝h（z）＝h（z1，Δ1，…，zn，Δn），而且h（z）是A上的Borel可測函數(shù)．

引理3［5］設(shè)u1，u2，…，un是某概率空間上獨立同分布的隨機變量列，共同分布是（0，1）上的均勻分布．令這里i＝1，…，n，p∧u＝min｛p，不全相等且，則

則對數(shù)據(jù)y＝（y1，…，yn），可靠度為R（T），置信水平為1－α的置信下限RL（y）可表示為：

1）當y＝（0，0，…，0）時，RL（y）＝0；

2）當y＝（1，1，…，1）時，有：當0＜T≤t＊時，R當t＊＜T＜t（n）且β＊≤β1時當t＊＜T＜t（n）且β＊≥β2時

3）當y＝（y1，…，yn）且分量不同時為0或1時其中θ（y，β）是方程Gn（y，θ，β）＝α的唯一根．可以證明：當T≤t＊時，f′（β）≥0，故

3）當y＝（y1，…，yn），且分量不同時為0或1時，由引理1可知，方程Gn（y，θ，β）＝α有唯一解θ（y，

2）當T＜T0且u∈（0，1）時，1｝．這里qp（u）＝sup｛q∶q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］

3）當T＞T0且u∈（0，1）時，RL（u）＝exp｛－q~（u）｝，里q~p（u）＝sup ｛q∶q∈ ［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］且

4）當T＝T0且u∈ （0，1）時，＋（1－p）n＞α｝．

證明 p的變化范圍是（0，1），當T＜T0時，條件β∈ ［β1，β2］等價于q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］；當T＞T0時，條件β∈ ［β1，β2］等價于q∈ ［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］．

1）當T＜T0時，u＝1＝＾R，y1，y2，…，yn全相等．I（u）＝0，H~＝0，q∈ ［－μ2ln（1－p），－時，同理可得可以證明G（u，θ，β）＝（1－p）n＋

2）當T＜T0且u∈ （0，1）時，RL（u）＝inf｛e－q∶?p∈ （0，1），q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］s．tH~（u，p，q）＋（1－p）n＞α｝＝exp｛－q~（u）｝．這里q~（u）＝sup｛qp（u）∶0＜p＜1｝．當p∈

3）證明同2）．

4）當T＝T0時

［1］ 具光花，周延魏，姜今錫．完全樣本下威布爾分布平均壽命的評估［J］．延邊大學學報：自然科學版，2008，34（4）：246－249．

［2］ 陳家鼎．樣本空間中的序與參數(shù)的置信限［J］．數(shù)學進展，1993，12（4）：542－552．

［3］ 牟來彥．威布爾模型的參數(shù)估計方法［J］．湖北民族學院學報，2002，3（1）：55－56．

［4］ 陳家鼎．雙向刪失數(shù)據(jù)情形下的置信限［J］．應用概率統(tǒng)計，1990，6（4）：354－362．

［5］ Chen J，F(xiàn)ang X．On the exact lower confidence limits for the reliability in the case of Weibull distribution under time censoring［R］．Peking Univ：School of Math Sci，2001．

The lower confidence limits in two cases of the Weibull distrubution

JIN Yong－ji， SONG Yuan， JIANG Jin－xi＊
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

Based on theory of ordering method in the sample space，we discuss the lower confidence limits for the reliability in the case of Weibull distribution under the time censoring and the type I censoring，the shape parameters is in some finite interval．Our main result is the following：for prearranged confidence level and a sample with arbitrary size，we give the exact lower confidence limit for the reliability and its effective conputing methods．

Weibull distribution；lower confidence limits；type I interval censoring；time censoring

O213．2

A

1004－4353（2012）03－0187－04

20120527 ＊通信作者：姜今錫（1959—），男，博士，教授，研究方向為應用概率統(tǒng)計．

吉林省教育廳“十一五”科學技術(shù)研究項目（吉教科合字［2007］第自11號）