一類帶非經(jīng)典熱方程的單相Stefan問題

閆德寶

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤274000）

一類帶非經(jīng)典熱方程的單相Stefan問題

閆德寶

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤274000）

證明了一類帶非經(jīng)典熱方程的單相Stefan問題局部解的存在唯一性．首先利用Green恒等式將問題轉(zhuǎn)化為等價的積分方程組，再由壓縮映照原理得到了問題的局部解．最后，證明了解對初值的穩(wěn)定性．

Stefan問題；存在唯一性；壓縮映照原理；局部解；穩(wěn)定性

0 引言

Stefan問題是一種常見于物理、化學(xué)等領(lǐng)域的自由邊界問題．文獻［1－4］討論了帶經(jīng)典熱方程的Stefan問題和其解的存在唯一性；近年來，文獻［5－8］討論了帶非經(jīng)典熱方程的單相Stefan問題，包括解的存在唯一性和漸進性等問題；文獻［9－10］在探討Stefan問題的基礎(chǔ)上，給出了一些開問題．本文討論一種帶非經(jīng)典熱方程的單相Stefan問題，包括該問題局部解的存在唯一性和解對初值的穩(wěn)定性．本文的模型如下：

其中u＝u（x，t）表示液相的溫度，s＝s（t）表示自由邊界．以下為本文的幾點假設(shè)：（HA）函數(shù)f（t）在R＋上連續(xù)；（HB）函數(shù)且滿足下列條件：（HC1）對某常數(shù) M ＞0及使得

1 若干引理及其證明

引理1 令ux（s（t），t）＝α（t），u（0，t）＝β（t），問題（1）與下述 Volterra型積分方程組等價：

引理1的證明可參見文獻［5，9］．

在以下引理的證明過程中，常用到下述不等式：

引理4 若σ≤1，M ≥1，F(xiàn)，f（t），g（x）滿足假設(shè)條件（HA）、（HB）、（HC1）和（HC2），則在引理2的假設(shè)下，有如下性質(zhì)成立：

證明 （9）—（11）式和（13）—（15）式的證明參見文獻［5－7］，下面證明（12）和（16）式．首先，由及假設(shè)條件（HC1）和（HC2）有

引理5 在假設(shè)條件（HA）、（HB）、（HC1）和（HC2）及引理3的條件下，下述性質(zhì)成立：

證明 （17）、（19）和（21）式的證明參見文獻［5－7］，下證（18）、（20）和（22）式．對（18）式，由微分中值定理知，存在s1（t）和s2（t）之間的一函數(shù)c（t），使得

所

聯(lián)立（23）和（24）式即證得（20）式．對（22）式，有

聯(lián)立（25）—（27）式即證得（22）式．

引理6 在問題（1）中，設(shè)si（t）是相應(yīng)于初始函數(shù)gi（x）的自由邊界（i＝1，2），則有

對（30）式右端第2項，利用文獻［7］中的（34）式，有

聯(lián)立（30）—（32）式即得（29）式．

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 在條件（HA）、（HB）、（HC）、（HC1）和（HC2）下，映射φ∶SM，σ→SM，σ在SM，σ上是壓縮的，若M和σ滿足如下條件：其中則積分方程組（2）—（4）在SM，σ上存在唯一解（α（t），β（t），s（t））．同時，問題（1）存在唯一局部解．證明 由引理4及定理1中的條件①—③，有

故在SM，σ上φ是壓縮的．由此知φ在SM，σ上存在唯一不動點，即為積分方程組（2）—（3）的唯一局部解（α（t），β（t）），而s（t）的唯一性由（4）式可得．由引理1知，原問題（1）存在唯一局部解（u（x，t），s（t））．

定理2 設(shè)gi（x）∈ ［0 ，a］，i＝1，2，則問題（2）—（4）具有下述意義下的穩(wěn)定性：?ε ＞0，存在η ＞0，當(dāng) ‖g2－g1‖ ≤η，‖g′2－g′1‖ ≤η時，有 ‖（α2（t）－α1（t），β2（t）－β1（t））‖ ＜ε．從而問題（1）在上述意義下也是穩(wěn)定的．

證明 利用（2）、（17）、（18）、（20）及（29）式有

故φ是SM，σ上的映射．下證φ是壓縮的，由引理5及定理1中的條件①和④得

由σ≤1有

其中J4＝C7＋C8＋C10＋C11＋C12＋C16．同理，利用（3）、（21）、（22）及（28）式得

其中J5＝C13＋C14＋C15．利用（33）和（34）式可得

其中J6＝J4＋J5．注意到J3與J6的關(guān)系，由定理1中的條件④有

定理2得證．

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［10］ Borodin M A．Stefan problem［J］．J Math Sci，2011，178（1）：17－54．

On a kind of one－phase Stefan problem with non－classical heat equation

YAN De－bao
（Department of Mathematicas，Heze University，Heze 274000，China）

Existence and uniqueness of local solution for a one－phase Stefan problem with non－classical heat equation are proved．Firstly，by translatting the Stefan problem into an equivalent system of integral equations with the Green Identity，we obtain the existence and uniqueness of local solutions to the integral equations by contraction mapping theorem．Finally，the stability of the solution about initial value is given．

Stefan problem；existence and uniqueness；contraction mapping theorem；local solution；stability

O175．2

A

1004－4353（2012）03－0177－06

20120424 作者簡介：閆德寶（1980—），男，講師，研究方向為偏微分方程．

國家自然科學(xué)基金資助項目（11001278）；山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點課題項目（2011GG049）；菏澤學(xué)院科研項目（XYJJKJ－3）