基于層級模型的嵌套型公共設(shè)施選址問題研究

萬 波，楊 超，黃 松，董 鵬

（1.華中科技大學(xué) 管理學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.江漢大學(xué) 檔案館，湖北 武漢 430056）

隨著社會的進(jìn)步，人們生活水平的提高，顧客對公共服務(wù)設(shè)施所提供的服務(wù)由“基本追求”、“求同”、“求異”向“優(yōu)越性追求”、“自我滿足追求”轉(zhuǎn)化，顧客需求多樣化程度越來越高［1］。因此，在進(jìn)行公共服務(wù)設(shè)施規(guī)劃時，需要對不同層級的公共服務(wù)設(shè)施進(jìn)行科學(xué)選址，提供不同水平的服務(wù)，以滿足顧客需求的多樣性。

層級型設(shè)施選址問題涉及多級層次，且各層級之間的關(guān)系復(fù)雜，該問題引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。MOORE和REVELLE在最大覆蓋選址模型中考慮了設(shè)施服務(wù)水平的多樣性，建立了基于層級的最大覆蓋選址模型（hierarchy maximal covering location model，HMCLM）［2］；TIEN 等根據(jù)不同層級設(shè)施提供的服務(wù)類型將設(shè)施分為嵌套型與非嵌套型，如果高級別設(shè)施的服務(wù)功能包含低級別設(shè)施的功能，且至少有一項功能是其獨有的，則該類設(shè)施為嵌套型設(shè)施，如果不同級別的設(shè)施提供的服務(wù)不同，則該類設(shè)施為非嵌套型設(shè)施［3］；MARIANOV和SERRA基于集覆蓋與最大覆蓋選址模型，研究了擁塞系統(tǒng)的層級設(shè)施選址與分配問題［4］；GALVAO等提出了無容量約束的三級選址模型，并將其應(yīng)用于巴西里約熱內(nèi)盧母嬰醫(yī)院的選址［5］，對有容量約束且考慮設(shè)施負(fù)載均衡的三級選址問題進(jìn)行研究［6］；?AHIN 和 SüRAL 對層級設(shè)施選址問題進(jìn)行綜述，將其按流模式、服務(wù)可用性、服務(wù)空間配置模式及選址目標(biāo)等系統(tǒng)特征進(jìn)行分類，并對層級設(shè)施選址模型與算法進(jìn)行了概括與總結(jié)［7］；TEIXEIRA和ANTUNES提出帶容量限制的層級中位模型，并就單一分配、就近分配與路徑分配3種類型的空間分配模式進(jìn)行了討論［8］；RATICK等將成本因素引入基于層級的最大覆蓋選址模型，對巴基斯坦科哈特縣醫(yī)療設(shè)施選址問題進(jìn)行了研究［9］；陳志芬等將應(yīng)急避難場所劃分為臨時、短期和中長期3個等級，建立了三級層次選址模型，并通過模擬實驗對模型的效果進(jìn)行了檢驗［10］；萬波等對非嵌套型的學(xué)校層級選址問題進(jìn)行了研究［11］。

以上研究多集中于非嵌套型設(shè)施，對嵌套型設(shè)施研究較少。且上述研究基本上按照距離分配，忽略了設(shè)施的外部環(huán)境、道路交通狀況和所提供的延伸服務(wù)等多種因素的影響。筆者引入分段效用函數(shù)，在基于層級的最大覆蓋選址模型（HMCLM）的基礎(chǔ)上提出基于層級模型的嵌套型公共設(shè)施選址模型（public pacility location model based on nested hierarchy，PFLMNH），并利用遺傳算法對該模型進(jìn)行求解。

1 模型的建立

1.1 研究背景

根據(jù)消費者需求層級來考慮，設(shè)施選址的最典型問題為不同層級的醫(yī)院類設(shè)施的選址問題。因此，筆者選取不同層級的醫(yī)院類公共服務(wù)設(shè)施選址問題進(jìn)行研究。

根據(jù)我國特殊國情，筆者考慮的醫(yī)療系統(tǒng)具有需求層次的多樣性與服務(wù)設(shè)施的層級性特點。由于人體存在差異性，每個人健康狀況、受教育程度、收入水平等情況不一樣，致使對就醫(yī)存在不同水平的需求。需求層次的多樣性決定了服務(wù)設(shè)施的層級性，即需要建立多種層級的醫(yī)療設(shè)施，以滿足各種層級的需求。

此外，醫(yī)療系統(tǒng)需要考慮公平性與效率。醫(yī)療服務(wù)的公平性體現(xiàn)在基本醫(yī)療衛(wèi)生服務(wù)的可及性，即建立覆蓋全體人民的基本醫(yī)療服務(wù)體系。系統(tǒng)效率體現(xiàn)為成本與效用的均衡，需要尋求系統(tǒng)服務(wù)效用最大化與運行成本最小化之間的均衡。

1.2 符號定義與參數(shù)說明

I為需求點的集合，每一需求點的需求水平分為多個等級，需求水平的集合用S表示。J為設(shè)施候選點的集合，為滿足不同水平的需求，設(shè)施點所建設(shè)施具有層級性，且各層級設(shè)施所提供的服務(wù)具有嵌套性，設(shè)施的服務(wù)水平用t表示。為了使模型的描述更加清楚，將模型的有關(guān)參數(shù)定義如下:wis為需求點i關(guān)于s級水平需求的數(shù)量；bjt為定位于j點的t級水平的設(shè)施的最大容量；pt為t級水平設(shè)施的設(shè)置數(shù)目；uisjt為定位于j點的提供t級水平服務(wù)設(shè)施對于需求點i的s級水平需求的效用；dij為需求點i到設(shè)施候選點j的距離；cjt為定位于j點的t級水平設(shè)施的成本；Ast為t級服務(wù)水平的設(shè)施對于s級水平需求的引力因子；αs為引力敏感度參數(shù)；為對于s級水平需求而言，需求點i與設(shè)施點j的最小臨界距離；為對于s級水平需求而言，需求點i與設(shè)施點j的最大臨界距離。同時定義如下的決策變量:xisjt為源于需求點i的對于s級水平的需求分配給j點t級水平設(shè)施的份額；如果t級水平的設(shè)施定位于j點，yjt=1；否則為 0。

1.3 分段效用函數(shù)定義

效用是顧客對公共設(shè)施所提供服務(wù)的滿意程度，是顧客選擇設(shè)施的決定性因素。設(shè)施效用越大，顧客越傾向于選擇該設(shè)施。筆者采用分段函數(shù)對效用進(jìn)行描述。分段效用函數(shù)定義如下:

當(dāng)dij≤時，效用完全由服務(wù)設(shè)施的吸引力決定，不受距離的影響；當(dāng)＜ dij≤時，效用與距離呈線性遞減關(guān)系；當(dāng)dij＞時，效用為 0，不管設(shè)施如何提高吸引力水平，其效用都不會變化。

1.4 基于層級模型的嵌套型公共設(shè)施選址模型

筆者引入分段效用函數(shù)，參考基于層級的最大覆蓋選址模型（HMCLM），建立了基于層級模型的嵌套型公共設(shè)施選址模型（PFLMNH）。該模型以追求系統(tǒng)效率最大化為目標(biāo)，即系統(tǒng)的服務(wù)效用最大化，同時建設(shè)成本最小化，考慮服務(wù)水平的嵌套性、基本需求全覆蓋、需求單一分配、效用優(yōu)先分配及設(shè)施最大容量約束等條件。模型的目標(biāo)函數(shù)及約束條件如下:

其中:式（1）表示系統(tǒng)的服務(wù)效用與建設(shè)成本的比值最大化，即系統(tǒng)的服務(wù)效率最大化；式（2）確保源于所有需求點的基本醫(yī)療水平的需求都能得到滿足；式（3）表示一個特定水平的需求僅僅能被相應(yīng)水平或者高水平的設(shè)施提供的服務(wù)所滿足；式（4）表示每個服務(wù)設(shè)施點的最大容量限制；式（5）表示每一種水平的需求必須分配給效用最大的提供相同服務(wù)水平或者高水平的設(shè)施；式（6）表示決策變量的取值范圍。

2 求解算法

利用遺傳算法，根據(jù)預(yù)定的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對每個個體進(jìn)行評價，依據(jù)適者生存和優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化規(guī)則，不斷得到更新的群體，同時以全局并行搜索方式來搜索優(yōu)化群體中的最優(yōu)個體，以求得滿足要求的最優(yōu)解［12］。求解算法步驟如下:

（1）編碼并產(chǎn)生初始種群P0。采用整數(shù)編碼，染色體結(jié)構(gòu)由兩部分構(gòu)成，即選址編碼與醫(yī)院等級編碼。選址編碼部分中1表示相應(yīng)的位置建立醫(yī)院，0表示相應(yīng)的位置不建立醫(yī)院。醫(yī)院等級編碼中1表示建立一級醫(yī)院，2表示建立二級醫(yī)院，3表示建立三級醫(yī)院。如圖1所示，有5個候選點，第1、4點建立一級醫(yī)院，第2點建立三級醫(yī)院，第3點不建醫(yī)院，第5點建立二級醫(yī)院。隨機(jī)產(chǎn)生N條染色體，構(gòu)成一個初始種群P0。

圖1 染色體結(jié)構(gòu)

（2）染色體可行性操作。對隨機(jī)產(chǎn)生的染色體和經(jīng)過交叉、變異后的染色體進(jìn)行修補，即修補那些選址方案中某一位為1而其對應(yīng)的醫(yī)院等級為0的染色體，將醫(yī)院等級用隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)（1，2，3）來替代。

（3）對需求點按效用進(jìn)行分配。①將需求點分配給效用最大的且要建立的設(shè)施點；②對每個設(shè)施點計算分配到的需求量，判斷是否超過設(shè)施點的容量，如果否，則將該需求點分配給該設(shè)施點，結(jié)束；如果是，則進(jìn)行需求點的重新分配；③將因設(shè)施容量不足而未予以分配的需求點分配給其他設(shè)施點，分配原則是:與設(shè)施點效用次優(yōu)且容量允許的待建設(shè)施點，否則分配給與設(shè)施點效用再次的且容量允許的待建設(shè)施點，依此類推。轉(zhuǎn)步驟（2）。

（4）求初始種群P0的目標(biāo)值。根據(jù)步驟（3）所得分配方案，求取相應(yīng)染色體的目標(biāo)值。

（5）交叉和變異，產(chǎn)生子種群Q0，求其目標(biāo)值。

（6）將P0和子種群Q0合并，根據(jù)目標(biāo)值排序，選取較優(yōu)的N條染色體形成新種群R0。

（7）判斷是否滿足結(jié)束條件，如果否，轉(zhuǎn)步驟（2）；否則結(jié)束。

3 案例研究

以武漢市某區(qū)為例，對該區(qū)醫(yī)院選址問題分3種情景進(jìn)行討論。相關(guān)參數(shù)取值如下:

情景1:嵌套情況下的醫(yī)院選址與分配情況分析。

（1）遺傳算法的收斂性分析。由圖2可知，遺傳算法具有較好的收斂性，當(dāng)?shù)螖?shù)count=446時收斂，目標(biāo)函數(shù)值收斂于13.637。

圖2 嵌套情況下的迭代次數(shù)與目標(biāo)函數(shù)值關(guān)系圖

（2）醫(yī)院選址與分配情況。醫(yī)院的選址與分配情況如表1所示。

由表1可知，需建立6所一級醫(yī)院，提供一級服務(wù)；建立4所二級醫(yī)院，提供一級和二級服務(wù)；建立1所三級醫(yī)院，提供一級、二級和三級服務(wù)。醫(yī)院選址與分配情況充分體現(xiàn)了設(shè)施服務(wù)水平的嵌套性。為直觀起見，僅列出一級需求的分配情況，如圖3所示。由圖3可知，編號為44的點因距離其他設(shè)施選址點較遠(yuǎn)，按照效用分配的原則，其與其他所有點的效用均為0，故在此點建立一級醫(yī)院，滿足其自身的一級需求。此外，編號為19的設(shè)施點由于其容量較大，且處于中心地帶，故其分配到的一級需求點是最多的。

（3）需求級別與醫(yī)院級別的匹配度分析。需求級別與醫(yī)院級別的匹配情況如表2所示。

由表2可知，各級需求分配給不同級別醫(yī)院的比例是不同的，同級需求分配給相應(yīng)等級醫(yī)院的比例是最高的，如一級需求分配給一級醫(yī)院的比例為46%，高于分配給二級醫(yī)院的42%與分配給三級醫(yī)院的12%。這是由于分配采用效用優(yōu)先原則，而效用是與設(shè)施的引力密切相關(guān)的，筆者設(shè)定需求級別與相對應(yīng)的醫(yī)院的引力因子最高，故居民首選到與需求水平相對應(yīng)級別的醫(yī)院看病。此外，一級需求的覆蓋比例為100%，體現(xiàn)了基本醫(yī)療服務(wù)的公平性，即建立覆蓋全體人民的基本醫(yī)療服務(wù)體系。同時，由于受財政預(yù)算約束等因素影響，二級需求與三級需求均未得到全覆蓋，其覆蓋比例分別為98%和65%。

表1 醫(yī)院選址與分配情況一覽表

圖3 嵌套情況下的一級需求分配圖

表2 各級需求點被各級醫(yī)院覆蓋情況一覽表

情景2:按效用分配與按距離分配的情況比較。

將按效用優(yōu)先與傳統(tǒng)的按距離就近分配的情況進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。

表3 按效用分配與按距離分配結(jié)果對比

由表3可知，雖然各級醫(yī)院數(shù)目沒有發(fā)生變化，但醫(yī)院選址與分配情況發(fā)生了明顯的變化，這是由于按效用分配不僅考慮了距離，而且考慮了設(shè)施的吸引力，分配更加切合實際情況。另外，按效用分配時，模型的目標(biāo)函數(shù)值較高，原因是按效用分配時，其系統(tǒng)效用為12819，明顯高于按距離分配時的12468，在總成本不變的情況下，模型的目標(biāo)函數(shù)值變大。因此，與傳統(tǒng)的按距離分配比較，按效用分配有明顯的優(yōu)越性。

情景3:嵌套與非嵌套情況求解結(jié)果比較。

假設(shè)各級醫(yī)院僅提供相應(yīng)水平的服務(wù)，即醫(yī)院類型為非嵌套型，現(xiàn)將非嵌套型求解結(jié)果與嵌套型進(jìn)行比較，如表4所示。

表4 嵌套型設(shè)施與非嵌套型設(shè)施求解結(jié)果對比表

由表4可知，與嵌套的情況相比，非嵌套的情況下醫(yī)院數(shù)目均發(fā)生了明顯變化，就醫(yī)院總數(shù)來講，嵌套的情況比非嵌套的情況少7所，導(dǎo)致其總成本明顯降低。同時，嵌套情況下的系統(tǒng)效用大，非嵌套情況下的系統(tǒng)效用小。因此，嵌套情況下的目標(biāo)函數(shù)值明顯高于非嵌套情況下的目標(biāo)函數(shù)值，說明嵌套系統(tǒng)的服務(wù)效率明顯高于非嵌套系統(tǒng)。這是由于嵌套系統(tǒng)設(shè)施提供服務(wù)的多樣性，充分利用設(shè)施的使用效率所致。因此，在進(jìn)行公共設(shè)施系統(tǒng)設(shè)計時，應(yīng)盡可能考慮嵌套系統(tǒng)，提供多級別的服務(wù)，以實現(xiàn)系統(tǒng)的服務(wù)效率最大化。

4 結(jié)論

引入分段效用函數(shù)，參考基于層級的最大覆蓋選址模型（HMCLM），提出了基于層級模型的嵌套型公共設(shè)施選址模型（PFLMNH），并利用遺傳算法對公共服務(wù)設(shè)施選址問題進(jìn)行求解。筆者以武漢市某區(qū)為例進(jìn)行案例分析，結(jié)果表明，遺傳算法對求解該模型具有較好的收斂性。從案例所討論的3種情況來看，各級需求分配給不同級別醫(yī)院的比例是不同的，同級需求分配給相應(yīng)等級醫(yī)院的比例是最高的；與按距離分配相比，按效用分配的目標(biāo)函數(shù)值更高，即系統(tǒng)的服務(wù)效率更高，表明在建立模型時，按照效用分配具有明顯的優(yōu)越性；嵌套情況下的目標(biāo)函數(shù)值明顯高于非嵌套情況下的目標(biāo)函數(shù)值，說明嵌套系統(tǒng)的服務(wù)效率明顯高于非嵌套系統(tǒng)。因此，在進(jìn)行公共設(shè)施選址規(guī)劃時，應(yīng)盡可能考慮建立嵌套系統(tǒng)，并基于效用優(yōu)先原則進(jìn)行分配，以實現(xiàn)系統(tǒng)服務(wù)效率最大化。

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