固定接觸界面法向靜彈性剛度的改進(jìn)彈簧分形模型

田紅亮 朱大林 秦紅玲

（三峽大學(xué) 機(jī)械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

結(jié)合材料是利用某種結(jié)合方法（如螺栓、雙頭螺柱、螺釘、緊定螺釘、鍵、花鍵、銷、鉚釘、榫齒連接等）把兩種不同或者相同的材料連接在一起使用的結(jié)構(gòu)或組合材料，而結(jié)合材料的結(jié)合部統(tǒng)稱為界面［1］，界面占機(jī)床總?cè)岫鹊?0%.隨著各類功能材料、復(fù)合材料等先進(jìn)材料的工業(yè)應(yīng)用范圍的不斷擴(kuò)大，由不同材料組成的界面的力學(xué)行為，越來越受到人們的重視.一方面在宏觀范圍內(nèi)，各類結(jié)構(gòu)及材料的結(jié)合部，如薄膜涂層材料的涂層界面、金屬／陶瓷結(jié)合界面、異種金屬結(jié)合界面、功能器件與承載構(gòu)件的結(jié)合界面、復(fù)合材料層合板的層間等，對(duì)材料或結(jié)構(gòu)整體的力學(xué)行為乃至其功能性能有著十分重要甚至是支配性的影響；另一方面在細(xì)觀范圍內(nèi)，纖維與基體材料等的界面、晶粒界面、顆粒增強(qiáng)體與基體的界面、介在物與基體的界面等的力學(xué)行為，對(duì)先進(jìn)材料的性能設(shè)計(jì)與開發(fā)及其結(jié)構(gòu)壽命的精確評(píng)價(jià)等，具有舉足輕重的意義.界面問題有它許多自身固有的特性，現(xiàn)實(shí)生活中總在自覺或不自覺地利用界面的特性.例如，利用粘接界面的抗剝離能力較弱的特性，來設(shè)計(jì)包裝的封口，或引入復(fù)合材料中的橋聯(lián)增韌機(jī)構(gòu)等.然而，在新材料和新結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)開發(fā)中，則一般要求界面強(qiáng)度達(dá)到一定的要求，甚至為了提高界面強(qiáng)度，而不斷進(jìn)行結(jié)合方法、工藝和界面結(jié)構(gòu)的革新.20世紀(jì)末，許多更為可靠和有效的結(jié)合手段應(yīng)運(yùn)而生，如擴(kuò)散結(jié)合、錫焊、激光焊接等，使得結(jié)合界面更為精致，甚至出現(xiàn)了結(jié)合部位的強(qiáng)度超過被結(jié)合的母材的情況.由于界面層一般很薄，通常在幾微米，大至數(shù)百個(gè)微米的量級(jí)，因此界面沒有厚度，卻有自身固有的強(qiáng)度特性、彈性特性.界面有3類：完全結(jié)合界面、剝離界面、接觸界面.其中接觸界面有2類：固定接觸界面、滑移接觸界面.

以線性或非線性的彈簧，來表征雙材料結(jié)合部的相互約束，即為界面的彈簧模型.通過引入法向和切向的彈簧，必要時(shí)甚至可以引入相應(yīng)的阻尼，理論上應(yīng)該可以描述界面層材料對(duì)界面兩側(cè)材料的約束作用.彈簧模型的特點(diǎn)是，界面處的面力是連續(xù)的，而位移則通常有一個(gè)落差，是不連續(xù)的，這種模型較適宜于描述結(jié)合相對(duì)較軟的界面.山田昭夫和角張毅［2］引入GW模型［3］從理論上研究了接觸面全體的法向剛度、切向剛度.Burdekin等［4］給出了機(jī)床結(jié)合部變形量－界面名義接觸壓應(yīng)力方程.Thornley等［5］給出了機(jī)床結(jié)合部平均界面壓應(yīng)力－法向變形量的加載、卸載曲線.Gao等［6－7］給出了單峰法向、切向彈性剛度的解析解.張學(xué)良等［8］引用 MB模型［9］首次提出粗糙表面的法向接觸剛度.

本文根據(jù)Hertz接觸理論推導(dǎo)兩個(gè)微凸體間互相作用的法向接觸靜彈性剛度.利用改進(jìn)分形幾何理論給出結(jié)合部的總法向接觸靜彈性條件剛度、總條件載荷的解析解.依靠文獻(xiàn)［10］的機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式，推導(dǎo)界面靜彈性剛度、總載荷.

1 分形幾何理論的改進(jìn)

Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)能模擬一個(gè)表面輪廓的幾何形貌，根據(jù) Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)能夠計(jì)算一個(gè)單峰頂端的變形量，法向彈性載荷與一個(gè)單峰頂端的變形量、分形維數(shù)D、分形粗糙度G等參數(shù)有關(guān)，故法向彈性載荷與 Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)間接有一定的聯(lián)系.處處連續(xù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)自相似性、點(diǎn)點(diǎn)不可微的Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)為

式中，X為表面上高度是Z的一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)；L為取樣長度；G為分形粗糙度；D為表面輪廓的分形維數(shù)；γ為與表面輪廓頻譜密度相關(guān)的參數(shù).

引入以下3個(gè)無量綱參數(shù)

式（1）可改寫為

考慮工程粗糙表面的最低頻率，式（5）可改寫為

式中，n1為最低頻率的初始項(xiàng).

需要強(qiáng)調(diào)的是：式（6）是嚴(yán)格的無量綱形式，式（6）與文獻(xiàn)的式（1）有本質(zhì)區(qū)別，式（6）中的γn無量綱，文獻(xiàn)中γn的量綱是 m－1.

當(dāng)g＝0.01，γ＝1.5，n1＝1，n＝n1～100時(shí)，式（6）表達(dá)不同分形維數(shù)的表面輪廓高度如圖1所示.

圖1 不同分形維數(shù)的無量綱表面輪廓高度

依照式（1），一個(gè)單峰頂端的變形量由 Weierstrass－Mandelbrot分形函數(shù)決定，取決于余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值（即諧波分量的系數(shù)）［9］，故一個(gè)單峰頂端的變形量為

式中，a為一個(gè)接觸點(diǎn)的面積，且

赫茲的峰頂曲率半徑為

值得一提的是：式（9）不同于文獻(xiàn)［9］的式（7）.

式中，K＝H／σy，H 為硬度，0.5≤K≤3；σy為較軟材料的屈服強(qiáng)度；φ＝σy／E′為材料特性.

值得指出的是：式（10）也不同于文獻(xiàn)［9］的式（9）.

式（7）／式（10），得

式中，ac為劃分彈塑性區(qū)域的臨界面積，且

需要指出的是：式（12）亦不同于文獻(xiàn)［9］的式（10）.

一個(gè)接觸點(diǎn)面積a的尺寸分布為

式中，aL為最大的接觸點(diǎn)面積.

面積在a與a＋da之間的接觸點(diǎn)數(shù)是n（a）da，故實(shí)際接觸面積為

單峰承受垂直于界面的法向彈性載荷為

需要指出的是：式（15）亦不同于文獻(xiàn)［8］的式（1）.將式（9）的第一部分δ＝代入式（15）得

將式（9）代入式（16）得

值得一提的是：式（17）亦不同于文獻(xiàn)［9］的式（14）.

單峰承受的法向塑性載荷為

當(dāng)aL＞ac時(shí)，總法向載荷為

根據(jù)L＇Hospital法則，可得極限

將式（13）代入式（19）并顧及式（20）得

需要指出的是：式（21）也不同于文獻(xiàn)［8］的式（15a）、式（15b）.由式（14）得

式中，Aa為表觀接觸面積；＝為接觸率.

根據(jù)式（20）及式（22），可將式（21）化為無量綱形式

需要指出的是：式（23）也不同于文獻(xiàn)［11］的式（11）.

2 固定接觸界面的法向靜彈性剛度

由式（15）可得函數(shù)Pe（δ）對(duì)自變量δ的導(dǎo)數(shù)為

必須明確的是：在兩個(gè)微凸體間互相作用的法向接觸靜彈性剛度kn不能按照文獻(xiàn)［12］提供的“集中載荷除以撓度”方法

可以看出，式（24）中的系數(shù)“2”不同于式（25）中的系數(shù)“4／3”.

將式（9）的變形式a＝πRδ代入式（24）得

根據(jù)式（26），可得整個(gè)界面的總法向剛度為

將式（13）代入式（27）且鑒于式（20）得

根據(jù)式（20）暨式（22），可將式（28）化為無量綱形式

值得指出的是：文獻(xiàn)［13］中的函數(shù)g3（D）＝應(yīng)為

根據(jù)式（23），P＊是（圖2）的顯函數(shù)，一般的，用對(duì)應(yīng)關(guān)系P＊＝φ（）表達(dá).同理根據(jù)式（29），也是的顯函數(shù)，用＝ψ（）表示.因此，通過中間變量可確定與P＊間的參數(shù)方程

故自變量P＊和因變量確定了一個(gè)隱函數(shù)

圖2 工程粗糙表面的實(shí)際接觸面積

3 工程粗糙表面實(shí)例與實(shí)驗(yàn)比較

當(dāng)K＝1，G＊＝10－10，D＝1.5，最小材料特性、總法向接觸剛度如圖3所示.由圖3（a）可知最小有效材料特性為2.641×10－5.

圖3 最小有效材料特性、總法向接觸剛度

當(dāng)K＝1，φ＝10－2，D＝1.9，最大有效分形粗糙度、總法向接觸剛度如圖4所示.按照?qǐng)D4（a）可獲得最大有效分形粗糙度為0.000 38.

圖4 最大有效分形粗糙度、總法向接觸剛度

當(dāng)K＝0.5，φ＝10－2，G＊＝10－10，最小有效分形維數(shù)、總法向接觸剛度如圖5所示.由圖5（a）可得到最小有效分形維數(shù)為1.251.

圖5 最小有效分形維數(shù)、總法向接觸剛度

文獻(xiàn)［10］通過位移傳感器測(cè)量35個(gè)圓環(huán)體的法向、切向變形量，給出機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式

式中，λn為法向變形量，單位是（μm）；pn為表觀法向壓應(yīng)力，單位是（Pa）；對(duì)研磨－手動(dòng)刮拋光表面，C＝0.001 3，m＝0.46；對(duì)研磨－研磨拋光表面，C＝0.001 4，m＝0.5.

由式（33）得

界面法向靜彈性剛度為

式（36）、界面總載荷的無量綱形式分別為

圖6 文獻(xiàn)［10］的實(shí)驗(yàn)法向壓應(yīng)力、法向剛度

通過上述數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)比較，可得下列結(jié)論：①圖3（b）、圖4（b）、圖5（b）都說明，總法向接觸靜彈性剛度線性地隨總法向載荷增加而增加，這與圖6（b）總法向剛度－載荷微凸弧曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致.②圖5（b）說明，總法向接觸靜彈性剛度隨分形維數(shù)增加而增加，因?yàn)楸砻嬖酱植冢中尉S數(shù)越小.③圖4（b）顯示，總法向接觸靜彈性剛度隨分形粗糙度減小而增加，因?yàn)椴糠謴椥越佑|面積隨分形粗糙度增加而減小.④圖3（b）論證，總法向接觸靜彈性剛度隨材料特性增大而增大，因?yàn)椴牧咸匦栽叫?，部分彈性接觸面積減小.

4 結(jié) 論

根據(jù)Hertz接觸理論推導(dǎo)兩個(gè)微凸體之間互相作用的法向接觸靜彈性剛度.引用改進(jìn)分形幾何理論給出結(jié)合部的總法向接觸靜彈性條件剛度、總條件載荷的解析解.按文獻(xiàn)［10］的機(jī)床結(jié)合部變形量－界面壓應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)冪律關(guān)系形式，推導(dǎo)界面靜彈性剛度、總載荷.工程粗糙表面的算例表明，本文的總法向剛度－載荷曲線與文獻(xiàn)［10］的實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致.

［1］ 許金泉.界面力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2006：1.

［2］ 山田昭夫，角張毅.接觸結(jié)合部をもつはりの動(dòng)特性推定［J］.精密工學(xué)會(huì)志，1986，52（12）：2051－2057.

［3］ Greenwood J A，Williamson J B P.Contact of Nominally Flat Surfaces［J］.Proceedings of the Royal Society of London：Series A Mathematical and Physical Sciences，1966，295（1442）：300－319.

［4］ Burdekin M，Back N，Cowley A.Analysis of the Local Deformations in Machine Joints［J］.The Journal of Mechanical Engineering Science，1979，21（1）：25－32.

［5］ Thornley R H，Connolly R，Barash M M，et al.The Effect of Surface Topography Upon the Static Stiffness of Machine Tool Joints［J］.International Journal of Machine Tool Design ＆ Research，1965，5（1／2）：57－74.

［6］ Gao Y F，Lucas B N，Hay J C，et al.Nanoscale Incipient Asperity Sliding and Interface Micro－Slip Assessed by the Measurement of Tangential Contact Stiffness［J］.Scripta Materialia，2006，55（7）：653－656.

［7］ Gao Y F，Xu H T，Oliver W C，et al.Effective Elastic Modulus of Film－on－Substrate Systems under Normal and Tangential Contact［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2008，56（2）：402－416.

［8］ 張學(xué)良，黃玉美，傅衛(wèi)平，等.粗糙表面法向接觸剛度的分形模型［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，2000，17（2）：31－35.

［9］ Majumdar A，Bhushan Bharat.Fractal Model of Elastic－Plastic Contact Between Rough Surfaces［J］.ASME Journal of Tribology，1991，113（1）：1－11.

［10］Burdekin M，Back N，Cowley A.Experimental Study of Normal and Shear Characteristics of Machined Surfaces in Contact［J］.The Journal of Mechanical Engineering Science，1978，20（3）：129－132.

［11］張學(xué)良，黃玉美，溫淑華.結(jié)合面接觸剛度分形模型研究［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2000，31（4）：89－91.

［12］程耀東，李培玉.機(jī)械振動(dòng)學(xué)［M］.2版.杭州：浙江大學(xué)出版社，2006：26.

［13］張學(xué)良，黃玉美，韓 穎.基于接觸分形理論的機(jī)械結(jié)合面法向接觸剛度模型［J］.中國機(jī)械工程，2000，11（7）：727－729.

［14］濮良貴，紀(jì)名剛.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.7版.北京：高等教育出版社，2003：412.