地球旋轉(zhuǎn)橢球等面積緯度函數(shù)與等量緯度的相互近似變換

田紅亮 朱大林 秦紅玲

（三峽大學(xué) 機(jī)械與材料學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

大地測(cè)量學(xué)（英語Geodesy，德語Geodasie）是在一定的時(shí)間－空間參考系統(tǒng)中，測(cè)量和描繪地球及其他行星體的一門學(xué)科.由地圖投影理論知道，等面積緯度函數(shù)、等量緯度皆為大地緯度的函數(shù)，在地圖制圖、大地測(cè)量和地球物理等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用［1］.例如在地圖制圖中進(jìn)行不同投影變換時(shí)，經(jīng)常要遇到這些量的反解變換，這些反解變換基本均是非常復(fù)雜的超越函數(shù).在解算時(shí)采用2種方法：①基于正解公式的迭代法，缺點(diǎn)是不僅效率低，而且理論分析不容易；②直接進(jìn)行反解變換，經(jīng)過復(fù)雜的Lagrange級(jí)數(shù)展開，給出直接展開式，但展開式系數(shù)是原級(jí)數(shù)展開式的數(shù)值形式，不方便記憶，計(jì)算也非常復(fù)雜.

為提高GIS大量數(shù)據(jù)［2］的質(zhì)量，建立了以大地緯度為自變量的等面積緯度函數(shù)、等量緯度的解析解，給出了等面積緯度函數(shù)與等量緯度的相互變換近似公式，以CGCS 2000實(shí)例對(duì)相互變換近似公式進(jìn)行了絕對(duì)誤差分析.

1 等面積緯度函數(shù)與等量緯度的準(zhǔn)確值

由兩條子午線和兩條平行圈圍成的橢球表面稱為橢球面梯形.橢球面梯形的等面積緯度函數(shù)（單位是 m2）［3］為

式中，a為橢圓的長(zhǎng)半軸；e為橢圓的第一偏心率；B為大地緯度，且

式中，b為橢圓的短半軸.

根據(jù)定積分的換元法，選擇以下變量代換

可將式（1）改寫［4］為

INBAR的報(bào)告顯示，全球約30%的竹林為人工林，私有部門擁有的竹資源超過總量的63%，政府部門擁有的竹資源只有36%；相比之下，80%的世界森林(不包括竹子)是在公共土地上[5]?？梢姡綘I(yíng)部門對(duì)竹子減緩氣候變化的作用興趣更大。大多數(shù)國(guó)家尚未認(rèn)識(shí)到竹子作為國(guó)家碳儲(chǔ)存計(jì)劃的一部分的潛力。中國(guó)是首個(gè)與INBAR合作開發(fā)竹林碳匯方法論的國(guó)家。墨西哥在這方面至少落后30年。

整理式（4）可得等面積緯度函數(shù)的準(zhǔn)確值為

等量緯度（單位是rad）［5］為

通過定積分的變量代換式（3），整理式（6）可得等量緯度的準(zhǔn)確值為

2 用等量緯度表示等面積緯度函數(shù)的近似值

等角緯度φ滿足

式中，tanh為雙曲正切函數(shù).

由等角緯度φ計(jì)算等面積緯度函數(shù)F的直接解算公式［3］為

顧及以下三角函數(shù)的通解倍角公式［6］

可得以下4個(gè)特解倍角公式

式中，由橢圓第一偏心率e決定的4個(gè)系數(shù)為

將式（8）代入式（20），得

將式（7）代入式（25），可得用等量緯度表示等面積緯度函數(shù)的近似值為

當(dāng)用等量緯度表示等面積緯度函數(shù)時(shí)，絕對(duì)誤差為

3 用等面積緯度函數(shù)表示等量緯度的近似值

由?計(jì)算等量緯度q的直接解算公式為

式中，artanh為反雙曲正切函數(shù)；由橢圓第一偏心率e決定的4個(gè)系數(shù)為

將式（16）～式（18）代入式（28），得

式中，由橢圓第一偏心率e決定的4個(gè)系數(shù)為

將B＝π／2代入式（5），可得橢球面在球面上等距離投影后的半徑平方為

需要指出的是，式（38）不同于文獻(xiàn)［7］.

角度?滿足

將式（39）代入式（33），得

將式（38）代入式（40），得

式中，由橢圓第一偏心率e決定的5個(gè)系數(shù)為

將式（5）代入式（41），可得用等面積緯度函數(shù)表示等量緯度的近似值為

當(dāng)用等面積緯度函數(shù)表示等量緯度時(shí)，絕對(duì)誤差為

4 2000中國(guó)大地坐標(biāo)系實(shí)例分析

有鑒于中國(guó)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展需求和可能，中國(guó)政府決定采用地心三維大地坐標(biāo)系統(tǒng)，即從2008年7月1日正式啟用中國(guó)大地坐標(biāo)系統(tǒng)2000（China Geodetic Coordinate System 2000，CGCS 2000）作為國(guó)家法定的坐標(biāo)系，作為我國(guó)新一代的平面基準(zhǔn).2000中國(guó)大地坐標(biāo)系的大地測(cè)量基本常數(shù)值［8］為：a＝6 378 137m，橢圓的扁率f＝1／298.257 222 101，且

由式（49）得

將式（50）代入式（2），得

等面積緯度函數(shù)、等量緯度隨大地緯度的變化見表1.值得一提的是，當(dāng)B＝35°、89°對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)不同于文獻(xiàn).等面積緯度函數(shù)的絕對(duì)誤差在0.131 3～6.675 8m2之間，等量緯度的絕對(duì)誤差在－9.171 0e－5～2.254 5e－8″之間.

表1 F0、F1、ΔF1、q0、q1、Δq1 隨B 的變化

等面積緯度函數(shù)隨大地緯度的變化如圖1所示，等面積緯度函數(shù)絕對(duì)誤差隨大地緯度的變化如圖2所示，等量緯度隨大地緯度的變化如圖3所示.等面積緯度函數(shù)、等量緯度均隨大地緯度的增大而增大.圖1、圖3中的準(zhǔn)確值、近似值兩條曲線幾乎重合，說明近似值非常接近準(zhǔn)確值.

圖3 等量緯度－大地緯度關(guān)系

5 結(jié) 語

根據(jù)定積分的換元法，詳細(xì)推導(dǎo)了以大地緯度為自變量的等面積緯度函數(shù)、等量緯度的解析公式，給出了等面積緯度函數(shù)與等量緯度的相互變換近似公式.以2000中國(guó)大地坐標(biāo)系為實(shí)例，分析了相互變換近似公式的絕對(duì)誤差.

［1］ 邊少鋒，紀(jì) 兵.等距離緯度等量緯度和等面積緯度展開式［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2007，36（2）：218－223.

［2］ 廖瑞祥，王 剛，鄒良超.基于GIS的三峽庫(kù)區(qū)滑坡空間數(shù)據(jù)庫(kù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)［J］.三峽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，33（1）：24－27.

［3］ 李厚樸，邊少鋒，陳良友.等面積緯度函數(shù)和等量緯度變換的直接解算公式［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2011，36（7）：843－846.

［4］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）［M］.6版.北京：高等教育出版社，2011：17－20，199，212.

［5］ 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2010：201.

［6］ 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，2008：40.

［7］ 楊啟和，楊曉梅.測(cè)量和地圖學(xué)中應(yīng)用的三種緯度函數(shù)及其反解變換的線性插值方法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，1997，26（1）：92－95.

［8］ 程鵬飛，文漢江，成英燕，等.2000國(guó)家大地坐標(biāo)系橢球參數(shù)與GRS 80和 WGS 84的比較［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2009，38（3）：189－194.